Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Каждая задача или частная группа задач решалась своим методом, подчас сложным и громоздким. Как отдельная дисциплина математический анализ зародился лишь в ХМП в., когда начался новый период в развитии математики -- математика переменных величин. Произошло изменение содержания и характера науки. В математику вошла идея движения, изменения. Рассмотрение переменных величин и связей между ними привело к понятиям функции, производной и интеграла. Теория пределов составляет основу математического анализа. Именно с помощью предела принято определять такие важнейшие понятия как производная, дифференциал, ряд, определенный и несобственный интегралы. Поэтому первый раздел книги посвящен теории пределов.

Такой порядок изложения в книге связан с современными требованиями математической строгости. Исторически же порядок был как раз обратным. Дифференциальное и интегральное исчисление зародилось в ХЪ'!! в, и развивалось в Х»'П1, находя многочисленные и важные приложения; а его база теория пределов была разработана французским ученым О. Коши в начале Х1Х в. Теория пределов является для студентов сложным и не самым любимым разделом математики. Думается, что во многом это происходит потому, что ее важность не до конца ими осознается. Поэтому в книге мы рассказываем и о том периоде математики., когда анализ существовал без строгого определения предела. Математики в ХЧП и ХЪ'П! вв.

не знали пределов и пользовались отбрасыванием бесконечно малых высокого порядка. Это приводило к верным результатам (например, при вычислении мгновенных скоростей и площадей сложных фигур). Однако это же порождало серьезные споры о законности подобных операций. Критики анализа говорили о том, что его резульгаты получены «при помощи фокуса», поскольку считали, что математики, предположив сначала бесконечно малое существующим, затем отбрасывают его как вовсе несуществующее. Понятие мгновенной скорости критиковалось, например, и так: «Ньютон говорит о скорости точки в данный момент времени. Но точка есть отсутствие пространства.

а момент — отсутствие времени, а там, где нет пространства и времени, нет и движения. О какой скорости идет речь?» Как только не называли мгновенную скорость —. и «отношение ничего к ничему», и «действительног произведение из ничего, умноженного на нечто».

Споры возникали и по поводу того, что понимать под «суммой» 1 — 1+! †1+1 вЂ...? Одни утверждали, что «сумма» равна пулю, поскольку (1 — 1) + (1 — 1) +... = О + О +... = О, Введение другие единице: 1+ ( — 1+1)+ ( — 1+1) +... = 1+ 0+ 0+...

= 1. Возник кризис математики. Он был преодолен в начале Х1Х в. созданием понятия предела. Именно использование предела помогло преодолеть затруднения, существовавшие в математическом анализе. После введения этого понятия были обоснованы операции, используемые в анализе бесконечно малых, стало ясно как понимать «бесконечные суммы» и мгновенную скорость, как обосновать формулы вычисления площадей, получавшиеся «с помощью сомнительных средств взаимной компенсацией погрешностей».

Поэтому необходимо внимательнее отнестись к замечательному понятию предела этому спасители> математичг< кого анализа, и проследить, как с его помощью удалось устранить недоразумения, разрешить парадоксы, объяснить «фокусы» ХЧ11 и ХН1П вв. Для современного математического анализа характерно обобщение известных понятий и появление на их основе новых направлений науки. Обобщение понятия функции породило теорию обобщенных функций. Выяснение общих свойств алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений привело к созданию теории операторов.

Появились и другие новые ветви анализа. Они находят все более широкое применение в исследовательских методах экономики и социологии. В настоящее время происходит также синтез аналитических методов математического анализа и вычислительной математики. В последние десятилетия появились универсальные пакеты символьных вычислений, которые позволяют без знания алгоритмов и программ решать на компьютере сложнейшие численные и аналитические задачи: быстро отыскивать производные и экстремумы сложных функций, строить графики, решать системы уравнений и многое другое.

Произошедшие изменения диктуют необходимость познакомить с некоторыми из пакетов и включить в пособие примеры их использования для вычисления пределов, производных, интегралов и решения других задач математического анализа. Пакеты составлены различными исследовательскими группами. Например, пакет Мар1е создан университетом Ватерлоо (штат Онтарио, Канада) и Высшей технической школой (Цюрих, Швейцария), МаьЬешагйса фирмой %осташ ВевеагсЬ, МаФЬСа«1 компанией Ма!!г%огйв, а фирмой Ма1ЬЯой, 1пс., Ма1ЬЬаЬ Ах!огп имеет английские корни.

