Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Сфера научных интересов Эйлера всеобъемлюща: его труды это энциклопедия точных наук ХЪ'П1 века. Сиыше. 800 его научных работ состанят 72 болыиих тома все еще незаверн«енного «Полного собрания трудов«, издаваемого в Швейцарии с 1911 г. Российской Академией наук учреждена золотая медаль имени Эйлера. г7 Пример 1.
Найти пределы; а) 1пп 1+— б) !пп (1 + 2 «е)~)л . я-«О Решение. (в)5) 5 а) (пп 1+ — ' = (1~) = (пп 1+— !'л. д Техееияв вичиелеиия пределов !пп 1+ — „= !пп 1+ —, = е: 3.(1/х) (21'2) б) 1пп (1+2х)'( = (1 ) = 11п1 1+ — ~ Х вЂ” 40 х-+О 1, (2х),~ 1((2~)-~оо (2х) 11п1 1+ — = е . А 37 Пример 2. Найти пределы: Решение. 2х — 1 а) При х 4 со основание степени стремится к единице, 2х+ 3 а показатель 4х + 1 стремится к бесконечности, Следовательно, имеем неопределенность вида 1'"'.
Представим основание в виде суммы единицы и некоторой бесконечно малой величины: 2х — 1 2х+3 — 4 — 4 =1+ 2х+ 3 2х+ 3 2х+ 3' тогда х — Шее 2Х+ 3 хеоо 2Х+ 3 2х-~-3 (-4Н434 1) 1 — (2 4-3) 1)пз 1 + х — 1ео 1 (2Х+ 3)/( — 4) — 16.3 — 4 2х-~-3 2х-~-3 с 1 — 4 (2х+ 3)/( — 4) ) 1+ о.о. Компьютерное вычисление пределов — !бх-4 1 (2х,'-3)/( — 4) '"' 2*-1-3 1!и! 1+ =е х-!со 1, (йх+ 3)/( — 4),/ 1!ш = !пп — +1 =е = —. А Число е во многих случаях выгодно брать за основание логарифмов.
Логарифм от х с основанием е носит название натурального логарифма и обозначается 1п х. Показательная функция ех широко используется в науке и называется экспоненциальной. Другое обозначение этой функции ехр х. НЕОПрЕдЕЛЕННОСтИ ВИда 1оо, СОО И О МОЖНО СВЕСТИ К НЕОПрЕ- деленности вида О со следующим образом: !пп У(х) 0(х) 1пп еа(х) !и е(х) е, ео ос 1пп д(х) 1п ~(х) х — >в х — >в !7 Пример 3.
Найти пределы; а) !!!П Х1Д!и х) 1!п1 хз!'Опх) * — н-о Решение. !пп !и х — „ ! 1ип 1 а) !пп х4)йпх) = (соо) = е + = е 4 = е х — !-Ьоо !пп !и х — „„ 3 1!оп 3 б) йш зд1пх) — (ОО) — е чо ь ' — е ь — ез А х — Н-0 Замечание. Для раскрытия неопределенностей иногда удобнее оказывается метод Лопитвля Бернулли, основанный на использовании производной. Поэтому после изучения производной будут рассмотрены новые примеры вычисления пределов. 5.6. Компьютерное вычисление пределов В случае необходимости пределы могут быть вычислены на компьютере с помощью математических пакетов Ма1ЬСас), Мар!е /л.
о. Техника випиелеиил пределов йо и других. Для вычисления в Мар!е существуют команда 11ш1с(ехрг,х=иа1,с(1г) где ехрг -- выражение, для которого вычисляется предел (функции или последовательности), хс га1 значение точки, для которой вычисляется предел, а с(1г необязательный параметр, который может принимать следующие значения: 1егг (предел слева), г15)гг (предел справа). Напомним, что при загрузке пакета Мар!е автоматически загружается новый рабочий лист, на котором выводится приглашение для ввода команды >. В командную строку можно записать любое алгебраическое выражение, написанное согласно принятым в Мар!е правилам. Если в конце выражения поставить символ;, то при нажатии клавиши Еп(ег или кнопки с восклицательным знаком иа инструментальной панели, выражение будет обработано программой, а результат выведен на монитор.
1г Пример 1. Найти с помощью Мар!е предел /2г — 11 !пп ~с, ) (пример 2а п. 5.5). е — еоо 2у+3 Решение. Вводим команду >11шйс(((2кх-1) /(2кх+3) ) "(4кх+1),х=1пХ1п1су); нажимаем клавишу Еп1ег и получаем ответ: е . А и сйп(п!) с/ Пример 2. Найти предел !пп пеж и +1 Решение. >1' 1е(пкв1п(п! )/(п 2+1),п=1пт1п1су); Ответ: О. а 1 й Пример 3. Найти односторонние пределы !пп * — е — е 1+ 5~с 1 и !нп, (см. с, 75). -ев-о 1+ 5'1* Решение.
