Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 31
Текст из файла (страница 31)
!0.1. Пгинчип ахаелегачии 197 Наилучшим уравнением, выражающим эти графические зависимости между г(1) и д(1), является пе алгебраическое уравнение, а уравнение, содержащее вместо переменной д(1), ее производную: (10.8) Уравнение (10.8) достаточно точно отражает реальную ситуд(1) ацию.
Действительно, если г(1) = 0 из (10.8) получаем = 0 (Й или д(г) = сопв1 = д(0); если же г(1) = 6, то = /се или 1д(1) д(1) = ~81+ д(0). Вывод: рост инвестиций ведет не столько к росту про- дукции, сколько к скорости роста, причем скорость роста прямо пропорциональна увеличению инвестиций. д(1) = 9(1). Из этого уравнения и равенства (10.8) получаем, что для то- го, чтобы удовлетворить этим требованиям, инвестиции должны удовлетворять уравнению И у(1) Ж 1 После введения нового обозначения а = —, получаем Х' Н 9(1) д1 (10.9) В реальной рыночной экономике предприятие не может бесконечно увеличивать рост своей продукции.
Оно увеличивает производство только в том счучае, если есть спрос на его продукцию. Предприятие должно мгновенно реагировать на изменения спроса д(1) и выпускать продукции ровно на столько болыпе на сколько больше увеличивается спрос, т. е. предприятие должно выпускать продукцию д(1) так, чтобы опа совпадала по величине со спросом д(1) на нее; 1ЭЯ 1л. 1<1. Применение <1ифференциального исчисления...
Вывод: Для полного удовлетворения спроса и полной реализации своей продукции предприятие должно увеличивать инвестиции пропорционально скорости роста спроса (акселерации). 1 Коэффициент пропорциональности а = — называют коэффи1< циенгпом акселерации или акселерагаорам. Пусть спрос на продукцию предприятия растет. Должны ли инвестиции также возрасти? Многие скажут: конечно, должны. И будут неправы. Ответ на этот вопрос не является однозначным, как иногда думают. Все зависит от того, каков знак второй производной от функции спроса плюс или минус.
Если знак функции <1о(1) .. плюс, то д'(1) строго возрастает. Из (10.9) следует, что тогда должны возрастать и инвестиции г(1). Если знак до(1) — минус, то д'(1) строго убывает, а это означает, что инвестиции г(1) также должны убывать. Если вторая производная <1о(1) равна нулю на некотором промежутке, то д'(1) постоянна на этом промежутке. Следовательно, должны быть постоянными и капиталовложения в производство. Вывод: 1.
Если спрос на предметы потребления возрастает в каком-либо периоде все быстрее (<1о(1) > О), то должны возрастать и капиталовложения в их производство. 2. Если спрос на предметы потребления с какого-то момента начинает расти все медленное (дн(с) < О)., то должны уменыпиться и размеры капиталовложений. 3. Если спрос на предметы потребления возрастает с постоянным темпом, достигнутым в момент времени 1э< то капиталовложения следует удерживать на уровне достигнутом в момент времени 1э (рис.
10.3). Приведенное пог<ожение называют принципом акселератора. 10.5. Экономия ресурсов Решение некоторых примеров, связанных с экономией ресурсов, нами уже было рассмотрено в предыдущей главе при изучении темы «Разыскание оптимальных зпаченийк. Рассмотрим еще один. 10.,ек Экономил ресурсов 199 Решение, Пусть поверхность банки й, радиус основания Л, высота Н. Требуется найти наименьшее значение площади поверхности цилиндра о =2вгйй+2яЛ2 (10.10) при условии, что Л2й 1, (10.11) За аргумент удобно принять Л.
Из (10.10) и (10.11) находим: й = 2 — + вг й2 Найдем производную этой функции: Я'(Л) = 2 — —, + 2вг Л Аргумент изменяется в промежутке (О, +ос) . В этом промежутке имеется единственная критическая точка в=Я. (10.12) Она и соответствует наименьшему значению Я. Из (10.11) и (10.12) находим; й2 т. е.
