Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки 7=4. 5, Найдем асимптоты. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке: !ьпь /(х) = !пп (х+ 20)/(х — 4) = — оо, х — ь4 — О х — ь4 — О !пп /(х) = !пп (х+20)/(х — 4) = -1-оо. х-444-0 х44-~-О !'л. 9. Исследование функций 178 Таким образом, прямая х = 4 вертикальная асимптоза графика. Исследуем график па наличие наклонных асимптот. 7"(х) . тг+ 20 . 1+ 20/х 1)ш = !пп !пп а — «~ос х х — е~ос х (х — 4) к — етсс 1 — 4/х 6 = !пп (7(х) — Йх) = !нп 1 — 1 х гех + 20 х — е*оо к-е~ос 1, т — 4 т +20 — хг+4т .
4т+20 !пи Бш т-~к со х — 4 х — ~ ~оо х — 4 Таким образом, прямая д = х + 4 -- двусторонняя наклонная асимптота графика. 6. Найдем промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума. х г+20'! 2х(т — 4) — (ха+20) хг — 8х — 20 д = х — 4 / (х — 4)г (х — 4)-' хг — 8 х — 20 =О, (х — 4) г хг — 8х — 20 = 0; х1= — 2, хг=10. т — 8х — 20'! (2т — 8) (т — 4)г — 2(х — 4) (хг — 8х — 20) д (т — 4)г 2х(х — 4) — (хг+ 20) (х — 4) г (х — 4) Производная функции обращается в нуль в точках х = — 2 и х = 10 и не существует в точке х = 4.
В интервале ( — со, — 2) производная положительна (д~( — 3) > 0), следовательно, функция строго возрастает. В интервалах ( — 2, 4) и (4, 10) производная отрицательна, функция строго убывает. В интервале (10, +оо) производная положительна, функция строго возрастает. При переходе через точку х = — 2 производная функции меняет знак с плюса на минус, следовательно, х = — 2 точка строго локального максимума.
При переходе через точку х = 10 производная меняет знак с минуса на плюс, х = 10 -- точка строгого локального минимума: д„, = д( — 2) = — 4; д,;„= д(10) = 20. 7. Исследуем направление выпуклости графика функции, найдем точки перегиба. 9.8. Паекгуоекие грпфика функции ка комиьнэтере Рис. 9.24.
График функции у = (ха + 20)/(х — 4) Вторая производная не обращается в нуль и не определена лишь в точке разрыва х = 4. Поскольку точка перегиба должна быть точкой графика функции, то график функции точек перегиба не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах выпуклости функции. В интервале ( — оо, 4) вторая производная отрицательна, кривая выпукла вверх. В интервале (4, +ос) вторая производная положительна, кривая выпукла вниз.
8. Вычислим значения функции для некоторых значений ее аргумента; /( — 2) = (( — 2) + 20)/( — 2 — 4) = — 24/6 = 4; /( — 1) = 21/5 = 4,2; /(1) = 21/3 = 7; /(2) = — 24/2 = 12. 9. График функции изображен на рис. 9.24. а Задача 2. Построить график функции 9 = 2 хз/(х~ — 4). Ответ: График функции изображен на рис. 9.25. 9.8. Построение графика функции на компьютере Для построения с помощью Мар!е графика функции 9 = / (х) в интервале (а, б) достаточно набрать на компьютере команду >р1ос(Х(х),х=а..Ь); и нажать клавишу Епсег. й Пример. Построить график функции у = т в1п х в интерВале ( — 9, 9).
Гл. 9. Исследование функций Рис. 9.25. График функции у = 2 хе((х2 — 4) Решение. Набираем команду >р1ос(хля2п(х), х=-9 .. 9); и нажимаем клавишу епуег. Компьютер тут же нарисует график, изображенный на рис. 9.26.,а Рис. 9.26. График функции у = х вш х Как это ии парадоксально ... наиболее непосредственное влияние идеи Ньютона оказали в области экономики и политики. Д. Бернал Глава 10 Применение дифференциального исчисления в социально-экономической сфере 10.1. Предельные величины в экономике Теоретический анализ разнообразных явлений экономики использует ряд предельных величин. Перечислим лишь некоторые из них; предельная стоимость, предельные издержки, предельный доход, предельная производительность, предельная полезность, предельная склонность к потреблению.
Все эти величины самым тесным образом связаны с понятием производной. В качестве характерного примера рассмотрим предельные издержки. Пусть д(х) затраты на изготовление х экземпляров некоторого продукта. Тогда у (х) выражает скорость изменения затрат при изменении количества продукта. Эта производная называется предельной (маржинальной) стоимостью. Согласно определению производной имеем; ьв у = 1пп Ья — ~0 Ьх Следовательно, можно считать, что производная у'(х) приближу женно равна отношению —.
