Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Систематическое развитие подобные представления получили значительно позже лишь в ХЧ)! веке. Так, например, теорему Архимеда о том, что площадь круга равновелика площади треугольника с основанием, равным длине окружности, и высотой равной радиусу, И. Кеплер доказывал в нескольких словах: каждая точка окружности рассматривается как основание равнобедренного треугольника с вершиной в центре круга и высотой, равной радиусу; площадь круга состоит из бесконечного числа треугольников, в совокупности равновеликих треугольнику с той же высотой, то есть радиусом, и основанием, равным сумме всех оснований, то есть длине окружности. Кгз11ЛБР (Кер1ег) Иоганн !1571 1630) —.
немецкий астроном и математик. Родился в Вейль-дер7Штадте !Вюртенберг, Германия). Обрабатывая наблюдения датского астронома Т. Браге установил три закона движения плш«ет. Изложил теорию солнечных и лунных затмений, их при «инги и способы предсказания. Изобрел простейшу«о зрительную трубу, которая до сих пор называется его именем. Оригинальными приемами интеграций нашел объемы 92 тел врапсения. Пользуясь такого рода рассуждениями И. Кеплер нашел объемы многих новых тел вращения. Известные в астрономии законы Кеплера фактически также были получены им с помощью приближенного интегрирования.
Замечательно остроумные приемы Архимеда, Кеплера и других ученых пе обладали, однако, строгостью, а главное, как 222 Гл. 12з Определенный интеграл правило, носили характер геометрических преобразований, для каждого случая особых и поэтому лишенных общности. Кавальери, Торричелли, Ферма, Паскаль и другие ученые ХЪ'11 века еще болыне приблизились к современным представлениям об интеграле. Барроу установил связь между задачей о разыскании площади и задачей о разыскании касательной. А И. Ньютон и Г.
Лейбниц независимо друг от друга в 70-х годах ХЪ'11 века отделили эту связь от упомянутых частных геометрических задач и создали алгоритмы дифференциального и интегрального исчислений. И. Ньютон открыл взамно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. Он указывал, что все задачи нового анализа сводятся к двум взамно обратным проблемам, которые могут быть сформулироаны в терминах механики; 1) определение скорости движения в данный момент времени по извесгному пути и 2) определение пройденного за данное время пути по известной скорости движения.
еВремя» при этом понималось просто как общий аргумент всех переменных. Вводит он и понятие дифференциала, которое называет моментом. И. Ньютон намечает программу построения анализа на основе учения о пределе, не давая впрочем формального определения этого понятия, получившего глубокое развитие в математике Х1Х века.
Г. Лейбниц свел частные и разрозненные приемы вычисления площадей, проведения касательных и т. и. в единую систему взаимно связанных понятий анализа, выраженных в обозначениях, позволяющих производить действия с бесконечно малыми по правилам определенного алгоритма. При этом дифференциал в основном понимался как бесконечно малая разность двух соседних значений величины (отсюда его символ е1 первая буква латинского слова е11йегепВа (дифферепция) -- разность, йй и отношение дифференциалов —, соответствующее производе1т ной), кривая рассматривалась как многоугольник с бесконечно большим бесконечно малых сторон, касательная как прямая продолжающая одну из таких сторон.
Г. Лейбниц ввел понятие об интеграле как о сумме бесконечного числа дифференциалов. Таким образом, главными понятиями анализа Г. Лейбница являлись дифференциал как бесконечно малая разность и интеграл как сумма. Дальнейшее развитие методы интегрирования получили в ХЪ'111 и Х!Х веках.
В ХЪ'111 веке в работах Л. Эйлера были найдены практически все известные в настоящее время приемы Жа Понлтие определеннова нгннегрллл 223 интегрирования в злементарных функциях. В Х1Х веке О. Коши аналитически доказал существование интеграла непрерывной функции и перестроил дифференциальное и интегральное исчисление, заложив в качестве их основы понятие предела функции. Дальнейшие обобщения понятия интеграла связаны с немецким ученым Б. Риманом и французским ученым А.
Лебегом. 12.2. Понятие определенного интеграла Рассмотрим непрерывную функцию д = ~(х), не принимающую отрицательных значений, так что график ее целиком лежит вылив оси Ох, хотя и может касаться оси Ох в некоторых точках. Пусть а и 6 —. такие числа, что функция определена при а < х < 6. Кривая д = 1(х) и прямые х = а, х = Ь и д = О ограничивают некоторую область плоскости, называемую облаегаью под кривой д = ~(х) от а до 6, или криволинейной трапецией. Если требуется вычислить площадь Я криволинейной трапеции, то можно, например, покрыть плоскость сетью мелких квадратов и сосчитать число квадратов, лежащих внутри нашей области (рис. 12.1). Это не дает еще всей площади, поскольку некоторые из квадратов лежат частично внутри, а частично вне рассматриваемой области. Но если сделать сеть достаточно густой, то можно вычислить й с любой степенью точности.
