Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 2 (947399), страница 61
Текст из файла (страница 61)
(28.9.4) Из уравнения х' 0 начальной гиперповерхности г не следует, что у' плоская, потому что метрический тензор д~а на г произ. волен (напоминаем, что латинские индексы прйнимают значения 1, 2, 3), однако предполагается, что начальные данные та. ковы, что матрица (ды) размера 3 х 3 положительно определена иа г; кроме того, матрица (яич) должна быть на г иевырожденной и иметь сигнатуру 2. Отсюда следует, что х пространственноподобна, причем, используя формулу для обращения матрицы, можно убедиться, что иа У' д" (О, Ради упрощения рассуждений будем предполагать, что функции (28,9.4) являются впали.
тическими, так что для решения задачи Коши можно использовать метод степенных рядов. В этом случае все частные производные от ди„(включающие не более одного дифференцирования по х') определяютсь на чт функциями (28.9.4). ГВ. 2В. Расширение многообразий Эйнштейна 280 Компоненты Иэ тензора Риччи получаются из выражения (27.10.1) для /(„з о сверткой по индексам я и б, т. е, умножением уравнения йа д о, а затем суммированием по а и б от 1 до 4. В результате получается /с/» '/а' др/»/(дх4)'+..., (28.9.6) /7/4 — — — 4/,д'» дед/»/(дхе)е+..., (28.9.
6) /с44 — — '/ед/~ д'8/»/(дх')'+.... (28.9.7) Здесь выписаны только те члены, которые содержат вторые производные по х', многоточием же обозначены члены, содержащие производные по х' не выше первого порядка. 1В (28.9.6) и (28.9.7) используется соглашение о суммировании, однако латинские индексы принимают значения 1, 2, 3.1 Так как деев=0, дифференциальные уравнения // „=О и начальные данные определяют вторые производные от д/» иа у'.
При подстановке этих вторых производных в оставшиеся четыре уравнения /7з,=О получаются четыре начальных условия, причем вторые производные от р»4 по х' остаются неопределенными. Эволюционные уравнения допускают разделение переменных при помощи вспомогательного условия, предложенного Лихнеровнчем (см. Адлер, Базин н Шиффер 1!9651, где имеется превосходное обсуждение задачи Коши). Тензор Эйнштейна в смешанной форме имеет вид с:а )7а 4/ /7ба (28.9.8) где /7 о —— д"т)7 о — смешаннаи фоРма тензоРа Риччи, а )с Ра'/7»„— скалярная кривизна. Оказывается, что система дифференциальных уравнений /7/»н— а 0 (/, /г=1, 2, 3, /(/е), (28.9.9) 64» 0 (!4=1, ..., 4) (289,10) эквивалентна исходной системе (28.9.3). Замечание.
Для любого решения да, этих уравнений /7 равно нУлю, так что б о и /7ао пРинимают одно и то же значение (нуль), однако как выражения, содержащие зависимые переменные йа, н их производные, они отличаются друг от друга; следовательно, система (28.9.9), (28.9,10) отличается от системы (28.9.3), но эквивалентна ей. Чтобы доказать это утверждение, достаточно заметить, что, согласно (28.9.8), если положить /7/» равными нулю, следовательно, поскольку д44 ~0, из системы (28.9.10) следует обращение в нуль всех /7»т, а отсюда в свою очередь вытекает обРащение в нУль всех Бам 28.2.
Эадааа Каи4и 281 Если в (28.9.8) подставить выражения (28,9,8) — (28.9.7) для компонент тензора Риччи, то окажется, что в дифференциальных уравнениях 64, =0 нет никаких вторых производных по х'. Следовательно, эти уравнения играют роль дополнительных условий; в частности, им должны удовлетворять начальные данные. Важным свойством тензора Эйнштейна (которое уже обсуждалось в 2 28.2) является его бездивергентность в силу уравнения (27.
10. 10); иначе говоря, (28.9,12) Используя это уравнение покажем, что если функции д„, удовлетворяют дифференциальным уравнениям (28.9.9) при всех х' из некоторого интервала [О, Т~, а при х' = О удовлетворяют дополнительному условию (28.9.10), то они удовлетворяют этому дополнительному условию и при всех х' Е [О, Т~, Формула для ковариантного дифференцирования в 5 27.5 показывает, что (28.9.12) можно переписать в виде дба (дх- 1 Аат 64 0 (28,9.13) где коэффициенты А '1,„ зависят только от д„ и их первых производных. Поскольку функции д„, таковы, что все гс,„О, уравнения (28.9.8) и (28.9.11) показывают, что наждую компоненту 61 (как функцию от д„, и нх первых производных) можно выразить через 64 (у 1, ..., 4). Уравнение (28.9,13) переходит тогда в уравнение дб*,)дх' В'а/ дб'т!дх'+ С', :С'т в котоРом коэффициенты Втал и С'а зависЯт только от фУнкций д„а и их первых производных.
