Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 35
Текст из файла (страница 35)
е. слх; = х; — х; ь < О. 12.2. !1онлшие овределеиново аишегрвла 227 Поэтому по определению полагают Понятие определенного интограла распространяют и на случай а = 6; интеграл с равными пределами считается равным нулю: Это соглашение оправдано гем, что интегральная сумма стремится к нулю при сближении а и б. Очевидно, если функция 7'(х) интегрируема на отрезке [а, 6], то она и ограничена на этом отрезке.
В самом деле, если 7'(х) не ограничена на отрезке [а, 6], то она не ограничена на некотором отрезке [х; 1, х;]. За счет выбора точки с„. интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой, а такая интегральная сумма не имеет конечного предела, что противоречит определению, согласно которому предел интегральной суммы о'„существует и конечен. Покажем на примере функции Дирихле, что обратное утверждение неверно: существует ограниченная функция, не являющаяся интегрируемой.
Напомним, что функция Дирихле равна единице в рациональных точках и нулю - в иррациональных. На любом отрезке [а, 6] эта функция ограничена, но пе является интегрируемой на нем. Действительно, если в каждом отрезке [х1 1, х1] выбрать рациональную точку с;, то интегральная сумма б'„= Х 1(с1) Ьх1 = Е 1 Ьх1 = Е(х1 — х;, ) = 1=1 1=1 1=1 1Х1 ХО) + (Х2 Х1) + ° ° ° + (Хв — 1 Хв — 2) + (Хв Хв-1) = =х„— хо=6 — а. Если выбрать иррациональную точку с„то д" (01) = 0 и Я„= ~ '~(с,) Ьх, = ~ 'О. ~х, = ~ 'О = О. 1=1 1=! Гл. 2а Онределенныв интеграл 228 Таким образом, с одной стороны Я„= 6 — и, с другой стороны Я„= О.
Поэтому предел интегральных сумм не существует и функция Дирихле не является интегрируемой. Отметим без доказательств, что справедливы следующие утверждения: 1. Если функция 1" (х) интегрируема на отрезке [а, 6], то она интегрируема на любом отрезке [с, ь1], содержащимся в [а, 6]. 2. Если функция 1(х) непрерывна на отрезке [а, 6], то она интегрируема на этом отрезке. 3. Если функция 1(х) имеет на отрезке [а, 6] конечное число точек разрыва первого рода, то она иптегрируема на [и, 6]. 12.3. Геометрический смысл интеграла В случае, когда функция д = 1 (х) нсотрицатсльна на ать резке [о, 6], где а < Ь, ] д'(х) Ых численно равен площади о под й кривой д = 1 (х) на [а, 6]. Это следует из определения интеграла: при стремлении |пахах; к нулю ширина ступенек сгремится к нулю и интегральная сумма превращется в площадь фигуры под кривой.
Если а < 6 и 1(х) < О, то ь 1(х) ь1х = — о, т. е. определенный интеграл от функции, принимающей неположительные значения, равен площади соответствующей криволинейной трапеции, взятой со знаком минус (рис. 12.3). Если а < 6 и д'(х) меняет знак на отрезке [а, 6], то определенный интеграл равен алгебраической сумме площадей соответствующих криволинейных трапеций (рис. 12.3); 1Й2. Ингаеглал в социально-эконолсической сфере 229 [«(Сс) Сев ~1 о2+ оЗ а [ «(гв) 2л = -Ь а Рис. 12.3. Геометрический смысл интеграла 12.4. Интеграл в социально-экономической сфере Определение интегральной суммы позволяет использовать понятие определенного интеграла в социально-экономической сфере. Его применение основано на том, что любой меняющийся социально-экономический процесс может быть интерпретирован как скачкообразный, скачки которого близки к нулю.