высота банка долшснв равняться диаметру основапня. Наименьшее количество жести, требуемое для изготовления банки, равно Янввм —— 2 х (Л й + Л ) = б я Л = 3 ъ~ 22я 'г'2 870 см . а Кофе, конфеты, мед, сгущенное молоко и другую продовольственную продукцию часто упаковывают в цилиндрические банки. При этом крышка, дно и боковая поверхность банки часто имеют разную толщину или же быва|от сделаны из разных материалов (например, полиэтилен, пластмасса, картон и жесть).
Предлагаем следующее обобщение предыдущей задачи; Задача. Пусть каждый квадратный сантиметр крышки цилиндрической банки стоит а денежных единиц, дна банки . 6 й Пример. Найти наименыпее количество жести, из которого можно изготовить цилиндрическую консервную банку вместимостью г' = 2 л (запас па швы не учитывать). 200 Рль 10. Нрименеяие дифференциального иечиеленин... денежных единиц, а боковой поверхности банки с денежных единиц. Определить каково должно быть отношение высоты Н к диаметру банки Р, чтобы при объеме н' ее стоимогггь была наи меньшей. Указание. Объем Ъ' равен гг Н2 Н.
Откуда Н = 'и'/(гг Л2). Подставляя это выражение для Н в формулу стоимости Р = а ггН~+ Ь ге Н2+ с 2ггНН, получим Р(К) = (а+ Ь) и Д2+ 2 с ~l/Д Паименыпее значение в интервале (О, +ос) зта функция принимает при Ответ: Н/Р = (а+ Ь)/(2с). Раздел 111 Интегральное исчисление Смысл —. там, где змеи интеграла Меж циФр и букв, меж Н и ~! В. Брюсов Глава 11 Неопределенный интеграл 11.1. Неопределенный интеграл Определение.
Пусть функция ~(х) есть производная от функции р'(х): ~'(: ) = Пх). Тогда Е(х) называется первообразной для функции ~~х). Функция 3 х есть производная для функции х': з)~ 3 з Поэтому по определению функция хз является первообразпой для функции 3 х, Функция 4х есть производная для функции х; ( 4)г 4 3 По определению функция х4 является первообразной для функции 4х . Первообразной для функции 5 х4 служит функция х', так как (х~)' = 5 х4. Гл. !!. !!еопрсделепаый антпеграл 202 Функция 1(х) = Зх является производной функции Р (х) = = хг.
Но она также является и производной функции Р1(х) = = х + 1, поскольку (ха+ 1)' = 3 ' = й: ). Поэтому функция 3 хг имеет не одну первообразную. По определению функции Е(х) = хг и Е!(х) = хг + 1 являются ее первообразными. Функция Рг(х) = хг + 2 также является нервообразной для 3 хг. Более того, любая функция вида 3 + где С .-- произвольное число, также является первообразпой для функции ! (х) = 3 х, так как з+С)г 3, г Таким образом, функция 3 хг имеет бесчисленное множество первообразных. Аналогично, в общем случае, еи!и Е(х) некоторая первообразная для ! (х), то поскольку (Е(х) + С) = Г'(х) = !" (х), функция вида Р (х) + С, где С -- произвольное число, также является первообразной для !'(х). Остается вопрос, имеет ли функция !" (х) другие первообразные, которые не описываются выражением вида Е(х) + С.
Ответ на него дает следующая Теорема. Если Е!(х) и Рг(х) -- псрвообрааные для функции ! (х) в неко!паром прожеонз!тке Х, гао найдется токов число С, что справедливо равенство Ег(х) = Е!(х) + С. П Поскольку (Ег(х) — Е!(х)) = Рг(х) — Е!(х) = 1(х) — ~(х) = О, то по следствию из теоремы Лагранжа найдется такое число С, что Ег(х) — Е!(х) = С или Ег(х) = Е!(х) + С.
