Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 7
Текст из файла (страница 7)
2.25 5. График функции д = — 7" (х) получают из графика функции д = ~(х) зеркальным отражением относительно оси абсцисс. На рис. 2.26 изображены графики функций д = х (пунктирной линией) и д = — х (сплошной линией). Рис. 2.26 6. График функции д = ( ( — х) получается из графика функции д = 7'(х) зеркальным отражением относительно оси ординат.
На рис. 2.27 изображены графики функций д = а*, где в > О (пунктирной линией) и д = о * (сплошной линией). Рис. 2.27 7. Рассмотрим теперь, как получается график функции д = А 7'(ах+ 5) + В, где А > О и а > О, из графика функции ! л.
2. Элеменп~арвые функции 4г д = /(х). Так как д = А/(а(х+ 6/а)) + В, то сжатием вдоль оси абсцисс получим график функции д = = /(ах). Из этого графика сжатием вдоль оси ординат получим график функции д = А /(а х), из которого параллельным переносом вдоль оси абсцисс на (Ь/а~ единиц и вдоль оси ординат на ~В~ единиц получим график функции д = А /(ах + и) + В.
Работайте, работайте, полное понимание придет потбм. Дал имбер Глава 3 Предел последовательности 3.1. Понятие сходимости Определение. Последовательностью называется числовая функция 1(п), заданная на множестве натуральных чисел М.
В дальнейшем вместое'(п) будем писать а„. Если п натуральное число, а а„значение последовательности в точке п, то говорят, что п называется номером числа а„, а само число а„называют общим или п-м членом последовательности. Для последовательности с общим членом а„употребляются следующие обозначения: ач п= 1, 2, 3...; (а„); (ап). Графиком последовательности является изолированное множество точек плоскости.
~7 Пример 1. Даны последовательности: 1)а„= —, п=1,2,3...; 1 и 2) а„= ( — 1)", и, = 1, 2, 3 ...; 3)ап=п,— 2, п=1,2,3.... Изобразить несколько первых ее членов на координатной плоскости. Решение. Придавая и, значения 1, 2, 3, 4, 5, получим: 1 1 1 1 1 1) а1 = †„ аз = — аз = — а4 = — аз = — ' 1' 2' 3' 4' 5' 2)а1= — 1, аз=1, аз= — 1, а4=1, аз= — 1; 3)а4= — 1, аз=О, аз=1, а4=2, аз=3. Графики этих последовательностей изображены на рис.
3.1. А Гл. Я. Предел последовательности 3 2 1 0 — 1 0 — 1 0 — 1 Рис. 3.1. Графики последовательностей й Пример 2. Пусть в момент времени и цена на товар со- 1 ставляет ан = 1+ — денежных единиц. Определить к какой цене и стремится цена на товар с течением времени. Решение. С ростом номера п число ан (и-й член последовательности) становится все ближе к 1. Действительно, разность ~п„— 1 ~ (расстояние от а„до 1) приближается к нулю; при п = 1 равна |1+ 1 — 1~ = 1; при п = 2 ~пн — 1~ = (1+ 1/2 — Ц = 1/2; при и = 3 )аа — 1! = )1+ 1/3 — Ц = 1/3; при п = 4 )ин — Ц = )1+ 1/4 — Ц = 1/4; при и = 10 1п„— Ц = )1+0,1 — Ц = 0,1; при и = 100 )пн — Ц = )1+ 0,01 — Ц = 0,01; при и = 1000 !ан — Ц = )1+ 0,001 — Ц = 0,001. Легко заметить, что: при и > 1 имеем ~ан — Ц < 1; при и > 10 имеем )аа — Ц < 0,1; при и > 100 имеем )ан — Ц < 0,01,: при и > 1000 имеем )и„— Ц < 0,001.
Таким образом, с течением времени цена на товар падает и приближается к единице. Единицу именуют пределом последовательности изменения цены товара. А Приведем более точное определение предела. (3.1) )а„— а! < е. Определение. Число а называется пределом числовой последовательности 1ан ), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа е > О, найдется такое число % (зависящее оч с, М = Ю(е)), что для всех членов последовательности с номерами и > Х верно неравенство ЯЛ.
11оняжие сходимо«ти (а = !пп а,„,) <=» (Че > 0 Л1«' '«сс > М /а„— а~ < е). Смысл определения предела чишювой последовательности состоит в том, что для достаточно болыпих и члены последовятельнос:ти (а 1 как угодно мало огличак~тся от чис на а, (по абсолютной величине меньше, чем на число с, каким бы малым оно ни было). 1 7 Пример 3. Пусть а„= 1 + —. Доказать, что !!пс а„= 1. Решение. С ростом номера и число а„(п-й член последовательности) становится все ближе к 1. Действительно, разность ~а„— 1~ (расстояние от а„до 1) приближается к нулю.
Более 1 строго, для любого е > 0 выберем число Дс равным —. Отсюда 1 1 1 для любого и > % = — имеем: и > — или — < е. Но ~а„— 1~ = с с и 1 1 = !1+ — — 1~ = —. Поэтому !ап — Ц < е. Таким образом, п п ссе>0 ЛЮ(Ю= — ) Мп>дс (а„— Ц<с. 1 е Это и означает, что !пп а„= 1. А Ч Пример 4. Дана последовательность ас = 0,3, аз = 0,33, аз = 0,333, 1 Доказать, что !пп а„= —. сс — с««3 Решение.
