Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Забегая вперед приведем два наиболее важных из них: 1) всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения; 2) производная от элементарной функции есть также элементарная функция. К основным элементарным функциям относят пять классов функций; 1) степенные д = хп (а действительное число); 2) показательные д = ае, о ф 1, а > О; 3) логарифмические д =!он х, а ф 1, а, > О; 4) тригонометрические;. у = яш х., у = соя х, у = $н х, у= с$н х; 5) обратные тригонометрические: д = агсып х, д = агссоя х, д = асеан х, д = агсс1н х. Приведем в качестве справочного материала нх свойства и графики. 2.6 Основные элементарные функции 1) степенные функции: 1. у=х~: 1) О® = ( — оо, 0) 0 (О, +со); ) ~в=сц;'„ ,)о о.
4) постоянна на ( — оо, 0) 0 (О, +со); 5) ограниченная; 6) непериодическая. 2. у=х: 1) В(~) = ( — оо, +со): 2) Е(Д = ( — оо, +ос): 3) нечетная: ( — х) = — х, 4) возрастает на ( — оо, +ос); 5) неограниченная; 6) непериодическая. 3. у=хи, и нечетное натуральное число > 3: 1) В® = ( — оо, +ос); 2) Е® = ( — оо, +ос); 3) нечетная: ( — х)и = — х"; 4) возрастает на ( — оо, +ос); 5) неограниченная: 6) непериодическая.
Рл. 8. Элементарные фунниььн 4 д хьь п четное натуральное число; 1) РЦ) = ( — соь +ос); 2) Е((') = [О, +со); 3) четная: ( — х)" = х"; 4) убывает на ( — со, 0), возрастает па [Оь +со): 5) неограниченная; 6) непериодическая. 5 д=х п п — нечетное натуральное число; 1) Р(У) = ( —, 0) О (Оь + ); 2) Е(~) = ( — ось 0) 0 (Оь +со): 3) нечетная; ( — х) "= — х 4) убывает на ( — со, 0) 0 (О, +ос); 5) неограниченная; 6) непериодическая. Х вЂ” ьь и четное натуральное число: 1) Р(~) = ( — ос, 0) 0(0, +со); 2) Е(~) = ( — соь 0) 0 (О, +со); 3) четная: ( — х) "= х 4) возрастает на ( — со, 0), убывает на (О, +со); 5) неограниченная; 6) непериодическая.
ан Основные элементарные функции 7. д= (Ух, п нечетное натуральное число: 1) РЦ) = ( — оо, +ос); 2) Е® = ( — оо, +со); 3) нечетная: ~ — х = — 7Ух; 4) возрастает на ( — оо, +ос): 5) неограниченная; 6) непериодическая. 8. д= фх, и четное натуральное число: 1) Р® = [О, +со)., 2) Е® = [О, +со); 3) общего вида; 4) возрастает на [О, +ос); 5) неограниченная; 6) непериодическая. 2) показательные функции: 1. у=ак, 0<а<1: 1) Р(~) = ( — оо, +ос): 2) Е(1) = (О, +ос); 3) общего вида; 4) убывает на ( — оо, +ос); 5) ноограниченная, 6) непериодическая. 2 Я.
Ъ| Актямвв ! л. 8. Элементарные функции 2. у=а*, а>1: !) Р(!") = ( — со., +со); 2) Е(1) = (О, +ос); 3) общего вида; 4) возрастает на ( — оо, +со); 5) неограниченная; 6) непериодическая. Рис. 2.10 3) логарифмические функции: 1. у = !одах, О < а < 1: 1) Р(!") = (О, +ос):, 2) Е((') = ( — оо, +со); 3) общего вида; 4) убывает на ( — оо, +со); 5) неограниченная; 6) непериодическая. Рис.