Положим Ьх = 1. На практике Ьх обычно х — очень большое число, так что 1 мала по сравнению с х. Откуда Разность р(х + 1) — р(х) выражает на сколько изменились затраты (издержки) при изготовлении еще одного экземпляра 182 Гл. 10. Применение диффсренциального исчисления... продукции. Поэтому экономисты определяют предельные издержки д'(х) так же, как затраты на изготовление еще одного экземпляра продукции.
7 Пример 1. Зависимость между издержками продукции д и объемом выпускаемой продукции х на предприятии выражается функцией д = 10х + 50. Определить предельные издержки при объеме продукции х = 100 единиц. Решение. Предельные издержки выражаются производной д'(х). При х = 100 предельные издержки составят д'(100) = = 10. Это означает, что при данном уровне производства (количестве выпущенной продукции 100 единиц) на выпуск единицы дополнительной продукции необходимы дополнительные затраты в 10 денежных единиц. Действительно, затраты па выпуск сто первой единицы продукции можно подсчитать и по другому: д(101) — д(100) = 10 101+ 50 — 10 100 — 50 = 10.
Для нашей конкретной задачи (т, е, в случае, когда д является линейной функцией от переменной т) разность д(х+ 1) — д(х) совпадает со значением производной д'(100). В общем же случае (когда функция д(х) может быть нелинейной) при больших х разность д(х + 1) — д(х) совпадает с д'(х) лишь приближенно. А Ч Пример 2. Зависимость издержек производства одного из предприятий от обьема выпускаемой продукции х выражается формулой д(х) = 40 х — 0,03 х~. Определить средние и предельные издержки при объеме продук- ции х = 15 ден. ед.
Решение. Функция средних издержек на единицу продукции определяется по формуле д = д/х, или в нашем случае д(х) = 40 — 0,03 х2, откуда д(15) = 40 — 0,038225 152 = 33,25 деп. ед. Предельные издержки дс определяются по формуле д'(х) = 40 — 0,09 т2, откуда при х = 15 получаем д'(15) = 19,75 деп. ед. 10.1.
П редел»ные величины в экономике Иными словами, при средних издержках на производство единицы продукции в 33.,25 деп. ед. дополнительные затраты на производство единицы продукции составят 19,75 ден. ед. и не превысят средних издержек. А Как видим, предельная величина характеризует не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение экономического объекта. Таким образом, предельная величина выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса). Помимо предельных издержек с помощью производной могут быть определены предельный доход, предельная стоимость, предельный спрос, предельная выручка, предельная производительность ресурса и другие предельные величины.
В экономической теории предельные (мархюпнальные) величины р'(х) принято обозначать через М!1(х). Буква М первая буква английского слова п1агп!па! -- «маржинальный» (переводится на русский язык словом «предельный»). Определение предельных величин с помощью понятия производной позволяет использовать математический аппарат для доказательства экономических законов. Рассмотрим некоторые применения дифференциального исчисления в экономической теории. Пусть х -- количество реализованного товара, й(х) . — функция дохода, С(х) функция издержек (затрат на производство товара). Вид этих функций зависит от способа производства, оптимизации инфраструктуры и т.
п. Обозначим функцию прибыли за П (х ) . Тогда П(х) = й(х) — С(х). Очевидно, оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, т. е. такое значение выпуска х, при котором функция П(х) имеет максимум. По теореме Ферма в этой точке П'(х) = О. Но П'(х) = й'(х) — С'(х). Поэтому й'(х) = С'(х), т.е. если уровень выпуска х является оптимальным для производителя, то М й(х) = МС(х), где М й(х) предельный доход, а МС(х) предельные издержки. 184 Гл. 10.
Применение дифференциального исчисления... Получили известное в микроэкономике утверждение: Для того чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны. Использование в конце Х1Х в, предельных (маржинальных) величин полностью изменило способы анализа и предмет экономической теории. Экономисты для вывода экономических законов стали охотно прибегать к математическим доказательствам. Произошедшие в результате этого изменения были столь значительны, что их впоследствиии назвали маржипалистской революцией. ~7 Пример 3 (Максимизация прибыли).
Пусть функция дохода от количества реализованного товара х выражается форхз мулой Л(х) = —, + 2000000 х, а функция затрат на производство товара — формулой С(х) = 1500х~. Определить оптимальный уровень производства и прибыль, которая при этом достигается. Решение. Прибыль определяется формулой П(х) = Л(х) — С(х), откуда П(х) = — ' — 1500 хв + 2000000 х. 3 Приравнивая производную прибыли П'(х) = х~ — 3000 х+ 2000000 нулю, получаем уравнение х~ — 3000 х + 2000000 = О.
Корни этого уравнения х1 = 1000, хз = 2000. Проверка показы- вает., что максимальная прибыль достигается при х = 1000; П~гх = П(1000) — 833 333 333 ден. ед. а г7 Пример 4 (Оптимизация прибыли). Пусть функция дохода от количества реализованного товара х выражается формулой Л(х) = 16 х — х, а функция затрат на производство товара формулой С(х) = х~+ 1. Определить оптимальный уровень производства и прибыль, которая при этом достигается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
