Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 13
Текст из файла (страница 13)
!7 Пример 5. Найти: х+4 с — «2 х — 2 б) !пп с$их; с — «О в) !1и! 1и т. е — иг/2ч-О Решение. а) !пп = — = ос; 1л. д. Техника виниеленил пределов 80 сов х (11 б) !пп с$ях = !пп — ' = (-) = оо, х 0 — х,овшх — (,О) в!пх /1 1 в) !пп 1ях = !пп — = ~ — / = — со. А х — ит/2В-0 х — ев сов х — О О 5.2. Раскрытие неопределенности вида— О Имеются случаи., не охватываемые правилами из предыдущего параграфа. Не существует «общей формулы» для выра- О жения —.
В самом деле., пусть д (х) = х~, д(х) = х", где п целое число. Частное этих функций д (х)/д(х) = х~ "при х -э О является частным бесконечно малых. Оно может стремиться к нулю (при и = 1), или 1 (при и = 2), или со (при и = 4). Поэтому О выражение — и подобные ему называются неопределенностями. О К неопределенностям относятся следующие выражения: О Как для случая неопределенности вида — встретившейся при О' сравнении бесконечно малых, здесь для раскрытия неопределенности уже недостаточно знать лишь пределы функций д (х) и д(х), а нужно учесть и закон их изменения. Примеры раскрытия неопределенностей приведены ниже.
а 2х — х 7 П1эимер 1. Найти 1!п1 х — еп х — 2х Решение. Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, поскольку О получается неопределенность вида —. О Разложим числитель н знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю. Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на нуль, что недопустимо.
По определению предела функции аргумент х стремится к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения (вспомпим, что в определении предела по Коши х Е ( — б, О) О (О, б)); поэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к обо.
Раепрп«пие пеопределеппоеп«««вида о нулю. Имеем; х~ — х, х(2х — 1), 2х — 1, 1 1 1(п« ., = !пп = 1пп = 1)п« вЂ” = —,. А * — «Ох — 2х * — «0 х(х — 2) — «О х — 2 О2 2 хз — 5х+ 6 Ч Пример 2. Найти 1пп 3 Зх' — 9х. Решение. 11ределы числителя и знаменателя при х — «3 равны нулю: )пп(хз — 5х+6) = 3 — 5 3+ 6 = О, х — «3 1нп (3 хв — 9 х) = 3 33 — 9 . 3 = О. х — «3 Разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители по формуле а хв + 6 х + с = и (х — и«) (х — хз), где х1 и тз . корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим на (х — 3), получим х — 5х+6, (х — З)(х — 2), х — 2 3 — 2 1 1пп, — !пп — !пп — — — —. А *- З Зхз — 9х х-«З Зх(х — 3) -«3 Зх 3 3 9 хз — 1000 е7 Пример 3.
Найти 1«ш 3 — ««О тз — 20 х + 100 х Решение. хз — 1000, (х — 10) (хе+ 10х+ 100) 1пп 1)п« вЂ” ««о тз — 20х" +100х * — ««о х (х — 10) ха + 10 х + 100 ««300«« = 1нп ) = оо. А х-»о х (х — 10) 1, 0 ) Х Ч Пример 4. Найти !пп х — «о ъ«5 — х — Л+ х Решение. Пределы числителя и знаменателя при х -+ 0 равны нулю.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель 3(5 — х + ««Л + х и затем, сократив дробь на х, получим: 1нп = 1нп х(Я вЂ” х +Я+х) х-«О 3Д вЂ” х — 3««5+ т х-«О (~5 — х — Л+ х)(чТ вЂ” х + 3««5«+ х) х (Л вЂ” х + 3«5+«т ) . ъ~5 — х + ъ'5+х ее = )нп = !пп =-Д х — «О — 2х х — «О — 2 гл. 4. Техееикв вы«и«левил пределов 82 4 — хе Ч Пример 5. Найти 1пп х-+з ъ'7+ х — 3 Решение.
