Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами . 19.3. Решение систем дифференциальных уравнений с помощью компьютерной математики . Г л а в а 20. Разностные уравнения. 20З. Основные понятия 20.2. Решение разностных уравнений Г л а в а 21. Применение аппарата дифференциальных и разностных уравнений в социально-экономической сфере 21.1. Естественный рост и задача Бернулли о кредитовании....
21.2. Рост населения Земли и истощение ресурсов............ 21.3. Рост денежного вклада в сбербанке 21А. Инфляция н правило величины 70 21.5. Рост выпуска дефицитной продукции................. 21.6. Рост в социально-экономической сфере с учетом насыщения 21.7. Вгябгяч не фондов 21.8. Рост производства с учетом инвестиций............... 21.9. Модель экономического цикла Самуэльсона- Хикса.......
21.10. Паутинообразная модель рынка..................... 21.11. Модель социального взаимодействия Саймона 21.12. Динамическая модель Лесин ьева .................... 422 422 424 426 427 428 430 434 436 441 445 446 448 Предисловие Пособие удовлетворяет требованиям новых государственных образовательных стандартов к минимуму содержания и уровню подготовки в области математики для социально-экономических направлений и специальностей и написано в соответствии с примерной программой дисциплины «Математика», одобренной Научно-методическим советом по математике Министерства образования Российской Федерации. Пособие включает следующие девять разделов программы: «Введение в математический анализ», «Основы математической логики», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков», «Неопределенный интеграл», «Определенный интеграл», «Функции нескольких переменных», «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Системы обыкновенных дифференциальных уравнений».
Кроме обязательного материала автор счел необходимым включить в пособие главу, посвященную разностпым уравнениям, широко используемым в экономической теории. Пособие написано па основе лекций, прочитанных автором в течении ряда лет на экономических факультетах университетов и академий. Многолетний преподавательский опыт автора свидетельствует о том, что насыщение лекций сведениями из истории становления и развития математики пробуждает у студентов интерес к предмету, углубляет знания и способствует более осмысленному изучению материала. Поэтому в книгу в видо специальных вставок включены некоторые биографические сведения тех математиков, именами которых названы теоремы, критерии, формулы, задачи, методы и математические понятия.
Изложение материала часто сопровождается историческими отступлениями, что позволяет лучше понять необходимость введения того или иного понятия. Приводятся также переводы соответствующих терминов с латинского, греческого и других языков, что способствует их лучшему запоминанию и осмыслению. Предисловие Автором учтены также изменения в математике, произошедшие в 90-х гг. ХХ в.
появление универсальных пакетов символьных вычислений, которые позволяют без знания алгоритмов и программ решать на компьютере сложнейшие численные и аналитические задачи: отыскивать производные сложных функций, строить графики, вычислять непростые пределы, решать системы уравнений и многое другое.
Автору необходимо было для определенности демонстрации возможностей пакетов символьных вычислений остановится на одном из них. Для этих целей был выбран пакет Мар1е, поскольку он обладает уникальным ядром символьных вычислений, мощнейшей графикой и удобной системой помощи. К тому же, возможности символьного анализатора Мар1е используются и в других пакетах: он включен в состав инженерного пакета Ма1ЬСас! и пакета символьной математики Ма$ЬаЬ; он содержится также и в пакете Яс!еп1!Вс Чсог1сР!асс рабочем месте исследователя, где совмещены операции написания формул, проведения выкладок и численных расчетов, графического оформления резульчатов и подготовки публикаций в формате РТЕХ'а, в котором оформлена эта книга: создан также Ма1Ь Ойке Гог Ч~огс1, объединяющий возможности пакета Мар!е и популярного редактора Ч~огс1. После изучения какого-либо математического понятия (предела, производной, интсгграла и т.
п.) и решения соответствующих примеров демонстрируются также примеры с вычислениями в пакете Мар!е. Для удобства пользования пособием наиболее важные формулы выделены в рамку. В колонтитулах, помимо номеров страниц, указываются также номера и названия глав и параграфов.
