Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 37
Текст из файла (страница 37)
С его помоп1ью можно вычислять и определенные интегралы. Покажем как выглядит решение примера 5 и задачи 2 с | г х 1п хг!х = 1 и = 1п х; ди = !1п х) Йх = — г/х; 1 х 2 ггю = х г!х;0 = —, — — — — Π— — = — (е +1). А 1а8. г еолгетричеение ирилолеенил определенного интеграла 249 помощью компьютера: >1пв (ха1п(х), х=1 .. ехр(1) ); 1, 1 — е +-. 4 4 >1пв(ха(1п(х)) 2,х=1..ехр(1)); 1, 1 — е 4 4 Конечно же для таких простых примеров нет необходимости в применении компьютера.
Компьютер целесообразно использовать в случае, когда требуется выполнение рутинных вычислений. Так, вычисление определенного интеграла е 1в~о 1 требует выполнения десяти интегрирований по частям. Такую задачу лучше поручить компьютеру. Она легко найдет ответ: >1пс (ха (1п(х) ) 10,х=1 .. ехр(1) ); 1919 з 14175 8 8 12.8. Геометрические приложения определенного интеграла Формула Ньютона — Лейбница 1(х) г1х = г'(о) — г 1а) представляет универсвльнуго формулу вычисления площадей. С помощью зтой формулы можно находить площади квадратов, прямоугольников, треугольников, трапеций и других более с южных фигур. Действительно, площадь квадрата со сторонами, равными 2, равна г Г 2г1х = 2х~ = 4, о о 1л.
1а Определенный пнгпеграл 246 квадрат прямоугольник треугольник Рис. 12.6. Вычисление площадей площадь прямоугольника со сторонами 1 и 2 равна трапеция 1 2дх=2х =2, о о площадь прямоугольного треугольника с катетами 2 и 2 равна Г 2 2 г хдх= —, =2, о о площадь трапеции с основаниями 1, 2 и высотой 1 равна 2 хе1х = 1 3 2 (рис.
12.6). Теорема. Пусть на отрезке ~а, б) заданы непрерывные функции у = 11(х) и у = д21х) такие, что 22(х) > 21(х). Тогда плошадь фигуры, заключенной мехсду кривыми у = 12(х) и у = 11 (х), на отрезке )а, Ь) вычисляется по формуле (рис. 12.7, а) 12 2(х) — 21(х)) ах и П Будем предполагать, что у = д1(х) и у = д2(х) "неотрицательные функции на [а, 6].
Этого всегда можно добиться путем параллельного переноса оси Ох. 1»цо. г еолгетричеение ирилоогеенил определенного интеграла 247 у Рис. 12.7. Вычисление площадей Искомую площадь можно рассматривать как разность двух криволинейных трапеций., ограиичоипых данными линиями. Поэтому Ь 6 Ь Ь = ог — о1 = 7г(х) йх — 71(х) дх = (Уг(х) «1х — Л(х)) дх.
Заметим, что разность Ях) — )Ч(х) представляет «толщииу» фигуры в точке х, а площадь Я представляет собой «сумму» по х от и до й всех «кусочков» с перемеиной «толщиной» Ях) — ~~(х). ° тг Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = Зх — х и у = — х. Решение. Найдем точки пересечения данных кривых. Для этого решаем систему уравнений Е у = Зх —.т, у = — х. Решив ее, получаем: х~=О, у2 = — 4.
у» = О, Строим искомую фигуру (см. рис. 12.7, 6). График параболы расположеп выше прямой. Поэтому Ях) = 3 т — т2, а ~1(х) = — х. Рл. Ж Опр«д«ленныя интеграл «уголочек» «лепесточек» Рис. 12.8. Площади фигур Отсюда =~с«)-л( в" =)с .-"~-(-;л .= в 4 (4х — х~) сЬ = 2х~ — — ~ = 10 —.
а 3„- 3 о 7 Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х/х и у = х . Решение. Вычислим координаты точек пересечения указанных кривых, для чего решим систему уравнений: у = ~/х. 1»ешив ее, получаем; у, = О, х1=0, х2=1, Строим искомую фигуру. Она похожа на лепесточек (рис. 12.8). График параболы у = хз расположен ниже кривой у = х(х 1а8. 1«ометринеение прилоогеенин определенного интеграпо 249 (в этом можно убедиться сравнив ординаты в какой-либо промежуточной между нулем и единицей точке, например, в точке х = = 1/2). Поэтому ~т(х) = т1х, а (~ (х) = х~.
Следовательно, ~7 Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = хв и прямыми х = О и у = 1. Решение. Фигура, ограниченная указанными линиями, изображена на рис. 12.8 под названием «уголочек», Площадь этой фигуры вычисляется по формуле Площадь «лепесточка» внутри квадрата оказалась в три раза меньше площади самого квадрата, а площадь «уголочк໠— в два раза больше площади «лепесточка». А Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = — (х+6) 3 и прямой 2х — у+12 = О. Ответ: 12 кв, ед.