По каждому из пакетов выпущены соответствующие книги, журналы, электронные справочники и компакт-диски. Для подробного ознакомления с пакетами можно использовать также соответствующие Ч'%%-серверы Интернета. Приводим три наиболее популярных пакета и соответствук1щие адреса серверов: Ь11!х О ч ч ч . пгар! ев о!1. сош Ь11р:~ /ч ч ч лпай!вой.сонг !Й1р:Оч ч ч лпа1Ьчогкв.сош; Ы1р://чч ч.вой!1пе.гп Надо хорошо представлять всг возможности и недостгатки пакета символьных вычислений. При недостаточном ознакомлении с пакетом и методами решения пользователь может сделать неверный вывод.

Поэтому в пособии показано как различия в методах влияют на скорость сходимости и круг решаемых задач 1см. п. 12.8, в котором рассмотрены различия трех приближенных формул вычисления определенного интеграла). Символьные анализаторы являются лишь инструментом, который помогает тем, кто сам хорошо владеет математикой и способен предвидеть возможные недоразумения. Поэтому изучение математического анализа продолжает оставаться неотъемлемой частью подготовки любого специалиста.

Математический анализ богат символическими обозначениями. Важно правильно называть и записывать соответствующие символы. Буквы русского алфавита в обозначениях, как правило, пе используются. Основу математической символики составляют буквы латинского и греческого алфавитов. Поэтому ниже для справки приведены употребляемые в математике латинские и греческие буквы и их названия.

Введение Латинские буквы и их названия Греческие буквы и их названия Раздел 1 Введение в анализ Я не мог понять содержания вашей статьи, гак как она не оживлена иксами и игреками. У. Томсон Глава 1 Функция 1.1. Понятие множества Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые.

Под мнотсеством понимается совокупность (набор. собрание) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами или точками этого множества. Примерами множеств являются: множество натуральных чисел, множество социальных работников, множество коммерческих банков и т. и. Обычно множества обозначают большими буквами латинского алфавита А, В., С, ..., Х, У, 7, ...., а их элементы малыми буквами латинского алфавита: а, Ь, с, ..., х, у, в, .... Иногда для обозначения элементов используются также большие буквы латинского алфавита и греческие буквы (список латинских и греческих букв и их названия приведены во введении).

Множество часто записывают с помощью фигурных скобок, например: А = (а~, .аз, аз....., .а„). Если объект а принадлежит множеству А, то пишут а Е А, в противном случае пишут а ф А (а, не принадлежит А). Множество, не содержащее ни одного Гя. Г Функция элемента, называется пуипым и обозначается символом И. Так, например, пусто множество землян, ступивших па планету Сатурн. Множество В называется подмнооюестоом множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А. Символически это обозначают так: В С А.

Если, например, А — множество всех студентов вуза, а В— множество студентов-первокурсников этого вуза, то В есть подмножество А., т. е. В С А. Два множества А и В называются ровными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначают это так: А = В. Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств. Объединение множеств обозначают символом О и пишут С = АО В = ~х ~ х Е А или х Е В~.

Пересечением множеств А и В называется множество В, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В. Пересечение множеств обозначают символом П и пишут В = А П В = ~х ~ х Е А и х Е В~. Числовые множества. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Понятие числа появилось в результате необходимости счета предметов. Вначале возникли натуральные числа. Множество натуральных чисел обозначается большой ажурной латинской буквой М. Позже, когда возникла необходимость расчетов в торговле и начисления процентов с соответствующей суммы, были введены в обращение отрицательные числа, нуль и дроби, как отношения двух целых чисел.

Множество целых чисел обозначается буквой А: я = 1..., — 3, — 2, — 1, О, 1, 2, 3, ...1. Числа целые и дробные составляют множество рациональных чисел Я. Всякое рациональное число выражается отношением двух целых чисел или бесконечной периодической дробью. !.1. Понятие множества В практической деятельности возникали задачи, когда результаты вычислений нельзя было отнести ни к одному из упомянутых вылив множеств (например, результат вычисления длины диагонали квадрата). Было введено множество иррациональных чисел.

Иррациональные числа, выражаются бесконечной непериодической десятичной дробью. Множества рациональных и иррациональных чисел составляют множество действительных чисел 11. Между множествами К, К, Я и К существует соотношение ЯС« СЯСРе. Геометрически множество действительных чисел Ь изображается точками числовой прямой (или числовой оси) (рис.1.1), г.е. прямой, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба. О 1 Рве. 1.1. Числовая ось Между множеством действительных чисел й и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т. е.

каждому действительному чивлу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой -. определенное действительное число. Поэтому часто вместо «число х» говорят «точка хм Множество действительных чисел дополняют двумя элементами, обозначаемыми — оо и +ос и называемыми минус бесконечноппь и плюс бесконечность. Множество К, дополненное элементами — оо и +ос, называется расширенным мномсесшаом действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается %. Бесконечности — оо и +со называют еще бесконечно удаленными точками.

Характеристики

Список файлов книги