Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Можно написать: или 1пп е = ос. х — ел-оо 1пп е = +ос х — ел-(ю Вторая запись оставляет открытым вопрос о знаке функции ех. Но нельзя под знаком предела вместо х — > +ос написать х — + сс. Последняя запись включала бы и тот случай, когда х — ~ — ос, что было бы неверно, так как 1пп е = О. А Заметим, что бесконечно большая величина не имеет предела в смысле определений предыдущего параграфа, ибо никак Неограниченная функция не обязательно бесконечно большая. Например, функция х в1п х является неограниченной (ее значения могут быть как у~одно большими), но не бесконечно большой при х -+ сс, так как с ростом х функция все время колеблется, и неравенство !х гйп х~ > М пе может выполняться при всех х, для которых !х~ > !у.
!л. д. !11«едал функции и нен1«е1«нанесть нельзя сказать, например«что разность между 1'(х) и оо остается меньшей заранее данного положительного числа. Таким образом, введение бесконечного предела расширяет понятие предела. В отличие от бесконечного предела предел, определенный ранее, называется коне:еным.
Ь = 1'(а — 0) = 1пп д(х) = 1пп 1(х). х — «а х<а Символическая запись х — «а — 0 обозначает, что х принимает лишь значения, принадлежащие интервалу (с, а) с < а. Для существования одностороннего предела от функции достаточно потребовать, чтобы функция д (х) была определена лишь в интервале (с, а) с < а, т.
е. левее точки а. Поэтому соответствующее значение обозначается символически 1" (а — О). Говорят, что функция 1 (х) при х„— «а (справа) имеет, п1«авый односторонний предел Ь = 1(а+0) = 1пп 1(х) = 1пп 1(х), х — «а-1-0 х — «а х>а если функция 1'(х) была определена в некотором интервале (а, д) (а число или символ +со), т. е. правее точки а, и любая последовательность хн -+ а, хк > а (о, — число или символ — со) при любом п Е 1«1.
7 Пример 4. Найти пределы 11 ш [х] и 1пп [х], х-«1 -О х-«1-«О где [х] целая часть х. Решение. 11п1 [х] = 1пп[х] = О, -«1-а х-«1 х<1 1пп [х] = 1пп[х] = 1. А — «и-о х>1 Если д(х) имеет в точке а (а - число) односторонние пределы 1(а — 0) н 1(а+ 0) и 1(а — 0) = д(а+ 0) = Ь (Ь - число 2. Односторонние пределы. Если любая последовательность х«« — + а, х„< а (а число или символ — оо) при любом и е И, то говорят, что функция д (х) при х -+ а (слева) имеет левый односторон«тй предел 44. Бесконечно малан величина или один из символов — сс или +ос. Тогда 1'(х) имеет в точке а обычный (двусторонний) предел 1ин = г(а) = 6.
е — »а Если односторонние пределы различны, т. е. 1(а — О) ~ ф 1 (а + О), то не существует и предела функции при х » а. В примере 4 показано, что односторонние пределы функции у = [х] не совпадают. Отсюда следует, что эта функция не имеет предела при х — э 1. 4.4.
Бесконечно малая величина Определение. Бесконечно малой величиной называется величина, предел которой равен нулю. »7 Пример 1. Функция х~ — 4 есть бесконечно малая величина при х » 2 и при х э — 2. При х — » 1 та же функция не является бесконечно малой, ибо ее предел равен — 3. А Ч Пример 2. Функция в1п х есть бесконечно малая величина при х э 0 и при х — »»г. При х — »»г/2 та же функция не является бесконечно малой, так как ее предел равен 1. А 5х+3 с7 Пример 3. Функция не является бесконечно малой х + величиной при х » 1. А 3 '7 Пример 4.
Последовательность — есть бесконечно малая и величина, ибо предел этой последовательности равен нулю, а Из определения бесконечно малой величины следует, что утверждения «число 6 есть предел величины у» и «разность у — 6 есть бесконечно малая величина» равнозначны. 5х+3 Ч Пример 5. Уравнение 11п1 = 4 эквивалентно фразе :е — »! х+ 1 5х+ 3 «величина — 4 бесконечно мала». А х+1 Из постоянных величин лигнь нуль является бесконечно малой величиной. Основные свойства бесконечно малых величин 1. Сумма двух бесконечно малых вели еин есть величина бесконечно малая.
Это свойство и для трех, четырех н вообще любого»есизменного числа слагаемых бесконечно малых величин. Если число сла- гаемых не остается неизменным, а меняется вместе с изменением !л. 1. !1редел функции а непрерывность аргумента, то свойство 1 может потерять силу. Так, если имеем п 1 слагаемых равных —, .то при и — + со каждое слагаемое бесконечно и' мало, но сумма 1 1 1 1 — + — +...+ — = — п, и и и, и равна 1.