2.11 1. у=!об,ж, а>1: 1) Р(~) = (О, +ос); 2) Е(г) = ( — со, +со); 3) общего вида; 4) возрастает на ( — со, +ос): 5) неограниченная; 6) непериодическая. Рис. 2.12 2.1. Основные. элементарные функции 4) тригонометрические функции: 1. у =вшх: 1) О(/) =(-=, + ); 2) г'(/) = [ — 1, 1]; 3) нечетная: вш( — х) = — яшх: 4) возрастает на [ —.г/2+ 2лп, л/2+ 2яп], убывает на [л./2+ 2кп, Зл./2+ 2ггп], пЕХ; 5) ограниченная: ~ вшх~ < 1: 6) периодическая; сбп(х+ Т) = яш х, Т = 2л.
Рис. 2.13 2. д = созх: 1) О(/) = ( — оо, +со); 2) Е(/) = [ — 1, 1]; 3) четная: соз( — х) = совх; 4) убывает на [2ггп, л + 2лп], возрастает на [ — л+ 2лп, л + 2яп], гг Е У; 5) ограниченная: [ соз х ~ < 1; 6) периодическая: соз(х+ Т) = совх, Т = 2л. Рис. 2.14 3. у=16х: 1) О®= = ( —.г/2+ лп, л./2+ лп), пай; 2) Е® = ( — оо, +ос):, 3) нечетная: 16 ( — х) = — $6 х:, 4) возрастает на ( — л/2+ ггп, л/2+ лп), пай; 5) неограниченная; 6) периодическая: 16 (х + Т) = Г,н т, Т = л-. Рис.
2.15 Рл. 8. Элементарные фуннинн 3. д = с16 х: 1) О(/)= (егп, л+ лп), и Е Ж; 2) Е(/) = ( — оо, +со); 3) нечетная; с16( — х) = — с16х; 4) убывает на (лп, л+ лп), пай; 5) неограниченная; 6) периодическая: с16 (х + Т) = с18 х, Т = ~г. Рис. 2.16 5) обратные тригонометрические функции: 1. д = агсвгнх; 1) Н/) = [-1, 1!: 2) Е(/) = [ — л /2, +ег/2[; 3) нечетная: агсяп ( — х) = — агсв|п х; 4) возрастает на [ — 1, 1[; 5) ограниченная: [агсюпх~ < л/2; 6) непериодическая. Рис. 2.17 2. д = агссовх: 1) ОУ) = [ — 1, 1[: 2) Е(/) = [О, л[,: 3) общего вида: атосов ( — х) = л.
— атосов х; 4) убывает на [ — 1, 1[; 5) ограниченная: О < агссовх < гг; 6) непериодическая. Рис. 2.18 аа Элеменгнарние функции 3. у = агс$йх: 1) В® = ( — оо, +ос): 2) Е® = ( — л/2, л/2); 3) нечетная: несси ( — х) = — асс!6 х; 4) возрастает па ( — оо, +ж); 5) ограниченная: ~атосам х~ < к/2; 6) непериодическая.
Рис. 2.19 4. у = атос!ах: 1) О(/) = ( — сю, +ос); 2) Е(/) = (О, л); 3) общего вида: агсс16( — т) = к — агссунх; 4) убывает на ( — оо, +ос); 5) ограниченная: О < агсс16 х < к; 6) непериодическая. Рис. 2.20 2.2. Элементарные функции 1. Сложная функция. Пусть функция у = /(и) есть функция от переменной и, определенной на множестве Е с областью значений У, а переменная и в свою очередь является функцией и = д(х) от переменной х, определенной на множестве Х с областью значений К Тогда заданная на множестве Х функция у = /(д(х)) называется сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции). Например, у = ейп(хз + 1) — сложная функция, так как она составлена из двух функций у = в!и и и и = х + 1.
Разумеется, сложную функцию можно составлять и из большего числа функций. Например, функция у =!и (ейп(х + 1) составлена из трех функций у = 1п и, и = вш и и и = т + 1. 2. Понятие элементарной функции. Из основных элементарных функций новые функции могут быть получены двумя способами при помощи: а) алгебраических действий; б) операций образования сложной функции. рл. 8. Элементарные еауннции Определение.
Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элелеентарнымш. Функция у=х +ч)н;е 2 является элементарной, так как она получена из основных элементарных функций; степенной х и тригонометрической ы)п х с помощью операции сложения.