° Из данной теоремы следует, что если Е(х) первообразная для функции !'(х), то выражение вида Е(х) + С, где С произвольное число, задает осе возможные первообразные для 1(х). 11.!. Неопределенный шип«грал 203 Определение. Наиболее общий вид первообразной для функции «(х) на промежутке Х называется неопределс»п«мм иьнпсгралом от функции «(х) и обозначается ~«(х) дх. Таким образом: где Е(х) - некоторая первообразпая для «(х), С - произвольная постоянная. Слово «неопределенный» подчеркивает, что в общее выражение первообразной функции входит слагаемое, которое можно выбрать произвольным. Знак ) называется знаком интеграла, функция «(х) подынтсгральпой функцией, выражение «(х) дх подынтегральным выражением, переменная х переменной интегрирования.
Обозначение ) «(х) дх читается так: «интеграл эф от икс дэ икс»з Знак ) (вытянутая буква Б), введенный Лейбницем, происходит от начальной буквы латинского слова Зппппа (сумма), а термин интеграл, введенный учеником Лейбница Якобом Бернулли — от латинского слова !и!ебга!!в (целостный). И знак, и термин были введены для того, чтобы отличить «сумму бесконечно малых» от обычной суммы.
По другому предположению, Якоб Бернулли произвел термин от латинского !п$епго (приводить в преждпее состояние, восстанавливать) . БЕРНУЛЛИ (Ввтпопй1) Якоб (1654--170б) -- самый знамвнитый из трех иыдающихси поколений математикои Бернулли (Бвзвль, Швейцария), примвиившими н развив~ними Лиффервнцнальнос и иптогр льнов исчислснив Лейбница. Он был такжс автором псрвогс трактата по математической теории вероятностей.
Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции. Из множества первообразных данной функции «(х) только одна может принимать данное значение 6 нри данном значении аргумента х = а. Если известен интеграл «(х) дх = Г(х) + С, рл. 1!. Неопределенный нпелеерол 204 то соответствующее значение постоянной С находится из соотношения 6 = с'(а) + С.
7 Пример. Найти ту первообразную от функции 3хг, которая принимает значение 6 при х = 2. Решение. Имеем: Постоянную С находим из соотношения 6 = 2в + С. Получаем С = — 2. Подставляя в (11.1), находим искомую первообразную функцию у=ха — 2. Геометрически задачу можно сформулировать так; найти ту интегральную кривую функцию 3 х2, которая проходит через точку (2, 6). Искомая линия есть кубическая парабола. а 1 Задача. Найти ту первообразную от функции — х, которая 2 принимает значение 3 при х = 2. 1 2 Ответ: с'(х) = — х2+ 2. 4 11.2.
Свойства неопределенного интеграла 1. Производнал от неопределенного интеграла равна подынтегральной фуикциие П (| ~(х) дх) = (1г(х) + С) = Р'(х) + С' = 1(х)+ 0 = 1(х). ° 2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральнолеу выражениюе 11.е. Свойства пеонределенного интеграла 20а П д (| 1'(х) ах) = )применим определение дифференциала! ,/ = (| 1" (х) Йх) 4х = ~применим свойство 1~ = 1" (х) дх. ° 3. Неопределенный интеграл от дг фференциала некоторой функции равен этой д1ункции с точностью до поспгоянного слагаемого С: П Пусть производная функции г (х) равна 1' (х) . Тогда | сг г" (х) = = | г (х) д.г, = | 1 (х) Мх = г" (х) + С. ° Таким образом, согласно свойствам 2 и 3, операции интегрирования и дифференцирования в некотором смысле взаимно обратны (знаки д и | взаимно уничтожают друг друга, в случае свойства 3, правда, с точностью до постоянного слагаемого).
4. Постоянный множитель можно выносить за знак инте- грала: где Й вЂ” некоторое число, отличное от нуля П Найдем производную функции д(х) = | гс ) (х) ах— — й |1"(х) дх: д (х) = к ) (х) г1х — к 1(х) ах к 1(х) с1х — к 1(х) ах = ~применим свойство 1~ = к 1" (х) — й 1'(х) = О. По следствико нз теоремы Лагранжа найдется такое число С, что д(х) = С, и значит Так как сам неопределенный интеграл находится с точностью до постоянного слагаемого, то в последнем равенстве постоянную С Гл. 1!. Неопределенный ннгпеерол 206 можно опустить. ° 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
