Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 22
Текст из файла (страница 22)
С этой точки зрения понятно, что строгий локальный минимум функции может быть больше строгого локального максимума, ." подобно тому как впадина в горах может быть выше, чем небольшая вершина. В отличие от строгого локального максимума (минимума) существует еще понятие строгого глобального максимума (минимума) на некотором множестве. Естесственно, что строгий глобальный максимум больше всех остальных значений значений функции на данном множестве (в том числе и дальних), а строгий глобальный минимум .. меньше. В географических горных терминах строгий рл.
9. Исследование функций глобальный максимум это наивысшая точка, а глобальный самая низкая. Заметим, что когда нет надобности акцентировать внимание нагом, является ли максимум (минимум) строгим или несо рогим, локальным или глобальным, соответствующие прилагательные опускают. Для максимума или минимума существует и объединяющий их термин экстремум. Латинское ех$гетит означает «крайнееу (значение). Экстремумы также разделяются на строгие и нестрогие, локальные и глобальные. Те значения аргумента, при которых достигаются экстремумы функции, называются точками экегпремума функции. Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная.
Предположим сначала, что для функции «(х) в промежутке Х существует конечная производная. Если в точке хо функция имеет экстремум, то «'(хо) = О: Теорема (необходимое условие экстремума). В тачке экстрам!!ма дифференцируемой функции нроиэводнал ее равна нулю. П Пусть хо -- точка экстремума дифференцируемой функции у = «(х). Для определенности предположим, что хо точка нестрого локального максимума, тогда «(хо) > «(хо + Ьх) при достаточно малых Ьх. Отсюда «(хо+ евх) — «(хо) < < О при достаточно малых Ьх > О, «(хо+ ~х) — «(хо) > О при достаточно малых Ьх < О. Переходя к пределу, получаем «(хо) — п|п «(хо+ Дх) — «(хо) <О приЬх >О., а -во Ьх «'(хо) = !пп > О при Ьх < О.
а.:-во Ьх Поскольку «'(хо) является числом, не зависящим от способа стремления Ьх к нулю, два последних соотношения совместимы лишь в том случае, когда «'(хо) = О. у.й Экстремум функции Аналогично доказывается теорема для случая, когда хв точка нестрого локального минимума функции. Теорема верна и в случае строгого экстремума. При доказательстве используется тот факт, что строгое неравенство в пределе переходит в нестрогое. ° Таким образом, экстремум дифференцируемой функции следует искать только в тех точках, где производная равна нулю; такие гочки будем называть стационарными.
По латыни слово йайаппаге означает «стоящий», «неподвижныйк. Это название вполне оправдано. Представим себе график дифференцируемой функции в виде твердой поверхности и шарик, помещенный на какую-либо его точку. Если шарик поместить точно на стационарную точку и не двигать его, то он останется на месте (будет «стоящим», <неподвижнымр), поскольку касательная к графику в стационарной точке горизонтальна:г~(х) = ~й гг = О.
Если же шарик находится на точке графика функции, в которой производная положительна (отрицательна), то шарик покатится, поскольку касательная к графику функции имеет в этой точке наклон ~'(х) = Фала ) 0 (~'(х) = Фйа ( 0). На рис. 9.3 изображены стационарные точки, а на рис. 9.4 несгационарные. Не следует думать, что каждая стационарная точка доставляет экстремум: указанное необходимое условие не является достаточным.
Например, для функции ~(х) = хз производная 3хз обращается в нуль при х = О, но в этой точке, как мы уже видели из рис. 9.2, функция хз не имеет экстремума: она все время возрастает. Если расширить класс рассматриваемых функций и допустить, что в отдельных точках производная равна бесконечности или вовсе не существует, то пе исключена возможность того, что экстремум придется на какую-либо из таких точек. На рис.
9.5 изображены подобные возможности. Например, функция д(х) = = х~гь, очевидно, имеет строгий минимум при х = О (рис. 9.5), -г з в то время как производная ее — х ггз равна бесконечности в 3 этой точке, точно так же в точке х = 0 имеет строгий минимум 146 !'л. 9. Исследование функций Рис. 9.3.