2. Произведение ограниченной величины на бесконечно малую величину есть бесконечно малая величина. В частности, произведение постоянной величины на величину бесконечно малую, а также произведение бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина. 3.
Частное от деления бесконечно малой величины на переменную величину, стремящуюся к пределу, не равному нулю, еспеь бесконечно малая величина. Этн свойства доказываются по определению. Поскольку они интуитивно понятны и легко запоминаются, доказательства опускаем. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами. Из определений бесконечно большой и бесконечно малой величин следует, что если у - - бесконечно большая 1 величина, то — бесконечно малая:, если у бесконечно малая у 1 величина, то — бесконечно большая. 7/ 5 7 Пример 6.
Величина -- бесконечно большая при х — 1 х — 1 х — 1 -+ 1. Обратная дробь — бесконечно мала при х -+ 1, а 7 Пример 7. Величина 1их бесконечно мала при х — + О, 1 величина = с1нх бесконечно велика при х — 1 О (вспомните $ах графики зтих основных злементарных функций). А 4.5. Сравнение бесконечно малых Пусть о(х) и Д(х) - бесконечно малые при х -+ а. Их частное может и не быть бесконечно малым. Действительно, ф.б. Сривнение бесконечно малых если а(х) = бх и р(х) = 2х, то а(х) . Ох 11ш — = 1!п1 — = 1пп 3 = 3.
е-~о д(х) е-ео 2 х е-ео Более того, предел отношения двух бесконечно малых величин „О является неопределенной величиной —. В зависимости от того ка- О кие конкретные бесконечно малые рассматриваются, этот символ может быть равен произвольному числу., или символу бесконечности. Действительно, вычислим следующие пределы отношения бесконечно малых: бх !пп — = 1пп 5 = 5, е — >о т, е — >о х . ! 1пп —., =!пп — = оо, е-ео хг е — ~о т х !пп — = !ш1 х = О. г — >Ох е — ев В первом случае предел отношения бесконечно малых равен 5, во втором символу бесконечности, в третьем нулю.
Поэтому частное бесконечно малых называют неопределенно- О стью вида — а нахождение предела дроби называют раскрытием О' неопределенности. а(х) Определение. Если отношение — двух бесконечно малых д(х) величин само босконечно мало, то а(х) называется величиной более высокого порядка малости, чем р(х); при этом р'(х) называется величиной более и зкого порядка малости, чем а(х). а(х) Если отношение — двух бесконечно малых величин стред(х) мится к конечному пределу, не равному нулю, то а(х) и !3(х) называются бесконечно малыми одного порядка молоспси.
В часта(х) ности, если отношение — ' двух бесконечно малых величин д(х) стремится к 1, то а(х) и ~3(х) называются эквивалентными. В этом случае пишут а(х) )3(х). 3 я М Аетвное 1л. Е. Предел функции и непрерывность Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.
Пусть ее(х) бесконечно малая при х — ! О. Тогда Принцип замены эквивалентньгх. Если функции о(х) и Ях) являются бесконечно малыми при х -+ а и если о(х) — у(х) ь,д(х) — б(х), то к-ь~ь !ь(х) е — ьв б(х) 1 = —. А 2 4.6. Основные теоремы о пределах Пусть г(х) и д(х) функции, для которых существуют пределы при х — ! а (мы не исключаем случая а = оо); 1пп ((х) = 6, !пп д(х) = с. к — ьв Сформулируем основные теоремы о пределах. 1. Функг!ил не может, иметь более одного предела. ь7 Пример. С помощью вычислить пределы: едп 6х х — ьо 1п (1+ Зх) ' 1 — сов х к — ьп агс!К х Решение.
гьп 6х, 6х а) 11п1 =!нн— е — ьо 1и (1+ Зх) е — ьо Зх б) !. 1 — ь:оьх !. х гь2 е-шо агс!е хг е — ьо хг принципа замены эквивалентных д.б. Основные ~пеоремы о пределах 2. Предел алгебраической суммы двух функций равен такой эесе сумме пределов этих функций, т. е. 3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций, т, е. ~ 1пп (!'(х) у(х)) = 11п1 г'(х) !пп у(х). ~ В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.
е. 4. Предел настиного равен частному пределов, если предел делителя не равен нулю: В случае, когда 11т д(х) равен нулю, но 1пп ~(х) ~ О, теорема х — >а х-~а остается верной, если ее истолковать в более ~пироком смысле. Запись 1пп !(х) = ! -1 (с число, не равное нулю) следует по- х-еа ~О~ нимать в том смысле, что !пп д (х) = оо. Таким образом, можно считать ц) =- с Выражение — взято в скобки ввиду условности этой записи. О Аналогичные записи можно ввести и для односторонних пределов; с ! — ! = — оо, при с ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
