Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 40
Текст из файла (страница 40)
По оси Оу откладывается доля населения, имеющих определенный доход; по оси Ох откладывается доля доходов, приходящийся на определенную долю населения. С помощью кривой Лоренца можно оценить степень неравенства в распределении доходов населения. При равномерном распределении доходов кривая Лоренца является ') См, например: Аг)г1пооп А. Рь Оп теавшетепг оГ 1пецпа111у.,~У допгпа1 ог Исопоппс Т1геогу. 1970. Ъ'.
11. Р. 244 — 263; Клесс В. М. О формализации понятия неравенства. )Г' Математические методы в исследованиях по социальноэкономической истории. М., 1975. С. 75 -82. 1л. И. Врилгенение интегрального иениеленил... 272 линейной функцией биссектрисой ОА, при неравномерном кривой вида ОВА. Коэффициентом Джини именуют отношение площади фигуры между биссектрисой ОА и кривой Лоренца к площади треугольника ОАС. При коэффициенте, равном О, налицо полное равенство в доходах населения, при значении коэффициента менов 0,3 слабое неравенство, при 0,3 — 0,7 значительное,при 0,7"1 -- сильное.
Рис.13.2. Кривая Лоренца г7 Пример. Для одной из стран кривая Лоренца (рис. 13.2) может быть описана уравнением д = шэ, где рс доля населения, р доля доходов населения. Вычислить коэффициент Джини а. 1 Решение. Так как Я,~влс = —,, а 1 гг ' з Волн = 1л — л ) е?т = ~ —,' 1 2 3) 6' о то лоАВ 1 1 1 1г=, = —: — = — >03. Волн 6 2 3 Поскольку й = —, принадлежит интервалу (0,3, 0,7), то делаем вывод о том, что в изучаемой стране наблюдается значительное неравенство в доходах. а 13.3. Прогнозирование материальных затрат При прогнозировании материальных затрат часто возникает необходимость вычисления площадей различных сложных фигур.
Приведем соответствующий пример, для решения которых используется определенный интеграл. Ч Пример. Палуба корабля напоминает две пересекающиеся параболы. Сколько необходимо краски для ее покрытия, если длина корабля 80 м, ширина в центре - 20 м, а на каждый квадратный метр необходимо 0,25 кг краски? Решение. Введем систему координат следующим образом: начало координат поместим в центре корабля, а ось Ош вдоль 7,74. Прогноэировпние объемов потреблении электроэнергии 273 Рнс.
13.3. !!алуба корабля палубы (рис. 13.3). Чтобы найти площадь палубы, определим уравнение одной из парабол. Общее уравнение параболы имеет вид у = ахг + Ьх + с. Так как точки ( — 40, 0), (40, 0)г (О, 10) принадлежат параболе,тоонн удовлетворяют уравнению параболы: а.40 — Ь.40+с=О, а.40 +Ь.40+с=О, с=10. Решением этой системы уравнений являготся следующие числа; а = — 1/160, Ь = О, с = 10. Таким образом, уравнение искомой параболы имеет вид д = — х~/160+ 10. Площадь половинки палубы корабля равна 40 40 хв Ь' = ( — хэ/160+ 10) с!х = —, + 10 х) !60. 3 г' — 40 -40 = — 1600, — 1600 + 400 + 400 = 400 4/3. 40 40 160.3 160 3 Для покраски половины палубы необходимо Я . Ог26 = 400/3 (кг) краски. Поэтому для покраски всей палубы потребуется 2 Я = = 2.
400/3 — 266,7 (кг). и 13.4. Прогнозирование объемов потребления электроэнергии Потребление энергии каждой лампой или фонарем пропорционально числу часов от захода солнца до его восхода. Чем короче ночь, тем меньше требуется электроэнергии. Самая короткая ночь в году приходится на 22 июня. В этот день электроэнергии потребуется меньше, чем в самую длинную ночь . 22 декабря.
Пл. 15'. Применение интегрального исчисление... 274 и) = 6+ с сов (217 (1+ 0,025)). (13.1) Здесь, слагаемое 0,025 определяет, что максимум приходится на 6 = — 0,025, т. е. за 0,025. 365 = 9 дней до начала каждого года, т. е. на 22 декабря. Множитель 2 ге определяет длину периода, равную 1 (году). (7 Пример 1. Потребление энергии сетью за год от х = 0 до х = 1 описывается уравнением (13.1), гдг 6 и с некоторые числа.
Вычислить потребление энергии сетью за год от 6 = 0 до 6 = 1. Решение. Потребление энергии в течение времени с11 составит и) с1с, а за год | ° а=|(гг-".(г О~оггг)))л= о о 1 =г+ |. (2 (г-ггггг))л. о Для вычисления второго слагаемого положим 2 гг (1+ 0,025) = в, тогда | сов (2 гг (1+ 0,025)) (15 = о (Ь 2)г' = — — Ог025; 2)с если 6 = 1, то в = 2,05 гг если 1 = О, то е = 0,05 ге; 2О5 с — созвав = —, о)пз = О. 2 гг 2 гг Оно е О)15 и Отсюда следует, что потребление энергии за год составляет 6 единиц мощности.
А ') См. (8, с. 209]. Таким образом, потребление энергии представляет собой колебательный процесс. Этот процесс может быть описан функцией ) 1о.д. Задача диенонотровання денеогеного потока 275 Ч Пример 2. Потребление энергии каждой лампой и фонарем за год от х = 0 до х = 1 описывается уравнением (13.!), где 6 и с некоторые числа. Сеть освещения в районе линейно возрастает по закону и = ив+ а1, где 1 измеряется в годах. Вычислить потребление энергии сетью за год от ! = 0 до 1 = 1. Решение. Потребление энергии в течение времени е1е составит и и~ е1е, а за год 1 1 6 ио + 0,5 а Ь + 0,025 о, с. При вычислении этого интеграла был использован метод интегрирования по частям и метод замены переменной.