Общий член последовательности 1 но приближается к —. Действительно разность 3' вательно равна а„ неограничен- 1 а — — 11оследо- 3 1 1 1 1 1 1 ас — —, = — —,, аз — — = — —, ав — —, 3 30' 3 300' ' 3 3000' Если это выполняется, то пишут !пп а„= а или а„— + а при и — » оо. Обозначение !пп сокращение от латинского слова !ппев «предел» и равнозначного французского слова !шп1е. Последовательностсч имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае —. расходящейся. Используя логические символы Ч (вместо фразы «для любого»), Л (вместо слова с найдется» ) и символ равносильности »», определение предела можно записать в виде Гл.
Ж Предел последовательности т. е. 1 1 3 3 10"' 1 Неограниченность приближения а к — выражается в том, 3 1 что абсолютная величина разности а„— —,, начиная с некоторого номера остается меньше любого (заранее заданного) положительного числа е. Так, если задать е = 0,01, то Х можно выбрать равным единице, поскольку начиная со второго номера (и > Х), абсолютная величина остается меньше 0,01. Если задать е = = 0,005 = ), то по-прежнему можно считать, гго Ж = 1.
200) ' Если е = 0,001, то Ж = 2: если е = 0,00001, то Ю = 4 и т. д. А ~7 Пример 5. Показать, что число 2 является пределом но( в 1) " следовательности (а„), где а = 2+ 1 1 Решение. ~ап — 2~ = —, а величина —, начиная с некоторого и' п номера, остается меньшей любого заранее данного положительного числа е (если е = 2, то начиная с первого номера; если е = 0,02, то с 51-го и т.
д.). А Пример 5 показывает, что члены последовательности могут быть то больше, то меньше предела. Они могут и равняться пределу (см, следующий пример). 1 о Пример 6. Показать, что последовательность О, 1, О, —, О, ' 2' 1 1 ( — 1)" , общий член которой выражается формулой а„= — + 3' и и имеет предел 6 = О. А 1 ( — 1)' Решение.
Величина ~а„— 0~ = — +, начиная с неко- и и торого номера, остается меньше любого сколь угодно малого по- 1 ложительного числа е (если е = —, то начиная с седьмого номера; если е = 0,01, то с 201-го и т. д.). А Ч Пример 7. Показать, что последовательность а„= ( — 1)" не имеет предела. Решение. Члены последовательности а1 = — 1, ао = 1, г.а Сущестеованив предела ... аз = — 1, а4 = 1 и т.
д. не стремятся ни к какому числу. Действительно, какое бы число мы ни предложили в качестве предела а при г < 0,5 неравенство ~а„— а! < г, определяющее предел последовательности, не удовлетворяется. Вне г-окрестности этого числа остается бесконечное число элемонтов а„. а В определении сходимости и предела последовательности нет ясного указания на то, как проверять сходимость и как находить предел. Поэтому для вычисления пределов используются специальные критерии. Этим критериям и посвящен следующий параграф.
3.2. Существование предела монотонной ограниченной последовательности При вычислении пределов используются понятия монотонной и постоянной последовательностей. Введем эти необходимые понятия. Последовательность 1ао) называетсЯ постоянной если а„= = с для любого и Е Я, где с - — некоторое действительное число (с Е К). Последовательность 1а„) называется ограниченной, если найдется число М такое, что ~а„~ < М для всех п, Е Я. Последовательность 1а„) называется возрастающей (убывающей), если а„< а„4.1 (а„> а„4.1) для любого и Е Я.
Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями. Последовательность 1а„) называется строго возрастающей (старого убывающей), если ап < ао4.1 (ап > а„44) для любого п Е И. Строго возрастающие и строго убывающие последовательности называются строго монотонными последовательностями. Ч Пример 1. Даны последовательности: 1) 1,2,3,...,п,...; 2) 2,2,2,...,2,...; 3) 1,—,,—,...,—,...; 4) 1,—,—,...,— „,..., 5) 1, — 1,1....,( — 1)о, ....
Определить являются ли эти последовательности монотонными. Гл. о. Предел последовательности Решение. Первая последовательность является строго возрастающей, так как ан = и, < и, + 1 = п„ьг для любого и Е?1. Вторая последовательность является постоянной, так как а„= 2 = сопв$ для любого и Е Я. Третья и четвертая последовательности являются строго убы- 1 1 1 1 вающими, так как ан = — > = п„»1 и а„= —,„> и и+1 2" 2нэ' = ан».1 для любого и Е И. Таким образом, первые четыре последовательности являются монотонными. Пятая последовательность не является монотонной, так как последующий член в одних случаях больше, а в других случаях меньше предыдущего. А 7 Пример 2.
Какие из последовательностей примера 1 являются ограниченными? Решение. Первая последовательность 1, 2, 3, ..., и, ... пе является ограниченной, поскольку для любого числа М всегда найдется номер 1ч' (например, 1ч' = 1М] + 1), для которого а и > > М. Поскольку для второй последовательности ~он ~ < 2, для третьей, четвертой и пятой последовательностей ~ан~ < 1, то эти последовательности ограничены.
А Доказано, что последовательности, обладающие как свойством ограниченности, так и свойством монотонности, имеют предел. Теорема 1. Если последовательность ограничена и леонотопна, то она сходится. Из пяти последовательностей, рассмотренных в примерах 1 и 2, свойствами и монотонности и ограниченности обладают три последовательности вторая, третья и четвертая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
