Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Поэтому они имеют предел. Теорема 1 дает возможность находить сходящиеся последовательности, но не дает возможности вычислять их пределы. Для вычисления пределов используются другие теоремы. Приведем здесь три из них. Теорема 2. Пусть дана постоянная числовая последовательность 1он), где ан = с = сопвь длл любого и Е К. Тогда они 3.2. Сип1ееглввванпе предела ... сходится и (предел постоянной равен постоянной). П Возьмем произвольное в > 0 и пусть % -- любое число (де е 2). Тогда Чп > Х, 1а„— а1 = ~с — с~ = 0 < с. ° Из этой теоремы следует, что предел второй последовательности, рассмотренной в примере 1, равен двум. Теорема 3. Последовапеельность 1ап) с общим, членом и„= 1 = — „(се > О, ее Е ее) сходится и и" 11 а П Возьмем произвольное в > 0 и пусть М = ~ -~ . То- й гдаЧп > Х, )ап — 0)= — „< „= с в ~ 1ап — 0) <е.
° 1 1 1 (-')" Для третьей последовательности из примера 1 показатель степени се = 1 > О, поэтому предел последовательности равен нулю; 1 1пп — = О. и — «т и Теорема 4. Если (д! < 1 (д Е К), то последовательность 1е1п) сходится и П Возьмем произвольное с > 0 и пусть Л1 = 1оя в. То- т гда чп>Х, 1а„— 0) = Ч" < е1 ~'ее ' = с. ° Четвертая последовательность, рассмотренная в примере 1, имеет предел. Найдем его. Общий член последовательности имеет 1 /1' и вид д", где д = — < 1. Из теоремы 4 имеем !пп ~ — ) = О.
2 -в»- 1,2) Гл. Я. Предел последовательности ао 3.3. Действия над сходящимися последовательностями Сформулируем теоремы о действиях пад сходящимися последовательностями, которые очень часто облегчают нахождение пределов. Теорема 1. Если последовательности ~ап) и 16и) сходятся, то сходится последовательность 1аи х 6„) и справедлива формула (3.2) Краткая формулировка этой теоремы следующая: предел суммы равен сумме нределоа Для последующих теорем точные формулировки опускаются и приводятся только их краткие формулировки. Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов: ~3.3) Теорема 3.
Постоянную величину можно выносить за знак предела: (3.4) Теорема 4. Предел отношения равен отношению пределов: (3.5) 1разумеется предполагается, что знаменатели справа и слева от знака равенства не равны нулю.) П Ограничимся доказательством теоремы 1 для случая предела суммы. Пусть 1пп а„= а, 11п1 6„= 6. Возьмем произ- в-Ф+~ И-Н 00 вольное число е > О. Тогда существуют числа %1 и дез такие, что при всех и > %1 !а„— а! < е/2, при всех и > %2 !6п — 6! < е/2. ,У.4.
Числовые рады Пусть Мз число, ббльшее, чем М1 и Мз. Тогда при и > Хз последние два неравенства истинны одновременно. Поэтому !(аи + Ьи) — (а + 6) ~ = !(а„— а) + (܄— 6) ! < < !аи — а) + !6„— 6) < с/2+ е/2 = с (использовано неравенство треугольника для модулей). Следовательно, последовательность аи + Ьи сходится и !пп (аи+6„) =а+6= !пп аи+ !пп 6„. и-~-~-сс и — ~-~-~о и — ~-~-~~ Остальные правила доказываются аналогично. ° ~7 Пример. Используя теоремы о действиях над сходящимися /3и+ 21 последовательностями, вычислить !пп и-нсо (, и Решение. 1 1ш1 3+ 2 !пп и — ~-~-сс — н- п =3+0=3. и 3.4.
'-числовые ряды Путем деления всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в периодическую десятичную дробь. Дробь 1/3 можно представить в виде следующей бесконечной периодической дроби: 0,333.... Запишем ее иначе: 1/3 = 0 333... = — '+ — + — + .. 3 3 3 Г0 (3.0) Это представление называется представлением числа 1/3 в виде ряда.
Записанное равенство не означает, разумеется, что мы складываем бесконечно много чисел и в результате получаем 1/3. Бесконечное число суммирований нельзя произвести. Речь идет о том, что 1/3 является числом, от которого сумма отличается сколь угодно мало, если сложить достаточно много членов. Поставим теперь обратный вопрос; для всякой ли периодической десятичной дроби (соответствующего ряда) найдется обыкновенная дробь, которая в нее преобразуется? Ответ на этот вопрос положителен.
