Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Предполагается, что для бесконечно удаленных точек справедливы следующие правила: х х оо = хоо,: =О; ~ос х 1хоо) = хоо, если х > О; х . 1хоо) = ~ос, если х < О. рл. П Функция 20 Порядок на Й естественный; всякое действительное число меньше +ос и больше — ос, т.е. если х Е И, то — ос < х < +ос. Полезно представлять, что — ос на числовой прямой находится лсвсс всех чисел, а+ос правее всех чисел.
Иногда множество действительных чисел дополняют одним элементом, обозначаемым ос и называемым бесконечностью или бесконечно удаленной точкой. Множество Х, элементы которого удовлетворяют: — неравенству а < х < 6, называется отрезком (или сегментом) [а; 6], — неравенству а < х < 6 интервалом (а; 6); — неравенствам а < х < 6 или а < х < 6 полуинтервалами соответственно [а;6) и (а;Ь]. Наряду с этим рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы ( †;6),(а; +со),( †, +со),( — ос;6],[а; +ос).
В дальнейшем все указанные множества мы обьединяем тер- мином промежуток Х. Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и число — х, если х отрицательно: х, еслих>О, [х[ = — х, если х < О. Заметим, что из определения следует неравенство [х[ > О. Отметим свойства абсолютных величин: [х+ у[ < ]х[+ ]у[, [х у] = [х[]у[, [х — у[ > ]х[ — ]у[, х [х[ у [у[' Интервал (а — е, а + е), т. е. множество точек, таких, что ]х — а[< е, где е > О, называется е-окрестностью печки а. 1.2.
Понятие функции Когда мы наблюдаем какой-нибудь процесс или явление из области экономики, области социальных наук или другой области знаний, то видим, что одни величины сохраняют свои значения, другие же принимают различные значения. ЛЗ. Понятие функции 21 Оеремснной величиной называется такая величина, которая при выполнении некоторого комплекса условий, может принимать 1)ззличпью значения. Посгаоянной величиной называется такая величина, которая при выполнении некоторого комплекса условий, сохраняет одно и то же значение. Отметим, что выполнение комплекса условий является очень важным. Так, одна и та же величина может быть переменной или постоянной в зависимости от того, в каких у1шовиях она рассматривается.
Например, цена на хлеб (и некоторые другие продукты) в условиях рыночной экономики является величиной переменной. В условиях жесткого планирования экономики цена на хлеб может держаться на одном уровне и быть постоянной величиной (в 70-< годы цена на хлеб была постоянна, буханка серого хлеба стоила 16 коп.). Переменные величины обычно обозначаются последними буквами латинского в.лфавита (х, у, л, и, ю, ш), а постоянные первыми (а, 6, с). Изучая какое-нибудь явление, мы обычно имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что каждым значениям одних величин соответствуют значения других.
Так, например, ясно, что; 1) каждому значению цены товара соответствует определенная величина спроса; 2) каждому значению обьема производства соответствует определенная величина издержек; 3) каждому году соответствует сумма накопившегося денежного вклада в сбербанке: 4) числу членов научного коллектива соответствует его продуктивность. Во всех этих примерах общим является то, что каждому числовому значению одной величины сопоставляется определенное числовое значение другой.
Дадим теперь определение понятия функции, являющегося центральным понятием математического анализа, причем вначале ограничимся случаем двух переменных величин. Пусть даны два множества Х и У. Определение. Правило г, сопоставляющее каждому числу х б Х единственное число у Е У., называется функцией, заданной на множестве Х и принимающей значения в множестве У. 22 эль П Фунвнвв Термин «функция» происходит от латинского слова ГппсВо исполнение, осуществление. Задать функцию значит задать три обьекта: 1) множество Х, 2) множество У, 3) правило 2". О функции 2' говорят, что она действует из Х в У и пишут: 1: Х -+ У. Иногда функцией называют также уравнение д = ) (х), т.е.
формулу, где д выражено через х с помощью правила 1. В уравнении д = ~(х) переменную х называют независимой переменной или аргументом, а д зависимой переменной. О величинах х и у говорят, что они связаны функциональной зависимостью. Множество всех значений независимой переменной, для которых определена функция (т. е. при которых функция д = 1(х) вообще имеет смысл), называется областью определения или областью существования этой функции, обозначается О(г'). Множество всех значений функции называется обласгаью значений функции и обозначается Е(2").