Это система линейных дифференциальных уравнений относительно 64а (если да, заданы), в которой производные по времени выражены в явном виде через производные по пространственным координатам. По теореме Коши— Ковалевской ее решение единственно; следовательно, если все четыре 64з равны нулю на у' (х'=0), то они равны нулю н при всех х' > О, что и требовалось доказать. Наконец, уравнения (28.9.9) можно рассматривать как дифференциальные уравнения относительно функций д я(), /г = 1, 2, 3, ) (а). Однако эти уравнения содержат также и функции и„ [в членах, скрывающихся за многоточием в (28.9.5)1. Эти четыре функции можно произвольно (но гладко) доопределить на все пространство-время, проследив только за тем, чтобы онн соответствовали значениям п„4 и дд„4(дх4, заданным на поверхности У'(х'=0), Но поскольку 8444~0, (28.9,5) показывает, что уравнения (28.9.9) определяют вторые производные по времени от 282 Гл.
28. Расширение мнаеаабразий Эйнштейна всех й, . И снова, согласно теореме Коши — Ковалевской, эти уравнейия имеют при заданных начальных данных единственное решение на некотором интервале 0 ~ х4 (Т, тала зАключительные 3АмечАния Общая задача расширения многообразий Эйнштейна далеко не решена. Почти ничего не известно о существовании или единственности геодезически полных расширений.
Простые многообразна а 5 28.7 не имеют таких расширений, а следующее многообразие имеет много расширений. Рассмотрим единственную кар~у, в которой ди, определяются матрицей (28.10.1) на ограниченной области У координатного пространства. В одном из геодезически полных расширений У' совпадает с В4, а аа, всюду задаются как (28,10.1). Это †стационарн плоское пустое пространство. В другом расширении У' снова совпадает с В4, но при этом имеются некоторые гравитационные волны, которые еще не достигли области пространства-времени, представленной областью М. Почти ничего не известно и о задаче Коши, за исключением существования и единственности решения на некошором интервале времени 0(х4 ( Т. Даже если имеется единственное решение для всех х', ..., х4, оио все еще образует одну карту, которая может оказаться неполным многообразием.
Глава 29 БИФУРКАЦИИ В ЗАДАЧАХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ Эволюииониое уравнение; уравнения Навье — Стокса; течения Пуазейля и Кузтта; вихри Тейлора; волнистые вихри; потоки н полупотоки в гильбертовом пространстве; собственные колебания; полнота системы собственных колебаний; инвариантные многообразия; устойчивые и аеустойчивые многообразия; неподвижные точки, замкнутые траектории и инвариантьые торы; бифуркации; закритические и докритические бифуркации; субгармонические бифуркапяи; отображения Пуанкаре.
Предварительные сведения: гл. ! — 8 н основы гидродинамики. Работы Лоренца [19б31 и Рюэля и Такенса 11971! положили начало применению в теории гидродинамической устойчивости концепций и принципов одного из современных н быстро развивающихся разделов математики — теории топологических динамических систем. Сразу стало ясно, что эти концепции (например, концепция типичных свойств систем) применимы, по существу, во всех физических теориях.
Новые концепции и принципы позволяют по-новому взглянуть на давно известные явления, такие, например, как бифуркации. Идея странных аттракторов и их связь с непрерывными энергетическими спектрами дают новое представление о хаотическом поведении в целом. В этой н в двух следующих главах показывается применение таких новых идей для изучения начальной стадии образования турбулентности.
29.1. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ Будем рассматривать слабо неустойчивое течение несжимаемой вязкой жидкости, Это течение является более гладким и простым, чем хаотическое течение, характерное для полностью развитой турбулентности, н в то же время обладает свойствами неустойчивости и непредсказуемости, которые можно изучать аналитически. Пусть создающая течение установка работает так, что число Рейнольдса медленно возрастает. Нас будет интересовать та стадия течения, на которой турбулентность только зарождается. Течение — это, иначе говоря, баланс между устойчивым потоком энергии от некоторого внешнего источника и ее диссипацпей за счет вязкого трения.
В классических задачах типа задачи Пуа- 284 Гл. УУ. Бифуркации в эадачах гидродинамической устойчивости зейля энергия передается внешним градиентом давления, который, например, вызывает движение жидкости в длинной круглой трубе или в щели между параллельными плоскими стенками; в задачах Куэтта энергия поступает за счет бокового движения стенок, таких, как скользящая плоская стенка или вращающийся цилиндр; в задачах Беиара она поступает от внешнего источника тепла, который вызывает тепловую конвекцию.
Другими примерами такого рода являются течение за круговым цилиндром (задача Кармана) и течение в пограничном слое над плоской пластиной, параллельной основному потоку (задача Блазнуса). Конкретную задачу обычно можно охарактеризовать некоторой длиной 1, и некоторой скоростью от где 1„может быть диаметром или каким-либо другим характерным размером, а ог — средней скоростью течения или скоростью движения одной из стенок. Безразмерная величина (29.1.1) Р = (гоч»ч, где ч — кинематический коэффициент вязности (равный коэффициенту вязкости, деленному на плотность жидкости), называется числом Рейнольдса рассматриваемой задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
