Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 27
Текст из файла (страница 27)
х-с-со lеа с1 х-о-со Д Ц 1 ~„. 2 Таким образом, ири х — э +ос асимптотой служит прямая у = 1 (правосторонняя горизонтальные асимптота)., а при х -+ — оо —. 9.7. Иееаедааапие сдунхиив 173 прямая у = — 1 (левосторонняя асимптота), а Ч Пример 2. Найти асимптоты кривой у = хз — 3 х. Решение. 1) Вертикальных асимптот график этой функции не имеет, так как функция у = ха — 3 х не имеет разрывов. 2) Найдем пределы !пп /(х) е — ~хас Х !пп — = 1пп = !пп (х — 3) =+со. /(и) .
хв — 3 х е — >~се Х х — >~се Х а — ~~се Таким образом, ка = ка = оо. Следовательно, график функции не имеет также наклонных асимптот и горизонтальных асимптот (если бы горизонтальная асимптота существовала имели бы й = 0). Итак, график функции не имеет асимптот ни вертикальных, пи наклонных, ни горизонтальных. а Задача. Найти асимптоты графиков функций у = х~, у = =х /(1+х ) и у=х/(1+х ).
Ответ: График функции у = х~ не имеет асимптот. Графики функций у = х /(1+ х ) и у = х/(1+ х ) имеют двусторонние горизонтальные асимптоты, которые изображены на рис. 9.21. (Асимптотой графика функции у = х~/(1+ х~) является прямая у = 1, а асимптотой графика функции у = х/(1+ х ) является ось абсцисс.) Я.7. Исследование функции График функции, заданной формулой у = /(х), строится по точкам, которые затем соединяются плавной линией.
Но едали брать точки, как попало, то можно допустить грубую ошибку, пропустив какие-то важные особенности графика. Чтобы построиты рафик с помощью небольшого числа точек, полезно предварительно выяснить его характерные особенности. Для этого следует прежде всего найти область определения. Это позволит не подставлять в формулу у = / (х) значения аргумента, в которых функция заведомо не определена. Целесообразно также исследовать функцию на периодичность, поскольку для периодической функции исследование ее 174 !'л.
9. Исследование фуннций свойств достаточно провести на промежутке длины Т, составляющей ее основной период. Важно знание свойства четности функции. Так как график четной функции симметричен относительно оси Оу, а график нечетной . относительно начала координат, то для четных и нечетных функций можно ограничиться исследованием их свойств лишь при х > О. Далее, полезно найти точки пересечения графика с осями координат и определить интервалы знакопостоянства функции.
Если, скажем, на интервале 1а, 6) функция принимает только положительные значения., то на этом интервале ее график лежит выше оси Ох. После этого нужно изучить поведение функции на границах области определения, установить характер точек разрыва (если они имеются), найги асимптоты. Наконец, следуеч найти точки экстремума и перегиба.
Принята следующая Схема исследования функции и построения ее графика: 1. Найти область определения функции. 2. Исследовать функцию на периодичность. 3. Исследовать функцию на четность. 4. Найти точки пересечения графика с осями координат и определить интервалы знакопостоянства функции; найти точки разрыва. 5. Исследовать поведение функции на границах области определения, найти асимптоты. 6. Найти промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума. 7.
Исследовать направление выпуклости графика функции, найти точки перегиба. 8. Вычислить значения функции для некоторых значений ее аргумента. 9. Используя все полученные результаты, построить график функции. у Пример 1. Исследовать функцию 1! = хв — 3 х и построить ее график. Решение. Исследуем функцию согласно принятой схеме. 1. Область определения функции О1!") = ( — со, +со).
2. Функция не является периодической. у. 7. Иееаедааание функции 3. Функция нечетна: д ( — х) = ( — х) — 3 ( — х) = — (х~ — 3 х) = = — д'(х). Ее график симметричен относительно начала координат. График функции достаточно построить в области х > О. Однако в этом примере для наглядности проведем исследование при всех т. 4. Найдем точки пересечения графика с осями координат и определим интервалы знакопостоянства функции. С осью Оу график пересекается в точке 0(0., 0), так как д (0) = 0 — 3 . 0 = О. Для того чтобы найти точки пересечения с осью Ох, приравняем функцию к нулю.