Можно вычислить площадь криволинейной трапеции и с помощью тонких прямоугольников. Лейбниц считал, что криволинейная трапеция составлена из бесконечно тонких прямоугольников (рис. 12.2). Каждый такой прямоугольник поднимается над точкой х интервала [а, 6]; он имеет высоту 1(х) и бесконечно Рис. 12.1. Криволинейная трапеция рл. 1а Определенный интеграл 224 Рис. 12.2. Вычисление площади криволинейной трапеции малую ширину е1т.; площадь его равна, следовательно, д (х) Пх. Общая же площадь Я есть сумма всех таких площадей.
Напомним, Лейбниц писал Я = ) г'(х) е1х. Символ ) означал у него сумму. Этот символ происходит от удлинения буквы Я (первой буква слова Яппппа) . Позже ученик Лейбница Иоган Бернуль ли предложил отличать «целостпую сумму бесконечно малых» от обычной суммы и предложил знак ) именовать интегралом от латинского слова 1п$епга11в (целостный). Фурье усовершенствовал обозначение Лейбница, предложив явно указывать начальное и конечное значения х; ь Ь' = ~(х) е1х. Рассуждения математиков Х1Х века носили нестрогий характер. Термин бесконечно малая величина не был достаточно строго определен, что приводило к противоречиям.
Строгое определение основано на понятии предела и интегральной суммы. Оно вобрало в себя качественный смысл определения Лейбница и устранило нечеткость формулировок. Пусть функция г" (х) неотрицательна на [и, 6[. Разобьем отрезок [а, 6] на п промежутков точками хв, хм ..., хн: п=хе<х~<х2<...<хи ~<х„=6. На каждом отрезке разбиения выберем точку с; и положим Ьх;=х; — х; ы г=1,2, ...,и,.
1е.2. !1онленне определенного инеиегрола 226 Тогда произведение 2 (с,) 2лх, равно площади прямоугольника Я; со сторонами 2(с;) и Ьх;. Сумма площадей всех таких прямоугольников равна сумме вида и 6н — ~~ У(Й) ~х~ ° з=1 Эта сумма представляет площадь ступенчатой фигуры. Чем уже ступеньки, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади криволинейной трапеции (рис. 12.2).
Естественно ожидать, что при неограниченном возрастании числа промежутков, так что наибольшая из их длин стремится к нулю, сумма Я„стремится к площади криволинейной трапеции Я. Введем теперь точное определение. Пусть на о"грезке [а, 6] задана функция у = 2'(х) (теперь уже не обязательно неотрицательная). Разобьем отрезок [а, 6] па и промежутков точками хв, хы ..., хн: а = хо < х1 < хз « ". х -~ < хн = 6. На каждом отрезке разбиения [х; ы х;,] выберем точку с; и положим Ьх;=х,— х; ы 1=1,2, ...,и. Сумму вида назовем интег1н2льной суммой для функции у = 2(х) на [а, 6]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка [а, 6] точками хв., хы ..., х„, так и от выбора точек св, сы ..., сн на каждом из промежутков разбиения [х, ы х;], 1 = Обозначим через шах Ьх; максимальную из длин отрезков[х; ых],где1=1,2,...,п.
Определение. Пусть предел интегральной суммы Ь'„= ~ 2" (с;) Ьх; при сгремлении шах 22 х, к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек хм хг, ... и см сг, .... Тогда этот предел называется определенным, интегралом от еруикции у = 2(х) 8 я.М. Аетяное ь'л. 1а Определенный интеграл 226 на «а, 6] и обозначается ь ~(х) ах, а сама функция у = С (х) называется интегрссруемой на отрезке [а, 6], т. е.
Эта запись читается: «интегрвл от а до бэ зф от икс дэ икс». При етом число а называется ниоссьсим пределом, число Ь вЂ” его верхним пределом («пределы интегрирования» не имеют ничего общего с термином «ьпредел функции»); функция 2" (х) - подынтегральной функциейь выражение 2" (х) дх — подынтегральным ь еырагссением, а задача о нахождении | 2 (х) с«х -- инспегрирс»ванием фуьькции ((х) на отрезке «а, Ь]. Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия.
Неопределенный интеграл представляет функцию (а точнее семейство функций), а определенный интеграл это число. Из определения следует, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е. ь ь ь ~(се) йх = ~(Х) сП = 2 (и) сКи. Верхний предел Ь может быть больше или меньше нижнего а. В первом случае а=хо<хс<хг«...хп с<;си=6, т. е. ьлх; = х,; — х, с > О. Во втором случае — ео ) х1 ) хг ) ° ° ° ) хьь — ! ) хьь — Ьь т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
