Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 18
Текст из файла (страница 18)
членом-корреспондентом Гетингенского ученого общества. Полное признание и широкое. распространение геометрия !!обачевского получила через 12 лет после его смерти. Лобачевский внес большой вклад и в другие области математики. В его работах различаются понятия диффоренцируемости и непрерывности функций, но и зта идея завоев ла всеобщее признание только через много лет после смерти автора. Он внес значительный вклад в теорию определителей, рядов и алгебраических уравнений. Учреждена международная премия его имени, вру >асмвя Российской Академией наук.
Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором промежутке Х> то функция называется нет>рерывно дий>- ференцируемой на этом промежутке. Помимо производной в анализе используется понятие дифференциала, которое особенно широко применяется в интегральном исчислении. 7.д. Зивисимосспь между дьЯ~ере~цирусмостью и нспрсрыв~омпыо ...
113 Определение. Дифференциалом функции называется произведение производной на приращение независимой переменной: с1у = 7~(х) Ьх. Ч Пример 1. Найти дифференциал функции 7" (х) = х. Решение. сЦ(х) = с1х = х Ьх = 1. Ьх = Ьх. А Из примера 1 вытекает, чтпо дифференциал независимой переменной равен приращению этпой переменной и поэтому или 7 (х) = — '. йу сс х ф1 Таким образом, обозначение производной 7" (х) = —, введенс1х ' нос Лейбницем, можно понимать не только как символическую запись, но и как обычную дробь, числителем и знаменателем которой служат дифференциалы.
'7 Пример 2. Найти дифференциал функции 7'(х) = с. Решение. с1с = с' йх = О йх = О. дс с7 Пример 3. Найти дифференциал функции 7'(х) = хз. Ре,пение с1 (хз) (хз)' с1х З хз пх Ни одно человеческое исследование не может назваться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства. Леонардо да Винчи Глава 8 Основные теоремы о производных 8.1. Правила дифференцирования 1. Дифференцирование суммы и разности. Производная суммы !разности) двух дифферснцирусмых функций равна сумме !разности) производных, т, е. П Докажем это утверждение в случае суммы. и(х + Ьх) + о(х + Ьх) — (и(х) + с(х)) Ьи-чв Ьх п(х + Ьх) — и(х) е(х + Ьх) — е(х) 1 !пп '+ и*-чо Ьх Ьх Ьи . Ьо !1т — + !пп — = и (х) + с (х).
а*-чо Ьх ах-чо Ьх Равенство (и(х) — о(х))' = и'(х) — о'(х) доказывается аналогично. ° Это правило справедливо и для случая суммы конечного числа функций: производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций. 2. Дифференцирование произведения.
Производная произведения двух днфференцируемых функций равна произведению производной первого сомпозкитсля на второй, плюс произведение производной второго сомпозкителя на первый: (ии) =и с+ив ! 8.!. ??равняв дифференцирования П (и(х) о(х)) = 1пп Ья — >О еах Ьи Ьи ?аи !пп и — + и — + — Ьи а -~01 Ьх Ьх Ьх = ив'+ пи'+ и' 1пп Ьи = и и+ ??' и.
Ья — >О При вычислении 1пп Ьи было учтено, что и дифференцируема Ьа — ео (следовательно и непрерывна), и позтому !пп,Ьи = О. ° Ьа — ~0 Следствие 1. ??остоептый множитель моэ?оно выносить за знак производной: (си) = со. П Если с — постоянный множитель, то имеем (си)' = со'+ + с' и, отсюда, так как с' = О, получаем (с о)' = с и'. ° Следствие 2. ??роизводнал нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из этих сомноэ?сителей на все остальные, в частности П (иоьз) =((ии)и?] =(ии)ьз +(ии) и= = (ии) ю +(ио +и и)и=и ою+ии и?+иию.
° 3. Дифференцирование частного. Если числитель и знаменатель дроби дифференцируемые функции н знаменатель не обращается в нуль, то производная дроби равна производной числителя, умноженной на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, и все зто деленное на квадрат знаменателя. Другими словами, произооднал частного двух дифференцируемых функций может бить найдена по формуле и ив — ии (Разумеется предполагается, что о ф О.) рл.
8. Основные плеоремы о производных 116 и~~' . о+ д . о Ьгл — и лло ~ | ~ ~р — йнг !пп о / Ьх-го Л!лх Ьх-го о (о +,Ьгг) Ьх Ьи ив !пп ах — го о (о Ьо — и— Ьх ио — ои г г + лхо) о~ При доказательстве было использовано, что !пп лло = 0 (функЬх — ге ция о непрерывна). ° Следствие. Если знаменатель дроби постояглглая величина, то Заметим, что аргументы как внешней, так и внутренней функции сохраняются без изменения. Более кратко сформулированное утверждение можно записать так: производная сложной функции равгла произведению производныто тлз которых она состпоглт. 4.
