Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

3. Графический способ. Аналитический и табличный способы задания функции страдают отсутствием наглядности. Графический способ не имеет такого недостатка. Графическим способом называется такой способ задания функции у = 1'(л), при котором соответствие между аргументом х и функцией у устанавливается с помощью графика. 1уафиком, функции у = 1 (х) называется множество всех точек плоскости с координатами (Ф, 1'(х)), т, е, таких, координаты которых обращают выражение у = 1" (х) в тождество. ') См. )5, с.

9). !.1. Основные евойепма функций Отличительной чертой графика функции является то, что каждая прямая, параллельная оси Оу, пересекает его либо в единственной точке (если х Е Р(()), либо вовсе не пересекает (если х ~ Р(1)) у Пример 3. Кривая Филлипса. Как мы знаем, аналитическая зависимость между годовым темпом прироста ставки заработной платы у (в процентах) и общим уровнем безработицы х (в процентах) выражается формулой (1.1).

Эта формула не дает наглядного представления о функции. График же этой функции, называемый кривой Филлипса и изображенный на рис. 1.2, позволяет как бы увидеть соответствующую зависимость. А Рис. 1.2. Кривая Филлипса 1.4. Основные свойства функций Под основными свойствами функции у = 1" (х) будем понимать следующие шесть: 1) область определения РЯ; 2) область значений Е( г'); 3) четностгч нечетность; 4) монотонность; 5) ограниченность; 6) периодичность. Первые два свойства функции уже были определены.

Ниже дается описание остальных четырех свойств функции. т1етность и нечетность. Функция у = ~(х) называется четной, если для любых значений х из области определения 1 ( — х) = 1 (х) и нечетной., если 1 ( — х) = — 1 (х). В противном случае функция у = ~(х) называется функцией общего види. 26 гл. Л Функция ~7 Пример 1. 1. Функция у = х" при четном п является четной функцией (так как 1 ( — х) = ( — х)" = х" = 1(х)). Заметим, что отсюда и произошло само название четной функции.

2. Функция у = х" с нечетным показателем степени п, является ночетной (~( — х) = ( — х)" = — х" = — 1(х)). Отсюда происходит название нечетной функции. 3. Функция д=х+ х~ является функцией общего вида. Действительно, 1( — х) = ( — х) + ( — х) = -х+ х ф 1(х) и 1( — х) ф Ф -1(х).~ График четной функции симметричен относительно оси ординат (например, график функции д = х ), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (например, график функции у = х'). Поэтому для четной функции достаточно строить лишь правую половину графика (х > О); левая половина его (х < О) является зеркальным отражением правой относительно оси Од.

Чтобы построить график нечетной функции, достаточно изобразить правую половину его (х > О); левая половина графика (х < О) получается в результате поворота правой на 180'. Монотонность. Функция у = 1" (х) называется еепрого возрастающей (строго дбывающеп) на промежутке Х, если большему значению аргумента соответствует болыпее (меньшее) значение функции.

Ьолее точно, .функция у = 1 (х) называется строго возрастающей (строго убывающей) на промежутке Х, если для любых двух значений х1 и хг, принадлежащих этому промежутку из неравенства хг > х~ слодует неравенство з (хз) > з (х~) (з (хг) < ('(х1)). Строго возрастающие и строго убывающие функции называются строго монотонны.ма функциями. Если последнее неравенство является нестрогим., то говорят о нестрогом возрастании (нестрогом убывании) функции или просто о возрастании (убывании) функции.

Функция д = г" (х) называется возрастающей (убывающей) на щюмежутке Х, если для любых двух значений х1 и хв, принадлежащих этому промежутку из неравенства хв > х1 следует нестрогое неравенство ~(хг) > 1(х1) (~(хг) < 1'(х1)). Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями. ~7 Пример 2. Функция у = хз является строго возрастающей на всей действительной оси.

27 П5. Овояоеная функция Функция д = хв строго убывает при т Е ( — оо; О) и строго возрастает при х Е (О; — со). Функция д = 0,1Я является строго убывающей на всей действителы1ой оси. А Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число М > О, что ~~(х)~ < М для любого х Е Х. 7 Пример 3.