Например, областью определения функции д = 3 х2 является множество всех действительных чисел, а областью значений - множество х > 0; областью определения функции д = = !и (х — 1) является полупрямая х > 1, областью значений множество всех действительных чисел; областью определения функции у = ч'1 — х2 является отрезок — 1 < х < 1, областью значений отрезок 0 < х < 1. В социально-зкономических задачах часто приходится рассматривать зависимости одной переменной от многих других. Например, национальный доход У зависит от затрат труда! и объема производственных фондов: издержки производства зависят от материальных затрат и расходов на оплату рабочей силы. В этом случае говорят о функции нескольких переменных.
Бывают случаи, когда одной переменной соответствует несколько других. Так, например, некоторому значению цены на товар соответствуют определенные значения спроса и предложения, т.е. одной переменной соответствуют две другие. В таких случаях говорят о двузначной или многозначной функции (в отличие от однозначной). Наличие функциональных зависимостей социально-экономических явлений позволяет использовать для решения экономических проблем методы математического анализа.
Поэтому необходимо познакомиться с ними. Это знакомство мы начнем со способов задания функции. Пдз Способы задания функции 23 1.3. Способы задания функции Различают три способа задания функции: 1) аналитический; 2) табличный; 3) графический. 1. Аналитический способ. Если функция выражена при помощи формулы, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести пад:г,, чтобы получить д, то говорят, что опа задана аналитически. При аналитическом способе задания функция может быть задана явно, когда дано выражение д через х, т. е. формула имеет вид д = д" (х); неявно, когда х и д связаны между собой уравнением вида ф"'(х, д) = О:, пвраметрпчески, когда соответствующие друг другу значения х и д выражены через третью переменную величину 1, называемую параметром. Неявная функция может быть однозначной или многозначной. Например, уравнение хд — 1 = О задает однозначную неявную функцию при х ф О, которую, решив данное уравнение, можно записать в явном виде: д = 1/х; уравнение х + д — 1 = = О задает двузначную неявную функцию на интервале — 1 < < х < 1, которую можно записать в явном виде: д = ха~1 — хв .
Уравнение х~ + дв — 1 = О может быть также представлено и параметрически: х = сов1, д = ейп1 (О < 1 < 2я) (параметрические уравнения окружности). Параметрическое представление функции позволяет изучать неявные функции в тех случаях, когда переход к их явному заданию без посредства параметров затруднителен. Аналитический способ удобен для выполнения математических действий над функцией и решения задач прогнозирования. Приведем пример аналитического задания функции из социально-экономической сферы.
~7 Пример 1. Функция Филлипса. Как и любая цена, цена труда зависит от конъюнктуры рынка. Когда на рынке труда имеет место дефицит, то рабочие могут рассчитывать на большую зарплату, и наоборот, в период существования конъюнктурной безработицы рабочим будут платить меньше. В 1958 году профессор Лондонской школы экономики Филлипс опубликовал результаты своих исследований взаимозависимости между уровнем безработицы и изменением денежной ставки зарплаты в Великобритании в период с 1861 по 1957 г.
Для первых 52 лет (1861-1913) эта зависимость выражалась уравнением д = — О 9+ 9 638 х цзэв (1.1) 24 1л.1. Функции где у — годовой темп приросза ставки заработной платы (в процентах), х общий уровень безработицы (в процентах). Это уравнение представляет аналитическое задание функции и называется формулой Филлипса. а ФИЛЛИПС 1Р1н111рв) Оссиан 11914 — 1975) — австралийский экономист, работавший в,4нслии. К недостаткам аналитического способа задания функции можно отнести то, что он не всегда нагляден.
2. Табличный способ. Этот способ является наиболее простым. В одном столбце записывают значения аргумента Ф, а во втором — значения 7(Ф). Такой способ задания функции часто применяется в тех случаях, когда область определения состоит из конечного числа значений (таблицы цен на товары, таблицы розыгрыша лотерей и т.д. Широко используются таблицы значений различных функций: в таблицах тригонометрических функций, логарифмов и т. и. В виде таблиц записываются результаты экспериментального исследования каких-либо процессов и явлений. Ч Пример 2.
Рост числа научных изданий. Рост числа научных изданий у, начиная с 1750г. с интервалом в 50 лет, в зависимости от года Ф, выглядит (округленно) следующим образом '). К недостатку табличного способа можно отнести то, что представление о функциональной зависимости здесь не является полным, так как невозможно поместить в таблице все значения аргумента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
