Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 36
Текст из файла (страница 36)
раздел «Предел и непрерывностьа), т, е. ги < 1'(х) < М, х Е [а, 6], где ьо и М --- наименьшее и наибольшее значения функции па [а, Ь]. Тогда согласно только что доказанному следствию т(6 — а) < 1(х)е1х < М(6 — о), или т < 1"(х) дх < М. 1 а Но функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между наименьшим и наибольшим значениями (теорема Больцано — Коши). Поэтому, в частности, найдется такое число с Е [и, 6], что 1'(х) дх = ~ (с) .
° 6 ~~ а а Геометрический смысл теоремы о среднем. Пусть 1(х) > О на [о, 6]. Найдется точка с из отрезка [а, 6], что площадь под кривой д = 1 (х) на [а, 6] равна площади прямоугольника со сторонами 1" (с) и (6 — а) (см. рис. 12.ое, в). 1(с) х О а с Ь Рис. 12.5 237 1аб. Формула Ньютона-Лейбница 12.6. Формула Ньютона — Лейбница Рассмотрим функцию у = 1(1), интегрируемую на отрезке [а, 6). Если х Е [а, 6), то функция 1'(1) интегрируема также на любом отрезке [а, 6). Предположим, что х меняется на отрезке [а, 6), тогда на этом отрезке определена функция Эта функция называется определенным ингпегрвлом с переменным верхним пределом. Пусть 1(х) > 0 наотрезке [а, 6).
Тогдазначениефункции Ф(х) в точке х равно площади Я(х) под кривой у — 1 (х) на отрезке [и, х) (см. рис. 12.5, б). В этом состоит геометрический смысл интеграла с переменным верхним пределом. Рассмотрим теперь свойства функции Ф(х). Теорема. Если подынгпегрпльнал функция 7" (х) непрерывна, ьпо проиэводнпл функцпп Ф(х) по переменному верхнему пределу существует и ровна значению подыктггрпльной функции длл этого предела, т.
е. П Мы должны доказать, что ф'(х) = йш = 1(х). ЬФ(х) Ьа >в Ьх Найдем ЬФ = Ф(х + г~х) — Ф(х). ЬФ = Ф(х+ Ьх) — Ф(х) = 1 (е) иь 1 (~) По теореме о среднем найдется такое значение с Е [х, т + Ьх], что а-~-Ьг 1(1) Йс = 1'(с) (х+ Ьх — х) = 1(с) Ьх, рл. 1а Определенный анпгеграл откуда ЛФ = У(с) Ьх. Найдем теперь Ф'(х). Ф'(х) = !пп = !пп = !!ш д'(с). ЛФ(х) . Т(с) сех Ьк — гв Ьх Ьх — гв гьх Ьх — гв Заметим, что с — ь х при глх — + О, так как с Е ]х, х+ глх].
Поэтому в силу непрерывности функции ( (х) получаем; Ф (х) = !пп Т(с) = Т(х). ° Следствие. Для любой непрерывной, функции д" (х) существует, первообразная. Действительно, в качестве такой первообрвзной всегда можно предъявить определенный интеграл с переменным верхним пределом Ф(х), поскольку Ф'(т) = Т(х). Теорема (формула Ньютона — Лейбница). Пусть функция у = д (х) непрерывна на отрезке (а, 6] и Г(х) — произвольная первообразная для з (х) на (а, 6]. Тогда определенный ингтеграл от функции ('(х) на ]а, 6] равен разности значений первообразной г" (х) для верхнего и низюнего предела интегрирования, т, е.
П Пусть У'(х) некоторая первообразная для функции !'(х). Функция Ф(х) = ] з" (ь) ае также является первообразной для а функции Т(х). Следовательно, Р'(х) — Ф(х) = С, так как любые первообразные для одной и той же функции отличаются лишь на константу (см. с. 202). Отсюда Р(6) — Р'(а) = (Ф(6) + С) — (Ф(а) + С) = Ф(6) — Ф(а) = ь и ь ь ((х) йх — !(х) дх = !(х) дх — О = Т(х) дх. ° 239 16.6. Формула Ньютона-Лейбница Формула названа в честь Ньютона н Лейбница, хотя она была установлена егце Барроу, учителем Ньютона. БАРРОУ (Вагго>ч) Иссак (1630-1677) — английский математик, филолог, богослов. Родился в Лондоне.
Крупным достижением Барроу является установление связей между операцией огыскання производной и операцией интегрирования. Он рассматривает интегрирование, по сути дела, как новуго математическую операцию, с помо>лью которой можно решать многие задачи. В 1669 г. он отказался от кафедры математики в Кембридже в пользу Ныочона, своего тезки и ученика. Перед смертью Барроу произнгш «Неко>гец-то я узнан> решение многих геометрических и астрономических вопросов.
О, господи, какой Тьг геометр Формула Ньютона-Лейбница сводит вычисление определенного интеграла к отысканию неопределенного интеграла. Чтобы Ь вычислить определенный интеграл ~ 1(х) с1х, достаточно найти а неопределенный интеграл ) 1(х) с1х, подставить в найденное выражение сначала верхний предел, затем нижний и вычесть вторую величину из первой.
Постоянное слагаемое неопределенного интеграла можно не выписывать: оно все равно уничтожится при вычитании. г7 Пример 1. Найти ~ 3х~ сгх. — 1 Решение. Находим неопределенный интеграл 3 х г)х = х + С. Подставив х = 2, находим 8 + С; при х = — 1 получаем — 1+ С. Вычитая вторую величину из первой, находим ) 3 х~ дх = (8+ С) — ( — 1+ С) = 8 — ( — 1) = 9. Постоянное слагаемое С при вычитании уничтожилось. А г7 Пример 2.