Получим х — Зх = х (х~ — 3) = О, откуда искомые точки х1 = — т/3, ха = О, хв = угЗ. Функция является элементарной, поэтому непрерывна в своей области определения. Областью определения является вся действительная ось. Отсюда следует, что функция у = х~ — 3 х непрерывна при любом значении аргумента. Таким образом, точки х1 = — тУЗ, хв = О, хз = АЗ разбивают ось Ох па четыре интервала зпакопостоянства функции. Выбрав из каждого интервала по одной точке, проверим знак значений функции в этих точках (а значит, и в соответствующем интервале): ( — оо, — уеЗ), ~( — 3) = ( — 3) — 3.
( — 3) = — 27+ 9 = — 18, ( — у'3, 0), ~( — 1) =( — 1)в — 3 ( — 1) = — 1+3=+2, + (О, ЪГЗ), У(1) = 13 — 3 . 1 = 1 — 3 = — 2, (чЗ, +со), ~(3) = 3 — 3. 3 = 27 — 9 =+18. + 5. Так как функция является непрерывной, то ее график не имеет вертикальных асимптот. Наклонных и горизонтальных д'(х) ха — 3 х асимптот также нет, так как !пп = = со (см. к~~ а х х пример 2 на с.
173). 6. Найдем промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума (см. также пример 1 на с. 141). В соответствии с необходимым условием экстремума находим первую производную заданной функции, приравниваем ее нулю и решаем полученное уравнение: д'(х) = 3х~ — 3 = 3 (х + 1) (х — 1) = О. Если х < — 1 и х > 1, то д"'(х) > 0; функция возрастает в интервалах ( — оо, — 1), (1, +со). Если — 1 < х < 1, то ~'(х) < 0; функция убывает в интервале ( — 1, 1). !'л.
9. Исследование фуннций 176 Так как при переходе через точку х = — 1 производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет строгий локальный максимум: при переходе через точку х = 1 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, функция имеет в этой точке строгий локальный минимум. Вычислим значения функции в этих двух точках: Уепа = 1(1) = — 2 У „„=1( — 1)=2, Таким образом, точка А( — 1, 2) строгий локальный максимум функции, а точка В(1, — 2) ее строгий локальный минимум. 7. Исследуем направление выпуклости графика функции и найдем точки перегиба (см. также пример на с. 163).
Найдем вторую производную функции и приравниваем ее нулю: у' — 3 а~ — 3, ун = 6 ес у" = 0 при ес =- О. Точка еа = 0 разбивает числовую ось на интервалы ( — со, 0) и (О, +ос). В первом интервале вторая производная отрицательна, а во втором положительна. Следовательно, в первом интервале график функции является выпуклым вверх, а во втором— выпуклым вниз. При этом вторая производная при переходе через точку ее = 0 меняет знак. Это означает., что значение т = 0 является абсциссой точки перегиба графика. Вычислим ординату этой точки: 1(0) = О.
Таким образом, точка 0(0, 0) точка перегиба графика заданной функции. 8. Вычислим значения функции для некоторых значений ее аргумента. Функция нечетна, поэтому достаточно взять значения функции при т > 0: 1(1) = — 2, г'(2) = 5. Х(0) = О, 9. Используя все полученные результаты, построим график функции. График изображен на рис. 9.23.
4 1 3 3 2 1 Задача 1. Исследовать функцию у = — х + — т — 2 х +— 15 10 5 и построить ее график. Ответ: График функции изображен на рис. 9.23, где у 7 29 = У( — 2) = 2 —, У,„ы = у(о) = — 8 — ', а точка перегиба имеет /3 1! координаты ( -, — 3- 1,2' 4,) Ч Пример 2.
Провести исследование с помощью производной и построить график функции у = (л~+ 20)/(т, — 4). 9.7. ИЕЕьЬЕдОЕЕЬЬВЕ ф1ЬИХЧВЬЬ 177 ,3 4,2 й = — х' + — х — 2х+— 15 10 5 Рис. ьд.23, Графики двух функций Решение. 1. Область определения функции Р(у) = 1х ~ х е ( — со,4) 0 (4, +ос)). 2. Функция не является периодической.
3. Функция общего вида. 4. Найдем точки пересечения графика с осями координат и определим интервалы знакопостоянства функции. Если у = = (х2 + 20)/(х — 4) = О, то х = ьеь; точек пересечения с осью Ох нет. Если х = О, то у = (02 + 20)/(Π— 4) = — 5. Таким образом, точка с координатами (О, — 5) является точкой пересечения с осью Од. Это единственная точка пересечения с осями координат. Интервалы знакопостоянства: в интервале ( — со, 4) функция отрицательна, в интервале (4ь +со) — положительна. Найдем точки разрыва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