Объем тела вращения. Пусть на отрезке [а, 6) задана непрерывная неотрицательная функция у = 1" (х). Необходимо найти объем Ъ' тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции., ограниченной линиями у = 1 (х), у = О, х = а, х = 6 (рис. 12.1). Ученые ХЪ'П1 века находили обьем тела вращения следующим образом. Они считали, что криволинейная трапеция состоит из бесконечно малых прямоугольников со сторонами е1х и 1(х) гл.
1а Определенплый интеграл 260 (рис. 12.2). При вращении каждого такого прямоугольника вокруг оси абсцисс получается диск, имеющий толщину нх и радиус Л = ~(х) (рис. 12.9). Объем диска ! я равен объему цилиндра с радиусом ге' = ) (х) и высотой Н = ггх: Ъ'д = я Й . Н = гг ~ (х) Йт «Просуммировав» объемы всех таких дисков, ученые получали следующую формулу: е 1а = Ъа = п.1~(х) дх.
а Эта формула действительно справедлива. Рассуждения ученых были ка 1ествеппо верными. Однако термин бесконечно малая величина не был ими достаточно четко определен, что приводило к противоречиям. Поэтому по форме такие рассуждения в современной математике считаются неприемлемыми ) и заменяются доказательствами, основанными на теории предела.
Докажем полученную формулу, пользуясь понятиями предела и интегральной суммы. Разобьем отрезок (и, Ь) на более мелкие отрезки точками: а = хе < х1 < хв « ... х„= Ь и на каждом из отрезков разбиения выберем точку с,, где 1 = = 1, 2, ..., п (рис. 12.10). При вращении вокруг оси Ох каждый прямоугольник с высотой 1(с;) и основанием 1»х! = х; — х; описывает цилиндр с радиусом 1(с1) и высотой 1«х1. Сумма объемов всех цилиндров тг 1' (с;) 1.'1х, 1=1 приближенно равна объему 1гв тела вращения (рис.
12.10). Очевидно, что приближение для искомого объема 1ге будет тем лучше, чем меньше длина отрезков разбиения Ьх1, поэтому за искомый объем 1г естественно взять следующий предел: $г, = !)п1 ~и~ (с;)ь»х;, шах ах, — го . и ) Исключение составляет так называемый неспюндартный (или и«архимедов) анализ, зародившийся в 60-х гг. ХХ в., где вводится четкое определение бесконечно малой величины как некоего гипердействительного числа. 12.о. 1'еомеепричееиие приложения определеееного интеграла 251 диск толщиной 01х вращаемый прямоугольник Рис. 12.9. й'а = гг г"а(х) е1х вращаемая фигура тело вращения Рис. 12.10.
1'г = йеп 2 и г'г(с,) е.'их, шах Ьг, — ео где гпахЬх; -+ 0 — максимальная из длин отрезков разбиения. Но выражение и 1" (с;) Ьх; 1=1 есть не что иное, как предел интегральной суммы для функции д(х) = гг1 (х), поэтому по определению определенного Гл. 1й Онределенннй интеграл 252 интеграла получаем Заменим формально в этой формуле переменную х на р. Получим формулу д дд2(у)~1д е Она выражает объем тела, полученного от вращения криволинейной трапеции вокруг оси Ой.
Ч Пример 4. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох области, ограниченной параболой д = х2 и прямыми д = О, х = 1 (рис. 12.11). вращаемая фигура тело вращения Рис.12.11. 1г = х )(хг)2 дх о 12.д. Геометрические приложи:енин определенного интеграла 253 Решение. Имеем а = О, 6 = 1, д (х) = хг, откуда 1г = гг 1~'1х) г1х = гг 1хв)~ г1х = гг —, = —, т. и 5 о 5 г7 Пример 5. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Од области, ограниченной параболой д =;с' и прямыми д = 1, х = 0 (рис.
12.11). вращаемая фигура тело вращения Рис.12.12. г' = к ~ ( 'у) г1у о Решение. Имеем с = О, г1 = 1, д(д) = игу ., откуда 'г', =ггпу 1д)с1д=гг~дс1д=п — '~ = — гг. а 2 о 2 Задача 2. Вычислить обьем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линия- 6 мну= —,х=1,д=2. х' Ответ: 30 гг. Задача 3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Од фигуры, ограниченной линиями у2 = 4 — х2, х = О. 512 Ответ: — гг = 107г23. 15 1л. 1а Онредеаенеенй интеграл 254 12.9. Приближенное вычисление определенных интегралов На практике часто встречаются интегралы, которые не выражаются через элементарные функции или выражаются очень сложно. Нередко подынтегральная функция задается таблицей или графиком. В этих случаях интегралы находят численными методами.
Основа численных методов построения формул приближенного вычисления интегралов состоит в замене частичных криволинейных трапеций, образующихся при разбиении отрезка интегрирования, на более простые фигуры. В формуле прямоугольников это прямоугольники; в формуле трапеций трапеции; в формуле парабол — параболы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
