Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 41

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

3. Спрос на товар у является функцией цены товара х1 и средней заработной платы х2. ця. Понятие. функции многих независимых переменных 279 В трехмерном пространстве оси координат обозначают через От, Од, Ог. Поэтому функцию двух переменных часто записывают и так: =й: д) Такая запись удобна для геометрического ее изображения. Например, графическое представление функции =1 — х — д есть плоскость, проходящая через точки (О, О, 1), (О, 1, О), (1, О., О) 1рис.

14.1). Рис. 14.1. Графическое изображение функций двух переменных Вообще, функция двух переменных изображается в пространстве некоторой поверхностью (а не линией, как в случае функции одной переменной). Каждой паре чисел х и д соответствуег точка 7з(х, д) плоскости Охд. В точке ез1х, д) проводим прямую, перпендикулярную плоскости Охд, и отмечаем на ней соответствующее значение функции г; получаем в пространстве точку М с координатами х, д, г, которая обозначается символом М1х, д, ).

Точки М, соответствующие разным значениям независимых переменных, и образуют некоторою поверхность в пространстве. Такая поверхность и есть геометрическое изображение функции г = ~(х, д). Например, геометрическое Гл. Ц. Частные производные 280 изображение функции 1 — ха — д2 для переменных х и у есть полусфера (рис. 14.1). Покажем это с помощью сечений координатными плоскостями. Если е = О, то х2+ д2 = 1, и, следовательно, сечение плоскостью Охд есть окружность радиуса 1.

Если х = О, то уз + вг = 1 (е > 0); сечение плоскостью Оеу есть полуокружность. Если у = О, то х2+ г2 = 1 (е > 0); сечение плоскостью Оех есть полуокружность. Как и функцию одной переменной, функцию двух переменных можно представить не только графически, но и аналитически и в виде таблицы. Аналитическое выражение для плоскости, проходящей через три точки (О, О, 1), (О, 1, О), (1, О, 0)., есть функция С помощью таблицы функцию е = 1 — х — д можно определить для некоторых значений независимых переменных х и д следующим образом; В этой таблице каждой паре значений (х, у) соответствует значение е. Например, паре (1, 0) соответствует значение функции г = О, а паре (2, 3) соответствует значение функции е = — 4.

Представление о функции может дать и метод линий уровня. Геометрическое место точек плоскости, в которых функция е = 1(х, у) принимает постоянное значение, называется линией уроонл. Это линия пересечения поверхности г = д (х, у) плоскостью е = С и ортогонально спроектированная на плоскость Оху. Сделав несколько таких сечений плоскостями е = С, Ц.Я. Облаппь определении, предел и непрерыеноеть ... 281 Сечения плоскостями з = 1, Линии уровня .. окружности в=2,в=3 радиуса 1, Л, 1(3 Рис. 14.2. Линии уровня функции е = л + рв которые отстоят друг от друга па равное расстояние, и вычертив линии уровня, можно составить представление о самой поверхности.

Там где линии уровня проходят близко друг к другу, поверхность поднимается круто, а значит, и функция изменяется быстрее по сравнению с изменением функции в тех местах, где расстояние между соседними линиями болыпе. Поверхностен определяемая уравнением з = х + у, и ее соответствующие линии уровня изображены на рис. 14.2. Из рисунка видно: чем далыпе от начала координат расположены линии уровня, тем они ближе подходят друг к другу.

Это означает, что при удалении от начала координат поверхность поднимается все круче. Обратно, чем ближе к началу координат, тем медленнее меняется функция. Метод линий уровня широко используется в социальноэкономической сфере. О его некоторых приложениях изложено в п. 16.5.

14.2. Область определения, предел и непрерывность функции двух переменных Область определения. Множество всех значений независимых переменных гв и д, для которых определена функция з = = 1(т, д) (для которых она вообще имеет смысл), пазынается областью определения этой функции. Гл. ц. Частные производные Например, область определения функции в=1 — х — д есть вся плоскость Охд, так как соответствующая формула имеет смысл при всех значениях х и у. Формула 1 — х имеет смысл только при тех действительных х и д, при которых 1 — х — д >О.

2 2 Поэтому соответствующая функция определена лишь в круге хз+ дз ( 1. 1пп е1п = 1пп и — >ос и-ос ° =О т. е. если х„стремится к хв, а дп — к до. Говорят, что гв есть предел функции д (х, д), где (х, д) стремится к (хв, дв), если для каждой последовательности точек (х„, д„), .отличных от (хе, де) и стРемЯп1ихсЯ к (хв, дв), послеДовательность д'(хп, д„) стРемитсЯ к хе пРи п — О оо. Это записывается следующим образом: !нп д(х, д) =зв х — > хо у — з уо или У(х, д) -э в, щ (х, д) -о (хш дв) й Пример 1. Найти йпз (1 — х — д).

