Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 9
Текст из файла (страница 9)
= О. Но другие возразят., что группировать можно и по другому не начиная с первого члена, а начиная со второго, то есть так: 1+ ( — 1+1)+ ( — 1+1)+ ... = 1+ 0+ 0+ ... = 1. Между тем, и те и другие не правы. Этот ряд расходится, поскольку последовательность частичных сумм пе имеет предела: Я~ = 1, Только понимание суммы ряда как предела частичных сумм позволяет избежать многих недоразумений и парадоксов. Я знаю, что это такое, только до той поры, пока меня не спросят -- что же зто такое! Блахсенный Августин Глава 4 Предел функции и непрерывность 4.1.
Определения предела функции 11усть а -- число. Функция у = ~(х) задана в некоторой проколотой окрестности точки а, т. е. при х е (а — в, О) 0 (О, а+ в). Точка а не обязательно входит в Р(~). Рассмотрим ряд последовательностей (хн), значения которых лежат в области определения ((х) (хн ~ а, чп Е И) и таких, что 11п1 х„= а (х„— + а).
н — >-Ьвв Для каждой такой последовательности т,„построим последовательность ун = 1(хн). Если все последовательности (ун ) имеют пределы, эти пределы совпадают между собой и равны некоторому 6, то говорят, что функция ((х) при х, стремящемся к а, имеет предел, равный 6. В противном случае говорят, что функция 1(х) при х, стремящемся к а, не имеет предела. Сформулируем точное определение предела функции. Определение 1. Число 6 называется пределом функции г" (х) в точке х = а, если для любой последовательности х„, сходящейся к а (хн е Р(г"), хн ~ а при любом и), последовательность соответствующих значений функции у = 1'(хн) сходится и ее предел равен 6. Кратко пишут 1пп ~(х) = Ь.
4.1. Определен««л предела 4«яня«п««« ««7 4 хе — 1 77 Пример 1. Функцию у = 1(х) = определена во 2х — 1 1 всех точках кроме х = —,. Найти предел функции при х — > 6. 2 4.6 — 1 Решение. Возьмем а = 6. Тогда 7"(6) = = 13. По 2.6 — 1 море приближения любой последовательности 1х„) к 6, числитель 4 хз — 1 стремится к 143, знаменатель — к 11. Вся дробь стре- 143 мится к = 13. Число 13 (равное значению функции при х = 6) 11 есть вместе с тем предел функции при х — > 6: 4х' — 1 1пп = 13.
1 х-«в 2 х — 1 4х2 — 1 «7 Пример 2. Рассмотрим ту же функцию д'(х) = 2х — 1 1 Найти предел этой функции при х — ! а = —. 2 1 Решение. Функция «(х) в точке а = — не определена (фор- 2 О мула дает неопределенное выражение — ). Но предел функции О 1 при х « — существует. Он равен двум. 2 4х — 1 Действительно, выражение д (х) = неопределено 2х — 1 1 только при х«равном — но при приближении членов любой 2' 1 последовательности 1х««! к —, выражение 2х„— 1 отлично от 4х„— 1 нуля. Поэтому, разделив числитель дроби " на отличный 2х„— 1 от нуля знаменатель, получим 2 х„+ 1.
А последнее выражение стремится к числу 2. Следовательно, 4х — 1 1пп ' = 2. а х «! й 1 «7 Пример 3. Доказать., что функция !'(х) = в1п — не имеет предела при т, — «О. !и. б. !1редел фуппчии и пьпрврыаноьть Решение. Рассмотрим последовательность (хп), где хп = 1 . Ясно, что х„ф О, !пп хп = О. Построим пои/2+я(п+1) ' ' " ' п-и-сс следовательность (дп), где дп = в!и 1/хп = зш(.г/2+ и (п + 1)). Последовательность д„совпадает с последовательностью которая, как мы знаем, расходится. Отсюда следует, что фупк- 1 ция /(х) = сйп — не имеет предела. А Существует другое определение предела функции, в котором не используется понятие предела последовательности.
Определение 2. Число 6 называется пределом функции /(х) при х -+ а (или в точке х = а), если для любого е > О существует такое б > О, что при всех х, удовлетворяющих условию О < < !х — а~ < б выполняется неравенство )/(х) — 6! < с. С помощью логических символов определение можно записать в следующем виде: (6 = !пп /(х)) (И>О Вб=д(с) >О Чхфа: !х — а) <б !/(х) — 6) <е). Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции у = /(х), точки х = а, д = 6.
Выберем с > О и построим прямые у = 6+ е, д = 6 — е. Число 6 является пределом функции /(х) в точке х = и, если найдется б-окрестность точки а такая, что часть графика функции /(х), для которой х Е (а — б, а) 0 (а, а + б), попадает внутрь полосы, ограниченной прямыми д = 6 — е и д = 6+ е. Определения 1 и 2 эквивалентны. Первое определение предела функции основано па понятии числовой последовательности, и его называют определением на языке последовательностей или определением по Гейне. Второе определение носит название определение на языке е — б или определение по Коши.