Приближенно вычислено лишь последнее <лагаемое (а именно, число 0,025). Таким образом, потребление энергии за год составляет (6 ив + + 0,5 а 6 + 0,025 а с) единиц мощности. а Задача 1. Потребление энергии каждой лампой и фонарем за год от х = 0 до х = 1 описывается уравнением (13.1). Сеть освещения в районе возрастет как квадратичная функция и = = ив + а1'. Вычислить потребление энергии сетью за год от 6 = 0 до 1 = 1. Указание: Для вычисления соответствующего интеграла необходимо дважды произвести интегрирование по частям. Ответ: Приблизительно (6 ио + 0,07 а с + 0,33 а 6) единиц мощности.
13.5. Задача дисконтирования денежного потока При определении экономической эффективности капитальных вложений возникает задача дисконтирования: определение начальной суммы Ав через время 1 по ее конечной величине А(е) при процентной ставке р. Пусть А(1) — конечная сумма, полученная за 1 лет, и Ао —— начальная сумма. Если проценты простые, то в конце каждого года 1 сумма А(6) в сбербанке по сравнению с прошлым годом (1 — 1) увеличивается на р ог6 от начальной суммы Ао.. А(в) = А(е — 1) + — Ао.
Гл. 7,Ч Применение интегрального иениеленил... 276 В первого года начисляется сумма составит А(1) = Ао + Ао = Ао ~ 1+ 100 1, 100/ ' в конце второго года А(2)=А1+ Ао=Ао11+ ~+Ао=Ао (1+2 1; 100 1, 100/ ~, 100/ ' в конце года 1 А(1) = Ао 1+ Поэтому если проценты просгые, то дисконтированная сумма вычисляется по формуле А(г) Ао = 1+— 100 Ранее в гл. 6 было установлено, что при начислении сложных процентов, конечная сумма вычисляется по формуле А(ь) = Ао (1+ — ), Х Е И; при непрерывном начислении процентов — по формуле А(1) = Аое'оо 1Е (О, +ос). Отсюда получаем, что дисконтировапная (в данном случае, начальная) сумма к моменту времени 1 в случае сложных процентов а в случае непрерывного начисления процентов Ао = А(1) е ьоо Предположим, теперь, что деньги вкладываются в банк не разово, в начальный момент времени 1 = О, а постоянно и образуют денежный поток, который выражается непрерывной функцией Ао(е).
Тогда (см. п. 12А) общая сумма [/л, вложенная в банк !Жд. Задача диеконагироааниа денежного потока 277 за период времени [О, Т[, представляет определенный интеграл Здесь А(1) .- ежегодно поступающий доход. Величина Бд(Т) называется дисконтной суммой за период времени [О, Т[. Слово «дисконтный» происходит от английского е11всонпе (скидка).
й Пример. Какую сумму следует внести за период [О, Т) в сбербанк под 10ого годовых, чтобы ежегодный доход составлял тысячу рублей. Предполагается., что проценты начисляются непрерывно. Решение. Согласно условию задачи А(~) = 1 при всех 1 Е (О, Т), поэтому т т 1ос *сгд(Т) = Ао(Х) е1е = 1 е '"" е1е = — 10е одт+10 (тыс. руб.). о о В частности, при Т = 3 года, имеем 1/д(3) = — 10е ода+10 -2,59 (тыс. руб.). Таким образом, чтобы ежегодный доход в течении трех лет составлял 1 тыс. руб.
(за три года 3 тыс. руб.), следует вложить в сбербанк 2,59 тыс. руб. Прибыль за три года составит 0,41 тыс. руб. За Т = 1О лет 1/д(10) = — 10е одно+ 10 — 6,32 (тыс. руб.) (прибы.ль за 10 лет равна около 3,68 тыс. руб.). а Задача 1. Пусть проценты в банке начисляются непрерывно. Какую сумму следует внести за период [О, Т[ в сбербанк под 10оге годовых, чтобы ежемоментный доход в момент времени 1 составлял е"д г тысячу рублей.
Ответ: Т тысяч рублей. Задача 2. Пусть проценты в банке начисляются непрерывно. Какую сумму следует внести за период [О, Т[ в сбербанк под 10% годовых, чтобы ежемоментный доход в момент времени ~ составлял 1 + 0,11 тысячу рублей. Указание. Применить формулу интегрирования по частям. Ответ: 20 — 10 (2+ 0,1 Т) е огт тыс. руб. Раздел 1У Функции многих переменных Именно предельные абстракции являются тем истинным оружием, которое правит нашим осмыслением конкретного факта. А. Уайшхед Глава 14 'Частные производные 14.1.
Понятие функции многих независимых переменных Если каждой парс чисел х1 и х2, называемых независимыми переменными, однозначно соответствует число д, называемое зависимой переменной, то говорят, что д есть функция двух переменных; тогда записывают: д 2 (хм х2). Функции двух и более независимых переменных находят широкое применение в экономике. Приведем примеры лишь некоторых из них: 1. Издержки производства д являются функцией материальных затрат х1 и расходов на оплату рабочей силы х2. д 2 (хы х2). 2. Производительность труда у является функцией от уровня квалификации хс и уровня автоматизации труда х2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