Когда х — » 2, числитель и знаменатель дроби стре- О матея к нулю получается неопределенность вида —. Желая из- О бавится от иррациональности в знаменателе, преобразуем данное выражение: 4 — х» (4 — х»)(ь'7 + х + 3) /7+ х — 3 (ъе7+х — 3) (ъе7+ х + 3) (4 — ха)(ъ'7+ х + 3) (2 — х) (2+ х) (~Г7+ х + 3) 7+х — 9 = — (2+ х) (ъ'7+ т. + 3). Перейдя к пределу, получим , в 1пп = — 1)п1(2+ х) (»/7+ х + 3) = — 4 6 = — 24. А *-~з,/7+ х — 3 .-~з О В предыдущих примерах неопределенность вида — раскры- 0 валась путем выделения в числителе и знаменателе общего множителя.
Однако этот прием «срабатывает» не во всех случаях. в!и бх Например, в случае предела !пп неясно, как выделить х — Ю х общий множитель. Этот предел можно вычислить с помощью принципа замены эквивалентных. Вычислим этот предел другим способом сведением к пределу называемому 300 лет назад первым замечательным пределам. гйп х Доказательство равенства 1пп — = 1 нетрудно и опирается х — »О х на геометрические свойства тригонометрических функций. Здесь оно не приводится. О Заметим, что выражение — взято в скобки, поскольку пи- О /О 1 сать — = 1 нельзя! Скобки в записи ~-) подчеркивают ее услов- О 1,0) ееО! ность. Равенство ~-) = 1 означает, что в данном конкретном (,О) О.Х Раепри!пие иеопределеииоети вида— случае неопределенность раскрыта и значение соответствующего предела равно единице.
яп 5х Ч Пример 6. Найти 1пп а — >О х Решение. яп5х /О ! . „яп5х, яп5х 1пп = ~-~ =1нп5. =5 !пп =5.1=5. А а-40 х 1,0 ~ е — !О 5х Ох — 40 5х 1 — соо 10 х 47 Пример 7. Найти !пп х — !О х Решение. 1 — со310х /04, 2 3|п 5х 1!ш 3 = — = !!ш а,о хг 1 О) х —;О хг вш 5х =2 25 1пп . =50 1 =50.
А 5х — >О (5х) Задача. Найти пределы, приведенные в примерах 6 и 7 с помощью принципа замены эквивалентных. 5.3. Раскрытие неопределенности вида— 2 хо+ 10х Ч Пример 1. Найти !пп ~оо 5 4+,3 Решение. При х — + оо числитель и знаменатель величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственной подстановке символа оо вместо х получаем выражение оо/оо, которое представляет собой неопределенность. Для вычисления предела этой функции нужно и числитель и знаменатель разделить на х (наивысшую степень аргумента в знаменателе): 2хо+10х, 2х+ 10!!х~ 4 3 ПП а-4оо 5х4+ хг е-4оо 54+ 1!!х 2 ос+ 10/осг ос+ 0 2 хгоо + 1О г, 1! Пример 2. Найти 1!ш х — !оо 5х'оо+ х"о 1л.
д. 1ехнивв вычисление пределов Решение. При непосредственной подстановке символа оо вместо х получаем неопределенность вида оо/ос. Для вычисления предела этой функции нужно и числитель и знаменатель разделить на т (наивысшую степень аргумента в знаменателе): 2 '"+10 . 2+10/хоо 2+0 1пп = !пп 5 хсоо+ хоо,, 5+ 1/х 5+ 0 5 (при х -+ со слагаемые 10/хээ и 1/х — величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю). А 2 х'о + 10 х ' с7 Пример 3. Найти 1пп >се, с П !,О Решение. 2х™+ 10х' /оо ), 2/х+10/хо 0+ 0 0 1пп =! — )=11ш — — — „— О.
А х-сос 5хн+ хо ~со/ е-еос 5 +1/хэ 5 +0 5 Вообще, предел отношения полиномов при х — э оо равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя одинаковы., и равен нулю или бесконечности, если степень числителя соответственно меньше или больше зна- менателя. ехет1 х+ '7 Пример 4. Найти 1пп е-и-вс 1,2х+1 Решение. :се-ос ешсв 2х+1 х — шее 2х+1 7 Пример 5. Найти 1іп 2х/х+ о Ох т! З х, — 2 + /2 х - 5 ' Решение. В подобных примерах полезно иметь в виду, что функция /(х) = ™~/р„(х) с где р„(х) многочлен степени п, стремится к бесконечности так же, как и функция '~т/хо. Это позволяет выделить высшую степень х, входящую в данное выражение, и разделить числитель и знаменатель на эту степень х.
