Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Эзаь РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ Для лииеаризоваииой задачи и, в частности, для задач (30.4.3) и (30,4.4) иа собственные значения переменные могут быть разделеиы, так что собственные фуикции имеют вид 1) = = Ч(г)е'а"*+'"', где р и т — целые числа, и поэтому й-ю собствеииую функцию можно записать как Чи(г)ееаие+'таа 11=1, 2, 3, ..., (30 51) Одним из преимуществ описанного в 4 30.2 метода Дэви, Ди Примы и Стюарта является то, что, хотя для нелинейной задачи переменные ие разделяются, оии разделяются для каждого члена, входящего в представление (30.2.7) неустойчивого многообразия через переменные х;, ..., х„.
Появляющийся там коэффициеит и является элемейтом гильбертова пространства и поэтому представляет собой векторную фуикцию переменных г, 9, г в области М, причем эта функция как раз имеет вид (30.5.!). Точнее говоря, эти коэффициенты, которые теперь лучше обозиачить через () (и является точкой мяожествн У, определеиного в (30.2.8)), и скалярные коэффициеиты а „, входящие в (30.2.9), обладают свойствами, указанными в следующей лемме. зи Гл ЗО. Иниириингоние иноеоодроэия в эодане Тедлора Лемма.
Для всех допустимых 1' и и коэффициенты а могут быть отличны от нуля только тогда, когда р(й) р(ег)и т(й)= =- т(е,); кроле того, для 1)ч справедливо представление ~ Т/ (г) е)Р ии алино )а)6 а и где К к (й) = Х уира, т(й)- 2' унт и е — такой вектор из .У, у которого 1-я компонента равна 1, а остальные — нулю. Доказательство леммы легко получается индукцией по норме (о!=д,-1-...
+ок, введенной в Э 30.2, н поэтому здесь не приводится. Преимущество разделения переменных проявляется в том, что линейные уравнения (30.2.14), которые нужно решать для нахождения и„, оказываются обыкновенныл)и дифференциальными уравнениями относительно функций от г на отрезке (г,, г,!. Для них получаются двухточечные граничные задачи шестого порядка с тремя граничными условиями на каждом конце отрезка. На каждую исходную задачу приходится довольно много таких граничных задач (например, их будет 800, если размерность К неустойчивого многообразия равна 14 и в рядах (30.2.7) и (30.2.9) берутся члены до пятого порядка включительно), но современные методы решения этих задач по быстродействию и точности превосходят методы, применяемые для решения уравнений в частных производных.
ЗВ.Ь. ПОСЛЕДНИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПО ЗАДАЧЕ ТЕЯЛОРА В этом параграфе мы подытожим основные результаты, вытекающие нз численных расчетов Дэви, Ди Примы и Стюарта (1968), Иглза (197П и тех немногих дополнительных расчетов, которые были недавно проведены мною на ЭВМ Сгау-1 в Национальном центре исследований атмосферы (Боулдер, штат Колорадо), функционил рующем в рамках Национального научного фонда, Пусть внешний цилиндр покоится (йги=О). Тогда интенсивность вращения обычно характеризуют числом Тейлора (г пропорциональным квадрату числа Рейнольдса е() ()с, равно нулю). С возрастанием Т при фиксированном отношении г,!г, первое собственное значение линеаризованной задачи, переходящее в правую полуплоскость, является вещественным и соответствует значе. нию т„=О в представлении (30.5.!) для собственных функций.
Далее туда перейдет пара комплексно сопряженных собственных 80.6. Последнии резулыиаоан по задаче Тейлора 3!5 значений, соответствующих т„=2, и т. д. Каждое собственное значение имеет кратность 2 (вырождение соответствует возможности сдвига течения как целого в направлении г); следовательно, размерность К неустойчивого многообразия последовательно принимает значения 2, 6, 1О, 14,,... Вычисления проводились до значения К=-14. (При еще ббльших значениях Т снова встретятся значения т„=О, 1,..., но соответствующие им собственные функции будут более сложным образом зависеть от радиуса; для этого режима вычисления не проводились.) Все собственные колебания (устойчивые или неустойчивые), которые рассматривались до сих пор, соответствовали периодическим траекториям динамической системы на неустойчивом многообразии (см. (30.2.9)). Это не относится к основному ламинарному течению (течению Куэтта) и к вихрям Тейлора, которые являются неподвижными точками этой системы.