Функция у = вш х ограничена на всей числовой оси, ибо ~ гйп х~ < 1 для любого х Е к. Функция д = хв не является ограниченной на всей действительной оси, поскольку не существует такого положительного числа М > О, что ~хз~ < М для любого х Е К. А Периодичность. Функция д = г"(х) называется периодической, если существует положительное число Т такое, что 1(х, + Т) = 1(х). Наименьшее число с таким свойством называется периодом функции.

Для построения графика периодической функции достаточно изобразить его на отрезке, длина которого равна периоду (основная область), а затем построить периодическое продолжение графика„повторяя график, нарисованный в основной области. 1.5. Обратная функция Рассмотрим функцию д = хз. Выберем д произвольное значение у = Ь > О. Этому значению функции соответствуют два зпа- Ь чения аргумента х = — а и х = а на интервале ( — со, +со) и одно значение х = а на интервале (О, +ос). — а а х Говорят, что функция д = хз необрати- Рис.

ЕЗ ма на интервале ( — ж, +со) и обратима на интервале (О., +со). Определение 1. Функция у = 7'(х), определенная на промежутке Х, называется обратимой на промеэсутке Х, если любое свое значение она принимает только в одной точке этого промежутка: иными словами, если любым различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции: Если под промежутком Х рассматривается область определения функции, то, говоря об обратимости функции, слова «на 28 Гл. и Функция промежутке Х» обычно опускают. Выражения «функция д = хг необратима, а функция д = х обратима» означают, что функции являются необратимыми илн обратимыми на своей области определения.

Теорема 1. Если функция д = 1(х) строго моногпонна на промежутке Х, то она обратима на этом промеэюутке. 'ьэ' Пусть у = 1(х) возрастает на Х. Тогда из х1 < ха следует э (х1) < г (хг). Таким образом, различным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, т.е. функция обратима. ° Наглядную иллюстрацию этой теоремы дает функция у = = х~. Она не является строго монотонной и необратима на своей области определения, но возрастает н обратима на интервале (О, +со). Определение 2.

Пусть функция у = 1(х) обратима па промежутке Х и отображает Х в У. Поставим в соответствие каждому у из У то единственное значение х, при котором 1 (х) = у. Тогда получим функцию, которая определена на У, а область ее значений есть Х. Эта функция называется обратной для функции )' и обозначается 1 Из теоремы 1 следует, что для любой монотонной на Х функции у = ~(х) существует обратная функция. Чтобы найти ее, нужно из уравнения у = 1(х) выразить х через у. ~~ Пример 1. Для функции у = х~, если ее областью определения считать всю числовую ось, пет однозначно определенной обратной функции. Причина заключается в том что, у = 4, например, принимает значение в двух точках х = 2 и х = — 2, поэтому в точке у = 4 обратную функцию нельзя определить однозначно. Для ветви функции у = х~, определенной в интервале (О, со), обратной функцией является у = тгсх.

Для функции у = хг, рассматриваемой на полупрямой ( — сс, О), обратной является функция у = — тггх . А 7 Пример 2. Для определения однозначной «ветви» функции, обратной функции д = сйпх, выберем один нз интервалов монотонности синуса.

Обычно принято рассматривать иптери л1 вал ~ — — — ) в котором обратной для у = вйп х является функ- 2' 2)' ция у = агсвгп х. Аналогичным образом можно определить однозначные «ветви» функций, обратных функциям д = сов х, д = ф х, д = с~ба. а Построение графика обратной функции График обратной функции получается из графика самой функции зеркальным отражением относительно прямой д = х. Это основано на том, что зеркальным отражением точки (а, 6) относительно прямой д = т является точка (6, а). Рис. 1.4 Весь анализ бесконечных вращается вокруг переменных величин и их функций.

Л. Эйлер Глава 2 Элементарные функции 2.1. Основные элементарные функции Прежде чем ввести необходимые определения отметим, что функции, называемые элементарными, были первыми функциями, которые подверглись математиками наиболее детальному изучению и начали широко использоваться в приложениях математики. Их особая роль в математическом анализе объясняется тем, что они обладают рядом важных свойств.

Характеристики

Список файлов книги