Количество денег, поступивших в сбербанк за определенный промежуток времени. Пусть и = «(г) описывает количество денег поступающих в сберегательный банк в каждый момент времени ~. Требуется определить общее количество денег Г1, поступивших в банк за промежуток времени [О, Т). Если «(1) = сог1вС, то количество денег !3, поступившее в банк за промежуток времени [О, Т[, находится по формуле СУ = = «(с) (Т вЂ” 0) = «(с)Т, где с произвольное значение из отрезка [О, Т]. Если в каждый момент времени за промежуток времени [О, ТЯ в банк поступает «(с1) денежных единиц, а в каждый момент времени в промежутке [Т«2, Т~ «(с2) денежных единиц, то общее количество денег, поступившее за промежуток времени [О, 1'~), подсчитывается по формуле (/ = «(с ) Т/2+ «(с~) Т/2.
1л. пв Определенннп интеграл 230 Пусть 1'(г) произвольная кусочно-непрерывная функция на отрезке [О, Т]. Разобьем отрезок [О., Т] па промежутки времени точками: О = 1о < 11 < 12 « ... 1„1 < 1„= Т. Количество денег Ь111, поступивших в банк за промежуток времени [1, 1., 21], приближенно может быть вычислено по формуле ЬГ = ~(с1) Ь1„ где с; Е [11 1, 11], ЬС1 = Х1 — 11 1, 1 = 1, 2, ..., и (точность этого равенства тем вьппе, чем меныпе Ы;). Тогда и = ~ лиг = Я ~(с;) и1;. 1=1 1=1 При стремлении шахЫ1 к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому и = й ~ ('(с;) Л1;.
гпах а1, — ~О Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем т. е. если 1(1) - количество денег, поступивших в сбербанк в т момент времени 1, то ] д" (1) Ж есть общее количество денег, по- о ступивших в сбербанк за промежуток времени [О, Т]. Поскольку )'(1) ) О, то общее количество денег, поступивших в сбербанк за промежуток времени [О, Т] численно равно площади фигуры пОд графикОм функции д (Г). Объем продукции, произведенной за определенный промежуток времени. Пусть, теперь, функция у = д'(1) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции Я, произведенной за промежуток времени [О, Т].
Разобьем отрезок [О, Т] на промежутки времени точками: 0 = 1о < 11 < 12 « ... 1 1 < 2в = 21 1а о. Свойетви онределенаого ннтегоили 231 Обьем продукции,ЬЯ;, произведенной за промежуток време- ни [11 1, 1;], приближенно может быть вычислен по формуле ЬЯ ~(с;) ей11, где с; Е [1, 1, 1;[, Ь8, = 1; — 1н 1, г = 1, 2, ..., и (точность этого равенства тем вьппе, чем меньше Ь11).
Тогда ~ Я = ~~ ЬЯ; = ~~,1(сг) Ы;. ~ 1=1 1=1 При стремлении шах Ы; к нулго каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому !пп ~ 1(с,) Ь1н. евах Ы, — ге Учитывая определение определенного интеграла, окончатсшьно получаем т 1" (1) еЫ, 0 т. е. если 1(е) — производительность труда в момент времени 1, т то ) «(1) Ж есть объем выпускаемой продукции за промежуток 0 времени [О, 1~[.
Поскольку 1'(1) > О, то обьем продукции, произведенной за промежуток времени [О, Т~), численно равен площади фигуры под графиком функции 1 (1), описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке [О, Т[. 12.5. Свойства определенного интеграла На протяжении всего параграфа будем предполагать интегрируемость рассматриваемых функций на выделенных отрезках интегрирования. Рассмотрим сначала свойства определенного интеграла, которые имеют аналоги в случае интеграла неопределенного.
рл. !а Определенный пнгпеграл 232 1. Постоянный мноэгситель мозкно выносить за знак инте- грала, т, е. где Й вЂ” некоторое число. П Отрезок [а, Ь] разобьем на отрезки [хг 1, х;] и выберем точки с; на каждом из отрезков разбиения. Составим интегральную сумму ~ Й 1'(с1) Ьхг г=1 для функции Й д (х). Используя распределительный закон умножения чисел, имеем Й !'(01) Ьхг = Й ~ ~(сг) Ьхг. 1=1 1=1 Переходя к пределу при тахглх1 — ь О в левой и правой частях последнего равенства и вынося множитель Й в правой части из под знака предела, получаем 1пп ~~ Й ~(с1) Ьхг = Й 1пп ~~ ~(с1) Ьхч. пыхеъг,— !О .