Кроме уже рассмотренных нами, существуют следующие собственные колебания. е Рис. Золь Винтовые вихри. Они аналогичны вихрям Тейлора, за исключением того, что после совершения оборота вдоль одного из них при изменении 9 от 0 до 2п мы попадем не в его начало, а в начало либо второго, либо четвертого, либо шестого и т. д. вихря, лежащего над (или под) ннм. Определим соответствующее целое т=1, 2, 3,.... (После завершения оборота нельзя попасть на первый, третий и т. д. вихри, потому что они вращаются в противоположном направлении.) Все течение вращается вокруг оси с угловой скоростью, не слишком отличающейся от средней угловой скорости жидкости, равной (),/2. Неосесимметричное простое собственное колебание (всегда неустойчивое). Интенсивность вихря изменяется синусоидальновокруг оси. Взаимное расположение средних частей вихрей схематически показано на рис. 30.2.
Эта картина вращается вокруг оси. 316 Гл. 3б. Инеариантные нноаюбрааия е еадаче Тейлора Вихри с осевой волнистостью. Они аналогичны вихрям Тейлора, но их средние части смещаются попеременно в положительном и отрицательном направлениях оси г при изменении 0 от 0 до 2п. Обозначим через лт.(=1, 2,...) число таких смещений в каждом направлении. Вихри с радиальной волнистостью. Этв вихри аналогичны вихрям с осевой волнистостью, за исключением того, что средние части вихрей теперь смещаются попеременно к оси и от нее в радиальном направлении. Они всегда неустойчивы. Оба типа волнистых вихрей вращаются вокруг оси с угловой скоростью, близкой к О,!2.
Т 1 1 1 т=з)Винтовые -т=11 вихри ейеоре Рис. 30.3. Недоступные устойчивые винтовые вихри. Во всех случаях можно установить, что после превышения числом Тейлора Т первого критического значения Т, ламинарное течение становится неустойчивым и на него накладываются вихри Тейлора, интенсивность которых примерно пропорциональна МТ вЂ” Т,; они устойчивы вплоть до второго критического значения Т„когда на них накладывается волнистость с амплитудой, примерно пропорциональной р' Т вЂ” Т,, Винтовые вихри накладываются на основное ламинарное течение после Т„т.
е. после того, как основное течение уже стало неустойчивым (см. рис. 30.3). Винтовые вихри неустойчивы в момент своего появления, но затем становятся устойчивыми при чуть ббльших значениях Т, как указано на рисунке сплошными отрезками кривых. Таким образом, это — устойчивые собственные колебания, которые недоступны в том смысле, что к ним нельзя перейти от основного течения посредством непрерывной последовательности устойчивых колебаний. Экспериментальная работа Голлуба и Суинни (1975) указывает на то, что при числе Тейлора порядка 200Т, должны появиться странные аттракторы, потому что эти авторы наблюдали непрерывный энергетический спектр.
Вычисления нельзя продолжить до столь больших значений Т, так как размерность неустойчивого многообразия становится неприемлемо большой. Конечно, можно Приеож, и ве. 30, Матрица, входтцие е основное уравнение 317 ПРмлоигенне и главе ЗЮ. МАТРИЦЫ, ВХОДЯЩИЕ В ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ В ФОРМЕ ИГЛЗА Матрины, входящие в уравнение (30.3.6), имеют следующий вид: г( = и 21' 0 — -де -гд,  — а де г „а 1 0 -1У'+ — - -, де г г) г' 1 1 — - хг+— г 1 — де гг 1 — -В г 1 0 0 г 1 -д и 1. --дв 0 0 0 0 1 0 0 О 1 где В о [(1/ге) дй+де) — ~Угг) дв, — 1 О 0 0 1/г 0 0 0 1/г (0) (0) (0) и о — — — дв ид, г о и + дв г (О)' ,1 — + д де+ ид„ 1(((1) = -де+ гед, 1 де г и дг 3 (О) (0) продолжить вычисления для многообразия меньшей размерности, определив его при помощи собственных значений, дальше всего ушедших вправо в комплексной плоскости. Такое многообразие являсгся инвариантным, но не будет притягивающим. Вычисления подобного рода указывают на то, что волнистые вихри при этом могут оставаться устойчивыми до очень высоких значений Т, задерживая тем самым появление странного аттрактора, а возможно, даже бифуркации более высокого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