К достоинству определения 1 можно отнести возможность доказательства того, что функция в точке не имеет предела (пример 3). Недостаток состоит в том, что для доказательства существования предела в точке надо перебирать теоретически бесконечно много последовательностей (хп). Поэтому нельзя дать строго доказательства в'.и Бесконечно болыная величина существования предела. В этом смьпше определение 2 предпочти- тельнее.
ГЕЙНЕ (Не)пе) Генрих Эдуард (1821 -1881 Ь немецкий математик, чл;корр. Берлинской А кадемии наук. Работал в университетах в Бонне и Галле. Оснонные труды по теории множестгч математичес«ой физике. КОШИ (Савсйу) Огюстен Луи (1789 — 1857), французский математик, член Парижской Акадомии паук. Работал инженером в Шсрбуре, преподавал в Политехнн сеской школе, Колеж де франс и в Парижском университете (отказывался от должности в университете до тех нор, пока не была отменена присяга в лояльности прап ительству). Оставил свой след во многих областях математики. Его курсы жализа, основанные на систематическом нсполгюовшши понятия предела, послужили образцом для большинства курсов позднейшего времени.
В них он дал определение понятия непрерывности функции, четкое определение сходвщихся рядов, определение интеграла как предела суммы и др. Пределом постоянной величины Ь называется сама величина Ь. Это определение вводится для того, чтобы основные теоремы о пределах были верны во всех случаях без исключения. Оно согласуется с определениями 1 и 2 (величина 1Ь вЂ” Ь| = О меньше любого положительного числа е). т) Пример 4. Доказать, что 1)щ (2 х + 1) = 3.
Решение. Неравенство ~(2х+ 1) — 3~ < е эквивалентно неравенству 12(х — 1)~ < е или ~х — Ц < е/2. Таким образом, для любого е > О можно взять б = е)'2, гогда для всех х таких, что ~х — 1~ < б, будет справедливо неравенство ~(2х + 1) — 3~ = =12(х — 1)~ < е. Это и означает, что 1пп(2х+1) = 3. а в — у1 4.2. Бесконечно большая величина Определение. Функция 1'(х) называется бесконечно большой величиной при х -+ а, если абсолютное значение остается ббльшим любого заранее данного положительного числа М, всякий раз как абсолютное значение разности х — а меньше некоторого положительного числа б (зависящего от М). !'л. 4. !!редел фуннчнн и непрерывность 60 Иногда говорят, что бесконечно большой величиной называется переменная величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает. 7 Пример 1.
Целочисленная функция д = 5 п + 1 есть бесконечно большая величина, ибо члены последовательности неограпичешю возрастают. А 7 Пример 2. Целочисленная функция у = — есть бесконечно большая величина при х — + О, ибо по мере приближения к нулю 5 абсолютное значение величины — неограниченно возрастает.
А У Пример 3. Целочисленная функция у = $3х есть бесконечно большая величина при х — 1 —,. а 2 4.3. Расширение понятия предела В этом параграфе будут введены понятия бесконечного и одностороннего предела, которые являются обобщением понятия предела в смысле определений предыдущего параграфа.
1. Бесконечные пределы. Если переменная величина д бесконечно велика, то говорят, что у стремится к бесконечееости и пишут у -+ сс или 1ппу = сс. (4. Ц Если бесконечно большая величина у для достаточно больших значений ~у~ является положительной, то говорят, что она стремится к плюс бескоие.чиости. Это обозначают так: у — 1 +со или 11ш у = +со. Если бесконечно большая величина ~д~ для достаточно больших значений 1у~ является отрицательной, то говорят, что она стремится к минус бесконечности и пишут: или 1пп д = — сс.
Вместо записи (4.1) для большей выразительности иногда пишут: д — > ~со или 1пп д = ~со. д.д. Расширение понятии предела Ч Пример 1. Функция р = 1их есть бесконечно большая величина при х — + —. Говорят что функция р = 1я х имеет бес- 2 конечный предел: 1пп 1их = ж. х — ек а к х — 1 — может 2 Чтобы подчеркнуть, что функция $их при принимать как положительные значения (при х рицательные (при х > Л пишут: ( — ) так и от- 2/' !!па 1их = асс. А х о —. х 1 Ч Пример 2.
Запись !пп — = О означает, что когдаабсолютх — еео у 1 ное значение х неограниченно возрастает, функция — стремится х к нулкь А Функция д" (х) называется бесконечно большой ееличинон при х -+ сс, если абсолютное значение остается большим любого заранее данного положительного числа М, всякий раз как !х~ больше некоторого положительного числа Ю (зависящего от М). ~7 Пример 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