пгахглг„— ге По определению определенного интеграла первый из пределов ь ь Равен ] Й ~(х) дхг втоРой Равен Й] д".(х) ах. ° 2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой зке сумме интегралов от этих функций, т. е. П Справедливо равенство и и и (д'(с1) х д(сь)) Ьхг = ~~ д (сг) Ьхг х ~~ У(сч) Ьхг. 1=1 1=1 1йе. Сееаетви определенного антегрила 233 Переходя в этом равенстве к пределу при тах Ьхг — + О, получаем !1т ~~ («(с;) х д(с;)) Ьх; = 1пп ~ ~'«(сг) Ьх; х тех ах, — ~О 1пп ~ д(с;) Ьх,.
пзах ах, — ~0 Откуда 6 6 6 Г Ц(х) х д(х)) дх = «(х) Их х д(х) Йх. ° Перейдем теперь к свойствам определенного интеграла, которые не имеют аналогов в случае неопределенного интеграла. 3. Если отрезок итпегрированил разбит на части, тв интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов длл каждой из возникших частей, т. е. при любых а, в, с: При а < с < в это равенство имеет простой геометрический смысл (см.
рис. 12.4, а). Согласно геометрическому смыслу определенного интеграла е 6 6 Рис. 12.4. Третье свойство определенного интеграла 1л. 1а Определенный интеграл 234 где Я площадь всей заштрихованной фигуры. Тогда при сделанных предположениях третье свойство утверждает наличие следующего очевидного соотношения между площадями: г ='~1+62 ° Другие случаи сводятся к данному. Например, если а < Ь < с, то согласно рис.
12.4, о); ь с с Г 1(Х)дХ о! = о о2 = З(Х)дХ г (Х)аХ = а а ь с ь Т'(х) дх+ ((х) дх. а с 4. Если на отрезке (а, 6), где а < Ь, г(х) < д(х), то и ь ь ь з" (х) дх < д(х) дх, т. е. обе части неравенхпсва можно иочленно интегрировать. П Из неравенства )(х) < д(х) вытекает аналогичное неравенство для интегральных сумм: Т(се) Ьх1 < ~~ д(с;) йх1. с=1 1=1 Переходя к пределу при п1ах глх1 -+ О, получаем !пп ~~ ) (с1) з х1 < !!п1 ~~ д(с;) глх1: техас,-ео .
техас,-ео ь ь 2'(х) дх < д(х) дх. ° Следствие. Пусть на отрезке. [а, Ь~, где а < Ь, т < 2 (х) < М, где т и М некоторые числа. Тогда ь т(6 — а) < Г(х) дх ~< М(Ь вЂ” а). ! 12.Ь. Соойепгаа онределенаого интеграла 236 П По свойству 4 имеем ь ь ь | теьх < ~(х) гьх < Меьх. ь ь Вычислим |тегх и ~ М11х. Для этого докажем сначала равен- а а ство ь 11Х = 6 — а.
Подынтегральная функция равна единице: 1(х) = 1: интеграль- ная сумма для нее выразится формулой Г" (сг) еьхг = ~~г глхг = = (х1 — а) + (х2 — х1) + (хь — х2) + ... + (х„1 — х„2)+ + (6 — х„-1) = 6 — а. Далее, согласно свойству 1 имеем тйх = т е4Х = т,(6 — а), ~ ~ а ~ ~ ~ ~ г ь ь | М дх = М г4Х = М (6 — а), а а откуда гп(6 — а) < 1(х)еьх < М(6 — а).
° а 5. Теорема о среднем. Если гбункцил у = г" (х) непрерывна на отрезке |а, 6) (где а < 6), то яа11йетсл значение с Е (а, 6], что 1л. 1ез Онаеделенннй иннгеграл 236 П По первой и второй теоремам Вейерштрасса непрерывная на отрезке [о, 6] функция ограничена на нем и достигает своего наименыпего и наиболыпего значения (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