Для доказательства достаточно использовать бесконечную геометрическую прогрессию. Гл. Я. Предел ноеледоеательноети Напомним некоторые сведения о геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия. ! Еометрической прогрессией называется последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшеству1ощему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число д. Число д называется знаменателем геометрической прогрессии. Общий (и-й) член последовательности определяется по формуле 6„= 6, !"-', где 61 первый член прогрессии, а д ее знаменатель. Как найти сумму первых и членов прогрессии? Если е! = О, то сумма первых и членов Ян = 61. Если д = 1, то очевидно, что Яи = 61+ ...
+ 61 = п 61. Предположим теперь, что и ~ 0 и д ~ 1. Тогда Я„= 6, + 6, д+ + 6, д"-' = 6, (1+ д+ и'+ ...д"-'1. Умножим обе части полученного равенства на Ч: йбн=6, (Ч+?2+й'+...!"). Вычитая первое равенство из второго, получаем ! ! — 1) Ь„= ! ߄— 6н = 6, ( — 1+ Ч"). Поскольку е! ~ 1, то разделив обе части последнего равенства па (д — 1), получим сумму первых п членов геометрической прогрессии: д" — ! ~н — 61 ' ! — !' Вернемся опять к бесконечным периодическим десятичным дробям, о которых шла речь выше, и рассмотрим дробь 0,333..., а также последовательность Ь1 = 0,3, Я2 = 0,33, ..., Яи = 0,33...3. Это можно записать иначе: 3, 3 3 3 3 3 61=; о2= + ~ ° ° ° ~ ~и + +"'+ и' 10 ' 10 102 10 102 10 " Яи является суммой первых п, членов геометрической прогрессии, 3 1 первый член которой 61 = —, а знаменатель д = —. Используя 10' 10 ,У.4.
Числовые ряды формулу для суммы п, членов геометрической прогрессии, полу- чаем: 1 Отсюда Я = 11п~ Я„= —. — «ее* 3 В результате мы преобразовали бесконечную десятичную дробь в обыкновенную. Рассмотрим теперь в более общем виде последовательность (Яв1 частичных сУмм геометРического РЯда 6~ + 6в+ ... + 6„+ ... = ~ ~6„, ь=1 получаемого из геометрической прогрессии, когда Ч ~ 1. — 6, 6, Я„= 6 = — Ч"'.
— Ч вЂ” Ч вЂ” Ч Если 1Ч) < 1, то Ч" — > 0 при и — ~ оо, поэтому Я = 1пп Я„=, если )Ч! < 1. 6, При других значениях Ч последовательность (Я„1 не сходится. Будем говорить, что бесконечный геометрический ряд сходится, если )Ч! < 1 и его сумма Я = 1пп Ь"„= 6, 1 — Ч' Таким образом, под суммой бесконечного геометрического ряда мы понимаем предел последовательности его частичных сумм. Пример геометрического ряда подводит нас к общему понятию числового ряда.
Определение. Бесконечным числовым рядом или просто числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел им иэ, ..., и„, ..., чисто формально соединенных знаком плюс: иг + из+ ... + и„+ ... = ~ ~и„. Гл. Я. !!редел ноеледаеан7«а»насти Числа и17 из 7 ..., и„, ... называк7тся членами ряда, а член и„ общим, или и-м членом ряда. Обозначение ~ н„читается как «сумма и„7 где и изменяется 77=1 от 1 до со». Часто это обозначение читают еще короче «сумма и„ от 1 до оо».
Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда: Ь1 = и1, Яэ = и1 + и2, ...., Ьн = и1 + Нг + ... + и„. Сумма и первых членов ряда он называется п-й чисгпнчной суммой ряда. При п -» со возможны два случая. 1. При неограниченном возрастании номера и сумма п первых членов Ьн стремится к конечному пределу о': 1пп Ь'н = К Тогда говорят, что ряд сходи«вся и число Я называется суммой этого ряда.
П, При неограниченном возрастании номера и сумма и первых членов Я„возрастает неограниченно или вообще не стремится ни к какому пределу. Тогда говорят, что ряд раслодирлсл и суммы не имеет. Определение. Числовой ряд называется сяодлщимсл7 если существует конечный предел последовательности частичных сумм - . этот предел называется суммой ряда; в противном случае ряд называется расееодлщимся.
Таким образом, сумма бесконечного ряда получается не в результате суммирования всех членов, а как предел последовательности частичных сумм ряда. Понимание суммы ряда как суммирования всех его членов приводит к недоразумениям. Например, что считать суммой ряда 1 — 1+ 1 — 1+ ...'! Многие скажут, что суммой ряда следует считать О, поскольку члены ряда можно сгруппировать так: (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + ... = О + О + О + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