Стационарные точки Рнс. 9.4. Нестационарные точки д~(0) = оо ус~(0) не существует Рнс. 9.ое. Минимум функции в точке к = 0 функция ~р(х) = ~т~, хотя производной для нее в этой точке вовсе нет. Следовательно, и точки., в которых производная бесконечна или не существует, также могут доставлять функции экстремум. Стационарные точки, а также точки, в которой функция имеет бесконечную производную или в которой производная не существует, называются критическими. Из сказанного следует, что точки экстремума для расширенного класса функций следует искать среди критических точек. у.а достато тые условия существования экстремума 147 Геометрически это означает, что точки экстремума следует искать в тех точках., где касательная горизонтальна (у~ = О), вертикальна (у' = оо) или не существует (нет производной).
9.3. Достаточные условия существования экстремума Итак, если точка хв есть критическая точка для функции 7 (х), то точка хв представляется, так сказать, лишь «подозрительнойэ по экстремуму и подлежит дальнейшему испьгганию. Это испытание состоит в проверке достоверных условий для существования экстремума. В этом параграфе рассматриваются три правила для испытания «подозрительногоэ значения хв. Теорема 1 (первое правило). Пусть функция у = э (х) непрерывни в некотором интпервилс, содержащем критическую точку хо, и дифферспцируема во всех точках этого интервала, кроме, может быть, самой точки хв.
Если при переходе аргументов слева ниприво через ггючку хв производная 7"'(х) меняет знак с плюса на минус, то функция 1'(х) в этой точке имеет строгий локальный максимум. Если при переходе трез точку хв производная ~'(х) меняет знак с минуса ни плюс, то функция имеет в этой точке строгий локальный минимум. Если при переходе через точку хв производная ~'(х) сохриняст постоянный знак, то функция нс имеет строгого локалатого экстрем ума.
П Пусть хв критическая точка и при переходе аргумента через точку хв знак производной изменяется с плюса на минус. Из достаточных условий монотонности функции следует, что на интервале (хо — слх, хв), слэе > О, функция строго возрастает, а на (хв, хо + Ьх), Ьх > О, строго убывает.
Следовательно, в точке х = хв значения функции 7'(х) больше, чем ее значения во всех точках интервала (хв — Ьх, хв + слх), а это означает, что в точке хо функция имеет максимум. Аналогично доказывается вторая часть теоремы. Докажем третью часть теоремы. Пусть производная при переходе через точку то сохраняет знак плюс, т. е. Х'(х) > О, при хо — с < х < хо+с, хфхо.
!'л. 9. Исследование функций Отсюда и из теоремы о достаточном условии строгой монотонности функции следует, что функция строго возрастает как на отрезке [хв — е, хв), так и на отрезке [хв, хв + е]. Следовательно, функция не имеет ни максимума, нн минимума при х = хв. Третья часть теоремы в случае, когда производная при переходе через точку хв сохраняет знак минус, доказывается точно так же. ° Таким образом, первое правило для испытания «подозрительпогоа значения хв таково: подставляется в выражение для производной ! ~(х) сначала х < хв, а затем х > хв, устанавливается знак вблизи от точки хв слева и справа от нее:, если при этом производная !'(х) меняет знак плюс на минус, то в точке хв максимум: если производная !'(х) меняет знак минуса на пл!ос, то — минимум; если же производная знака не меняет, то экстремума вовсе нет.
'7 Пример 1. Даны функции: 1) я., 2. 2) у = х2!з. 3) !! = /х!; 4) у=хз. Для всех четырех функций точка х = О является критической: в первом и четвертом случаях производная в точке х = О обращается в нуль, во втором ". равна бесконечности, в третьем . — не существует. Используя первое правило, исследовать критическую точку т = О па экстремум.
Решение. Все четыре функции непрерывны на числовой оси. Производные функций й = х2, у = х2!2 и й = ~х~ меняют знак при переходе через точку х = О с минуса на плюс. Это означает, что критическая точка х = О является для этих функций точкой строгого локального минимума. Функция д = хз при переходе через точку х = О сохраняет положительное значение производной. Следовательно, для функции д = х~ точка х = О не является точкой экстремума.
А 7 Пример 2. Исследовать на экстремум функцию !(х) = = ха — 3х. Решение. Находим производную функции ~'(х) = Зх2 — 3 = 3(х+!) (х — 1). Приравняв производную нулю, находим стационарные точки хч = -1, х2 = 1. В данном случае производная определена 9.0. Досггсвпсо тые условия существования экстремума 149 всюду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