Найти ~ з>п х г)х. 0 240 1л. 1а Определенный»нтегрел Решение. Имеем я!и х дх = — соя х + С. Следовательно, | я>пхе!х = — (сояк — сояО) = 2. я о Разность Е(Ь) — г (а) при вычислении интеграла часто записывают так: о Е(х) е (читается: «Е(х) с двойной подстановкой от а до Ьв) обозначает то же, что Е(Ь) — Е(а). Например, вместо — (соя>г — сояО) пип>ут — соя х~ ~о егх > Пример 3.
Найти | —. 1 Решение. Имеем | лх ~е — =!пх~ =1пе — !п1=1 — 0=1. я х 1 1 12.7. Методы интегрирования Теорема 1. Если выполнены условия 1) функция 1'(х) непрерывна на огпрезке (а, Ь]; д) отрезок |а, Ь) является мнохюесгпв<>м значений функции х = д(е), апре«деленной на отрезке и < Х < !> и имеющую на нем непре1>ывн1>ю производную: 3) д(сг) = а, д(Я = = Ь, гпо справедлива формула: )г =|>(гаяг а пв 7. Методы ини~егрирооанил П Пусть Р'(х) первообразная для функции д" (х) на отрезке [а, 6[., т, е, Ри(х) = 7(х) для всех х Е [а, 6), тогда ь т ~(х) дт, = г'(Ь) — г'(а). а Поскольку функции г'(х) и х = д(е) являются дифференцируомыми на соответствующих отрезках, сложная функция г (д(Г)) дифференцируема и Ре = Ь (х) д~(Ь) = ~(д(Ь)) д'(Ь) Следовательно, функция Р (д(Ь)) является первообразной для функции )'(д(е)) на отрезке [о, Я).
По формуле Ньютона — Лейбница получаем 1(д(ь)) д'(ь) дь = Р'(дР)) — "(д(о)) = = Р'(6) — Р'(а) = 7" (х) дх. ° а Доказанную формулу называют формулой замены переменной под знаком определенного игипеграли При использовании этой формулы определенного интеграла 7(х) дх преобразуется с |юмощью подстановки х = д(е) в определенный интеграл ~[д(6)) д'(ь) й относительно новой переменной е. При этом старые пределы интегрирования а и Ь заменяются соответственно новыми пределами интегрирования о и Ьо, которые находятся из исходной подстановки: а = д(о), Ь = д(3).
При этом нет необходимости, как это было для неопределенного интеграла, возвращаться к исходной переменной интегрирования. 1л. 1а Определенный интеграл 242 13 7 Пример 1. Найти ~ 512 х — 1 гаях. 5 а=2 5 — 1=9, 13=2 13 — 1=25. Следовательно, 15 25 25 25 Г Л* — 1 1х= ~/К вЂ” И=- 1'1 а= -2' =32- 2 2 ~ 3 3 5 9 и 9 При вычислении определенного интеграла методом подстановки принято введение новой переменной, смену пределов интегрирования и другие пояснения записывать в специальных скобках ~ ~ между знаками равенства. 1 17 Пример 2.
Найти |(2хв+ 1)4х241х. о Решение. | 1 (2х5+1) х211х = о И = бх211х; х2е1х = — М', ! =Ог 1=3 при х=1 8+1. 1=1 при х х гаях 8 17 Пример 3. Найти | 5г') + Х Решение. Введем вспомогательную переменную 2, связанную с х зависимостью 2 = 2 х — 1. Дифференцируя, имеем Ж = 1 = 2 Их, откуда гаях = — е15. Находим новые пределы интегрирования. Подставляя в соотношение 1 = 2 х — 1 значения х = 5 и х = = 13, соответственно получим И.7. Методы интегрирования 243 Решение.
8 т ~ ~ ~ ~ ~ ! ~~ ~ ! ~ ~ ~ г ~ ~ ~ ~ ! ~ ~ ~ ~ ~! хдх Ь= „lх+1; х=32 — 1; Дх=23дь; иг1+х 1=2прих=3, 3=3прих=8 3 3 (3~ — 1) аь = 2 = 2(9 — 3) — 2 ~- — 2 = 10-. А 'г,3 гг 3 3 (1 — 1) 2 Ь дг 2 вг'2 Задача 1. Найти | впав х дх. о ь где и и = и(Ь) и(Ь) — и(а) и(а). а Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определеггного интеграла. Е3 Поскольку (и о)' = и' о + и гг', функция и о является первообразной для функции и' и + и и'. Тогда по формуле Ньютона— Лейбница и свойству 2 получаом; ь ь ь ь ио = (и и+их)дх= ии Йх+ ио дх= а а а а ь ь иди+ иди. ° 2 Ответ: — (подстановка ь = соз х). 3 Рассмотрим теперь, как выполняется интегрирование по частям в определенном интеграле.
Теорема 2. Пусть функции и = и(х), и = и(х) имеюгп непрерывные производные на отрезке |а, Ь]. Тогда /оо Ж Опргдгленннй иггтеграл т/2 Ч Пример 4. Найти | х соо х г/х. о Решение. л/2 | и=х; г!и=с!х; х соохг!х = г!и = сов х Йхпо = яп х о к/2 ~ гг/2 = х о!пх~ — ~ в!пхйх= — яп о 2 о и ;/г — — О+ сов х 2 о и = — — 1. А 2 г Пример о. Найти |х !от г/х. Решение. г 2 1,,2 = — !пх — ~ — ' — Ых = ~ — х !пт,— — х ) 2 о ~ 2 и !,2 4 ) Задача 2. Найти |х!пг х г!х. 1 2 Ответ: — (е — 1) интегрирование по частям производится 4 дважды. Примеры вычисления неопределенных интегралов с помощью пакета символьных вычислений Мар!е уже приводилось в этой книге.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