Функция у=За — х 1пх получена из функций: показательной 3*, степенной х и логарифмической 1п х с помощью операций вычитания и умножения. Поэтому она .- элементарна. Элементарна также сложная функция у = в)их, 6 которая образована из двух основных элементарных функций: степенной х~ и тригонометрической в)п х. Функция 2* — 3 у = ъвшх— 1и (х~ сов х+ 4) получена из основных элементарных функций у = ~/х, у = ейп х, у = 2"', у = 1, у = 1п х, у = х~, у = сов х с помощью алгебраических действий сложения, вычитания, умножения, деления и операции образования сложной функции. Поэтому она является элементарной. Примерами неэлементарных функций являются функция Дирихле и функция у = [х].
Функция Дирихле ][О, если х —. иррациональное число, '11, если х" рациональное число определена на всей числовой прямой, множество ее значений состоит из двух точек: О и 1. График ес изобразить невозможно. На рис. 2.21 приведено лишь схематическое изображение этой функции. 2.2. Элеменгпарные функции Рис. 2.21.
Функция Дирихле и функция у = 1т] 21ИЕ'ИХ11Е (П1ггс!1!ее) Петер Густав Лежен 1'1505 1559) немецкий математик, член Берлинской Академии наук. С 17 лет в течении 5 лет был домалнпим учителем в Париже. В 22 года — доцент в Бреглавле. В 26 лет — профессор Берлинского университета. После смерти К. Гаусса (18огог) — профессор Гетингснского университета. С именем Дирихле связаны задача, интеграл, принцип, функция, ряды и многое другое. Иго лекции имели огромное влияние на выдающихся математиков более позднего времени. Функция у = 1х) (читается чу равно витье хв) целая часть от значений аргумента — задана для всех вещественных значений х, а множество ее значений состоит из целых чисел.
Ее график изображен на рис. 2.21. Название элементарных функций сложилось исторически. В процессе развития математики н ее приложений элементарные функции появились сравнительно рано и играли важную роль, поэтому и символы, введенные для их обозначения, как, например, з1п л, стали хорошо известными и привычными.
Но с точки зрения современной математики нет никакого основания называть элементарные функции более простыми, чем неэлементарные. Например, элементарная функция тг: — 2 2' — 3 у = мвшх !и (из;1соз и + 4) не выглядит проще неэлементарной функции 11 = Ц. 3. Преобразования графиков функций. Покажем, как из графика функции у = 1 (т) можно получить графики функций 1'л. 8.
Эиементарныв функции вида д = А г'(а х + 6) + В, где А, В., а, 6 некоторые действительные числа. 1. График функции д = 1(х) + Ь получается из графика функции параллельным переносом. Если 6 > О, то перенос совершается параллельно оси ординат на расстояние 6 вверх, а если 6 < О, то вниз на расстояние ~6~. На рис. 2.22 изображены графики функций д = х (пуиктирной линией) и д = х + 1 (сплошной линией). Рис. 2.22 2.
График функции д = ~(х + а) также получается из графика функции д = ((х) параллельным переносом. Если а > О, то график переносится параллельно оси абсцисс влево на расстояние а, а если а < О, то вправо на расстояние )а!. На рис. 2.23 изображены графики Функций д = х (пунктирной линией) и д = (х + 1)в (сплошной линией). Рис. 2.23 3. График функции д = А 1'(х), где А > О, получается из графика функции д = ((х) растяжением или сжатием вдоль оси ординат. Если А > 1., то график функции растягивается вдоль оси Од в А рвз, а если О < А < 1, то сжимается в 1/А раз. На рис. 2.24 изображены графики функций д = вш х (пунктирпой ливией) и д = 2 вш х (сплошной линией).
Рис. 2.24 2.6 Элелеени~арные функции 4. График функции д = 7" (а х), где в > О, получается из графика функции д = ) (х) сжатием к оси ординат или растяжением вдоль оси абсцисс. График функции д = 7(ах) есть график д = 7'(х), сжатый (при в > 1) в а раз или растянутый (при О < а < 1) вдоль оси Ох. На рис. 2.25 изображены графики функций д = в1пх (пунктирной линией) и д = вйп 2х (сплошной линией). Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