Дифференцирование сложной функции. Пусть переменная у есть функция от переменной и, а переменная и, в свою очередь, есть функция от независимой переменной х, т. е. задана сложная функция у = 1(и(х)). Функцию 1( ) будем называть алевшей функцией, а функцию и(х) внутренней. В качестве примера рассмотрим сложную функцию у = (4х + 7)з. Внешней функцией для нее является степенная функция ( ), а внутренней .— линейная функция и(х) = 4 х + 7. Как найти производную сложной функции? Ответ на этот вопрос дает следующее утверждение: Если у естпь дифференцируемая функция от и (у = 1'(и)), а и есть дофференцируемая функция от х (и = и(т)), то производная сложглой функции сугцествует и равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции, т.
е. 8.!. ??равияа г?ифг!гереицггроваиия г? Пример. Найти производную функции у = (4 х + 7)з. Решение. Функция д = (4 х + 7)з составлена из двух функций: внешней ?' = иа и внутренней и = 4х + 7. Производная внешней функции ?" = иа равна д„' = 4 из. Производная внутренней функции и = 4 х + 7 равна и'„= (4 х + 7)' = (4 х)' + 7' = 4 х' + О = 4 1 = 4. Откуда у' = 3 (4 х + 7) 4 = 12 (4 х + 7) . А П Вначале докажем формулу вычисления производной сложной функции в предположении Ьгг ф. О: г.'гу .
г.'гу Ьи . Ьу . г.'ги д = !пп — = !пп — — = !пп — ' 1пп — = ди и .. ьх — го Ьх а -го Ьи г3х а -го Ьгг а*ма Ьх Пусть, теперь, Ьгг = О. Тогда Ьд = у(и + ?г и) — у(и) = О. глу г ?яи Следовательно, — ' = дг . —. Переходя в последнем равенстве г.'гх ' Ьх к пределу при Ьх — ~ О, получаем д' = уг иг .
° Формулу дифференцирования сложной функции легче запомнить, если воспользоваться обозначением Лейбница: ау ау г!и йх г?и г?х г?у г?г? йи Механический смысл формулы — = — ' —. Производг?х йи г?х йу ная — скорость изменения функции при данном значении х, йх йу — скорость изменения функции при данном значении и, г?и г?гг а — скорость изменения и при данном значении х. Формула г?х означает, что скорость изменения переменной у относительно переменной х равна произведению скоростей изменения переменной д относительно переменной и и переменной и относительно х. Если у изменяется, например, в 3 раза быстрее, чем и, а и изменяется в 2 раза быстрее, чем х, то у изменяется в 3 2 = 6 раз быстрее, чем т.
рл. 8. Оеповные п~еоремы о производных Из доказанных правил вытекают свойства дифференциала: д(ихи) =диарио, а(и и) = и аи + и е!и, д«(и) = «(и) и Йх = «(и) ди. 5. Дифференцирование обратной функции. Если у = = «(х) и х = д(у) взаимно-обратные дифференцируемые функции и у' ф О, то П Ьх . 1 П х = 11ш — = 11ш аа-зо Ьу ьа-ео !1у ~Ха 1 1 — ° !!ш ав-зв Ьк 8.2. Производные основных элементарных функций Выведем формулы производных основных элементарных функций. 1. Производная логарифмической функции. Пусть у = 1п х. 1.
Фиксируем значение х аргумента функции и выписываем исходное значение функции «(х) =!и х. 2. В точке х аргументу придаем приращение Ьх ~ О и выписываем новое значение функции «(х + Ьх) = 1п(х + Ьх). 3. Вычисляем приращение функции: Лу = «(х+ Лх) — «(х) =!п(х+ Ьх) — 1п х = =!п = 1п 1+— Ьу 4. Составляем отношение — ': Ьх т. е. нроизводнал обратной функции равна обраганой величине про- изводной данной функоии; 8.0.
Производные оепов~ых Злементирных функций 119 5. Находим предел этого отношения при Ьх — 1 О: Ьд . 1 / Ьх! д = !пп — = 1пп — 1п ~1+ — у! ЬХ вЂ” >О ЕЗХ ЬХ вЂ” ЗО ЕЗЗ: ~, Х е) Ьх Обозначив — = д, найдем Ьх = х д и д = !пп — !п(1+ д) = — !пп !и(1+ д)з. / . 1 1 ах- О хд х р — ев В силу непрерывности логарифмической функции, меняем местами символы предела и логарифма, а затем используем определение числа е: д' = — !и ! !!ш (1+ д) о~ = — 1и е = —.
х !р~в Итак, (!и х) х Пусть д = !ой„х. Найдем д: / д = (!оЬ'о х) = = (!и х) 1 !и а !и а х !па' т. е. ~ (!ой х) = х !Оа 2. Производная показательной функции. Пусть у = ех. Прологарифмируем обе части равенства по основанию е, получим !ад = х. Дифференцируя обе части по переменной х и учитывая, что 1и д — сложная функция, получим (1п д)' = х' ! У Р или — = 1, откуда д = д, т. е. д (е ) =е*. Таким образом, экспонента не изменяется при дифференциро- вании. !'л. 8. Оеповные п~еоремы о производных У2О Если же д = ах, то д = (а*) = [(е"') ! = (ех "'), и по правилу дифференцирования сложной функции у =е !х !па) =а 1па.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