х — з1 у о 2 Решение. йп1 (1 — х — д) = 1 — 1 — 2 = — 2. а х — о1 у -о 2 Предел функции двух переменных. Говорят, что последоептельносгпь тпочек Рп с координатами х„, дп стрезиирпсл к точке Рв с координатами хв, дв, если последовательность расстояний с1п точек Р от точки Рв стремится к нулю при п — о со. Таким образом, последовательность точек Р„стремится к Ро, если Ц.8. Облоеепь определения, предел н непрерноноегпь ... 283 ч пр р е.

н е„ы, ЗГ:Р:",р. х -о О р -+ О Р.... В е — — *е — е~= т — 0 — 0=1. х -~ О > О Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного двух функций, выведенные для функций одной переменной, справедливы и для функций двух переменных. Таким образом, имеют место следующие теоремы. Теорема 1.

Предел суммы (разности) двух функций' в точке (хо, дв) равен сумлее (разности) пределов этих фднкоий в той же точке, т. е. если при (х, у) — ~ (хо, до) имеет место 1(х, у) + а, у(х, у) э Ь, то 1(х, у) х д(х, у) — ~ а х Ь. Теорема 2. Предел произведения двух функций в точке (хв., ув) равняегпся произведению пределов этих функций в эгпой точке, т. е. если при (х, у) -+ (хв, до) имеет месрпо 1(х, у) -+ а, д(х, у) — + Ь, то 1(х, у) . у(х, у) — + а. Ь. Теорема 3.

Предел частного двух фунтрей в то еке (хв, дв) равняерася еастному пределов этих функций в той же точке (при условии, что ни значение функции-делителя в окрестности этой точки, ни значение предела этой функции не равны нулю), т. е. если при (х, .у) Э (хо., уо) имеет место 1(х, у) -~ а, д(х, у) -~ Ь, то при условии, что д(х, у) ~ О и Ь ~ О, имеем: З(х, у) а ( д) Гл. ц. Частные производные Говорят, что функция в = 1(х, у) непрерывна в гпочке (хв, ув), если она определена в этой точке и если йгп У(х, у) = У(ха. уо); -з хо и -з Уо т. е.

если значение функции д (х, д) в точке (хв, ув) равно пределу функции в этой точке. Другими словами, функция г = 1(х, д) непрерывна в точке (хв, дв), если бесконечно малым изменениям значений х и у соответствует бесконечно малое изменение значения д" (х, д). График непрерывной функции представляет собой поверхность без разрывов и проколов. Функция в = д" (х, д) называется непрерывной в области О, если она непрерывна в каждой точке этой области. Например, функция е = 1 — х — у непрерывна везде, так как Рнп 1(х, у) = 1 — хо — уо = 1(хгн уо). :е — з хо У зУо 14.3.

ьтастные производные первого порядка Рассмотрим функцию в = д (х, д). Пусть независимая перемешзая д приняла постоянное значение у = дв, а переменная х изменяется. Тогда из функции двух переменных получим функцию = йх,у) одной независимой пе,;ур~; ( ременной в = д (х, Ув). у линия пересечения по- верхности е — ~(х У) и плоскости у = Уа (рис. 14.3). у = до Как мы знаем, прох изводной от функции одРис.

14.3. Частная производная е,', пой переменной называ- ется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда прирагцсние аргумента стремится к нулю. Поскольку з = 1(х, ув) является функцией одной переменной, ее производная г' в точке хв Ц.Я. Частные производные. первого парадна 28а вычисляется по формуле У(хо+ стх, уо) Йхо, уо) !пп ьх — гв Ьх Эта производная называется частной производной з' от функции двух переменных з = !'(х, у) в точке М(хвг уз).

Частную производную з' для функции з = ~(х, у) можно вычислить не только при д = ув, но и при других фиксированных значениях д. Кроме того, можно также определить и частную производную зо. Обозначим через Ьх приращение переменной х; введем также обозначение Приращение Ь называют частным приращением функции з по перемьечтой х. Аналогично, если переменная у получает приращение Ьд, а х остается постоянной, то частное приращение функции з по переменной у имеет следующий вид; Если существует предел то этот предел называется частной прог вводной первого порядка или нервов частной производной по переменноп х; она обозначается следующими символами: Ан логично определяется первая частнал производная по переменной у П как предел отношения 286 Гл. Ц.

Характеристики

Список файлов книги