В данном примере надо делить на т/х; тогда получим с х + 5 0с хх еннс ~Ля — 2 + ъ'2х —,'1 д.ф. Раскрытие 56ео56ределе56носте51 вида со — оо и О со 85 2+ 5/ ъ'х)) 2 2Л !пп — — 1 х — )сю 2 6 3 3 ~Л вЂ” 2))х + (2 х — 3) 55хй 5.4. Раскрытие неопределенностей вида со — оо и О со Неопределенности вида О оо и оо — оо путем преобразова- О оо ния можно привести к неопределенности вида — или —, которая О со раскрывается уже известными способами. Покажем на примерах, как находятся такие пределы. х х '7 Пример 1. Найти )пп х — 5оо ~,х — 1 х — 1/ Решение.
Произведем вычитание дробей, получим ,2 ! +1) 2 )пп — . = !пп ., =!пп х — 5оо 55х — 1 х2 — 1/ х — )со х — 1 х — )со 2;2 — 1 155х О 1)ш = — = О. х — 5оо 1 — 1))х2 1 — О р пр р 5. н 5*, 6 )й5 р6* + ь — .) . Решение.
5 (НР -5 6 6 5 — ) = ( — ) = !пп х — 5 оо 66*-:-5 6* 2+6 о 5 .2 2 16.+5 2 1пп = !пп /* 66*-;-5 6 2х56 6;-5 6* Ох+5 !пп 566 -556* !пп 6+ 5/х 6 — — 3. А 566) 6')*'-:-5 6565 с) Пример 3. Найти !пп х в)п — ! . рл. а Технико випиелеиил пределов Решение. 1 1, 01п —,. /О'~, 010 р 1|ш хв1п — =(оо О)= йп ' = ~-) =1|т — '=1 е-Еоо Х е-еео — О у-ЕО Н 1 1сделали замену у = — ). а хх Задача.
Найти 11п1 (1 — х) 18 —, е — >1 2 Ответ: 2/ег. 5.5. Раскрытие неопределенностей вида 1 ', сов и 00 РассмотРим последовательность 1ап ), где Может показаться, что неограниченное возрастание показателя степени п должно повлечь неограниченное возрастание целочиси ленной функции 1+ — ) . Но рост показателя компенсируется и) 1 тем, что основание 1+ — стремится к 1. В резулыате последов вательность 1а„) оказывается возрастающей и ограниченной. А всякая ограниченная и возрастающая последовательность имен ет конечный предел.
Предел, к которому стремится 1+ — ) и) при и — > оо обозначается е: 1пп 1+ — = е. Обозначением числа е и его широким применением во многих вопросах математики мы обязаны Эйлеру. Это число иррационально и с точностью до шестой значащей цифры равно 2,71828; е — 2,7! 828.
и Функция 1(в) = 1+ — ) имеет пределом число е не только п) при целочисленных значениях п, но и тогда, когда п стремится к бесконечности, пробегая числовую прямую непрерывно. Более того, аргумент и может принимать как положительные, так и б.б. Раском«апе неопределепностеб вида 1, оо и 0 отрицательные значения, лишь бы и неограниченно росло по абсолютному значению. Чтобы отметить зто обстоя"тельство, заменим букву п буквой гс и напишем: )пп 1+ — = е или короче Этот предел часто используется в математике для раскрытия неопределенности 1ос и именуется втор м з мечвтельмыле пределом. ЭЙЛЕР (Ен!ег) Леонард (1707 1783) — математик, механик и физик.
Родился в Базеле, в П1вейцарнн, и учился там у Иоганна Бернулли. Он был членом Академий в Берлине и в Санкт-Петербурге, и прожил в России в совокупности 31 год. Выл похоронен в Петербурге, оставив своей второй родине, наряду с выдающимися трудами, многочисленных потомков, предсгави«елн которых носят и сегодня славную фамнлнк«Эйлер в Петербурге н в Москве.
Одной из отличительных сторон творчества Эйлера являстгя нго исключительная продуктивность. За первые 50 лет издательской деятельности Российской Академии наук (с 1729 до 1780 г) Эйлеру принадлежит 60% всех ее публикаций по чистой и прикладной математике. Последние 13 лет жизни он работал в полной глепоте« диктуя свои работы ученикам. В его трудах многие математические формулы и символика впервые получают Современный вид (например, ему принадлежат обозначения для е и я).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