>11ш11 (1/ (1+5 (1/х) ),х=О, 1егс); Ответ; 1. >11пнс(1/(1+5 (1/х)),х=О,г15ЬС); б.б. Компьютерное вычисление пределов Ответ: О. А Для вычисления суммы ряда используется команда >вппз(ехрг,иагс гаг1..иаг2); где ехрг выражение, зависящее от переменной суммирования згаг, а зсаг1 ..иаг2 -- пределы суммирования. 3 й Пример 4. Найти сумму ряда ~ ~и (см. с.
53). 10п п=з Решение. вшп(З/(10"п),пы1..1п11п1су); 1 Ответ: —. а '3' 17 Пример 5. Найти сумму геометрического ряда ~ с)~, п=О )д( ( 1 (см. с. 53). Решение. >впвз(с("п), с1=0 .. 1п11п1су); 1 Ответ: . А 1 ч В математике следует помни гь не формулы, а и роцессы мышления. В. Ермаков Глава 6 Использование понятий функции и предела в социально-экономической сфере 6.1. Функции в социологии и психологии Ч Пример 1 (Модели включенности в малую дискуссионную группу) ). В моделях включенности в малую дискуссионную группу единицей анализа являются коммуникативные действия. Действие определяется как наименьший сегмент поведения, который может быть отнесен к одной из 12 категорий, таких как «проявляет солидарность» (поднимает статус других, оказывает помощь, поощряет), «советует» (руководит, учитывает автономию других), «ориентирует» (рассказывает, вносит ясность, подтверждает), «не соглашается» (саботирует, проявляет педантизм, не помогает), а также ряда других.
Все группы ранжируются по частоте их действий. Для большого числа групп одинакового размера п эмпирически (на основе опытных данных) вычисляется 1У„(г) -- частота действий индивида г-го ранга в группе размера п. Если бы М («) была близка к постоянной величине, то зто бы означало «равенство» в количестве действий индивидов. Однако многочисленные исследования социальных психологов показывают, что в частоте действий индивидов наблюдаются значительные различия. В реальных группах действия распределены неравномерно среди их членов.
Зависимость частоты действий индивида от его ранга оказывается гиперболической: где с„эмпирический коэффициент для группы размера п. ') См. )31, с. 191- 192). 93 6.!. Функции е социологии и психологии Эта гиперболическая зависимость в социальной психологии носит название «закона Ципфа». Иногда вместо частоты АГ„(г) удобнее рассматривать долю действий р„(г) = )т'„(г)/!У, где Л! общее количество действий в группе. Ф.
Стефан и Е. й4ишлер 1) предложили следующую аналитическую зависимость для доли действий: р„Г,г) = а(п) . Гг" ~ Г,п), где а(п) и 6(п) .. эмпирические коэффициенты. Для своих данных, собранных на студенческих группах численностью от 4 до 12 членов, Стефан и Мишлер получили следующие значения этих коэффициентов: а(гг) = 234/(п+4), и Ь1п) = 0,522+0,0172п. С этими оцененными коэффициентами модель показала хорошее согласие с эмпирическими данными (действия, направленные к лидеру или от него, исключались). а 17 Пример 2 (Модель групповой продуктивности). Обыденная точка зрения на связь между научной продуктивностью и размером научной группы такова; чем меньше группа, тем меньше «бездельников», тем более группа продуктивна. По мнению болыпинства людей уменьшение группы, ее дробление способствует большей продуктивности каждого члена группы.
Однако многочисленные исследования социологов не подтверждают это мнение. Обыденное мнение верно ес точностью до наоборот». Увеличение научных групп способствует их большей продуктивности. Более того, продуктивность группы растет при ее увеличении экспоненциально. А. И. Яблонским 2) была предложена следующая модель: р(п) = р(1) ео!" где и --- число индивидов в научном коллективе; рГп) —.. его продуктивность; р(1) . продуктивность при и, = 1. В этой модели продуктивность группы измерялась отношением с/п, где с -- число ссылок па работы организации, в которой ') Смс 8!ерйол Е, М!г!г!ег Е. С.
ТЬо г)иипьп1юп оГ рагйс!район !п япай 8гопрв: ав ехропепйа! арргохппайоп. 7/Агнес. Нос. Нет. 1952. У. 17, № 5. Р. 482 608. г) Смл Яблонский А. И. Модели и методы математического исследования науки. Мл ИНИОН АН СССР, 1977. С. 89-90. дл. 6. Иепольоооание понлтий функции и предела... работает данная группа. Вопреки традиционной точке зрения эта модель предсказывает, что продуктивность является возрастак>- щей функцией размера группы.
А 6.2. Функции в экономике Например, 200 х+ 2' е — Зк 2. Функция цены от спроса товара. Если х спрос па товар, д — цена товара, то д = /1х). Например, д = 3 х 3. Суммарная выручка, равная произведению количества проданного товара на цену товара, тоже является функцией спроса, егчи цена — функция спроса. Например, если х спрос, цена .+ы то выручка +, .
~оо ~во* 4. Суммарные издержки производства г' и средние (удельные) издержки производства (себестоимость) / — функции от объема производства х: Р' = г (х), /(х) = Р'(х)/х. Например, Г(х) = 5х + 300, /(х) = 5+ 300/х. 5. Сумма денежного вклада в сбербанке д — функция от времени х, которое хранится вклад; д = д(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