Названия параграфов приводятся на нечетных страницах, а названия глав -- па четных. Кроме того, в конце пособия приводится алфавитный указатель, по которому можно легко найти определение понятия или биографию ученого. Знаком П обозначается начало доказательства теоремы, а знаком ° --- ее окончание; знаком 7 — начало примера, знаком я окончание решения. Пользуясь возможностью, автор искренне благодарит всех, кто своими советами способствовал улучшению этой книги. Особо признателен рецензенту профессору В. А. Треногину, а также своему коллеге Р.
А. Башмакову, замечания и пожелания которых были наиболее полезными. Введение Математика —. наука о количественных отношениях и пространственных формах; термин «математика» происходит от греческого слова «матема», означающего «знание», «наукам Математика возникла в глубокой древности из практических потребностей людей. Сначала появилась необходимость в подсчете запасов пищи, пройденного времени, затем понадобилось рассчитывать площади обрабатываемых земель. С появлением цивилизации появились приемы проектирования и расчетов возводимых сооружений.
Математические знания помогли древним создать и сохранившееся до наших дней одно из Семи чудес Света —. знаменитые египетские пирамиды. С древних времен математика используется и в создании орудий и техники. Крепость Сиракузы долго оборонялась благодаря изобретениям великого математика и механика Архимеда. Сегодня без математики немыслимо не только создание оружия, но и запуски космических аппаратов и моделирование новейшей техники. Понятия математики отвлечены от конкретных явлений и предметов.
Это обстоятельство чрезвычайно существенно для приложений математики. Число 3 не связано неразрывно с каким- либо определенным содержанием. Оно может относитъся и к трем планетам, и к трем рублям, и к трем социальным группам. Точно так же методы, изложенные в этой книге, применимы и в физике, и в экономике, и в социологии.
Они помогают предсказывать и затмения, и инфляцию, и рост населения. Математика является не только мощным средством решения прикладных задач, но и универсальным языком науки, а также неотьемлемой частью мировоззрения. Князев «Начала» Евклида, заложившая фундамент классической геометрии, сильно влияла на представления об устройстве нашего мира. А открытие неевклидовой геометрии и теории относительности сразу перевернуло наши представления о нем. Не случайно Эйнштейн подчеркивал важность математики в постижении природы. Он писал: «Весь 12 Введение предшествующий опьгг убеждает нас в том., что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов». Изучение законов общества и экономики также невозможно без математики. Подтверждением этого может служить тот факт, что с использованием математических методов связаны работы практически всех экономистов ХХв., удостоенных Нобелевской премии по экономике (Л.
Канторович, В. Леонтьев, П. Самуэльсон,!~. Солоу, Д. Хикс., Д. Нэш, Р. Зельтен). В истории математики можно наметить четыре периода. 1. Период эароэкденил математики как самостоятельной научной дисциплины; начало этого периода теряется в глубине истории; продолжался он приблизительно до Ъ' в. до и. э. 2. Период элементарной магпематики, математики посгоянных величин; он продолжался приблизительно до конца ХЧП в. 3. Период магпематики переменных величин; характеризуется созданием и развитием математического анализа, изучением процессов в их движении и развитии;продолжался оп приблизительно до Х!Х в. 4. Период современной математики; характеризуется обобщением понятий функции, трехмерного пространства и алгебраических операций и рождением на этой основе новых дисциплин (теории обобщенных функций, функционального анализа, теории групп и т.
и.), В ХХ и ХХ! вв. новый импульс на развитие математики оказывает также создание и совершенствование компьютеров и вычислительных методов. Математический анализ развивается на протяжении всех четырех периодов. Название «математический анализ» сокращенное видоизменение названия «анализ посредством бесконечно малыхы В эту дисциплину входят теория действительного числа, теория пределов, дифференциальное и интегральное исчисление, а также их непосредственные приложения. В первый и второй периоды математики математический анализ представлял собой совокупность разрозненных частных задач; например, в интегральном исчислении это задачи на вычисление площадей фигур, объемов тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
