Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 12
Текст из файла (страница 12)
учителя средней школы. С 18бб года профессор Берлинского университета. Всйсрштрвсс ршзработал систему логического обоснования математического анализа на основе построенной им теории действительных чисел. Он дал строгое доказательство основных свойств функций, непрерывных на отрезке, построил пример непрерывной функции, не имгиицсй производной ни в одной точкЕ и получил ряд других рсзуль гатов. Тенденция к обоснованию математики па основе чисел и требование полной строгости в значительной мере являются результатами влияния Вейерштрасса. БОЛЬЦАНО (Во1яапо) Бернард (1781 1848) чешский математик, философ, теолог.
Занимал кафедру истории религии в Пражском университете. В 1820 году был уволен за вольнодумство и лишен прана публичных выступлений, после чего работал в основном в области логики и математики. Теорема 5 (теорема Больцано — Коши). Пусть функ; ция ) (х) непрерывна на отрезке [а, 6] и и ни копцих этого отрезка принимиспь неравные значения 1(а) = А и 1(6) = В. Тогда, каково бы ни было число С, лежащее между А и В, найдется тикая точка с между и и 6, что )'(с) = С. Справедливость теоремы геометрически очевидна.
Поскольку функция непрерывна., график состоит из одного куска. Кривая эта соединяет точки (а, А) и (6, В), одна из которых лежит ниже прямой у = С, а другая выше ее. Поэтому кривая где-то должна пересекать прямую у = С. Значит, существует по крайней мере одно с, для которого а < < с < 6 и Т" (с) = С. Рис. 4.2 !Ои «.
!1редеа функции и непрерывность 4.8. Точки разрыва функции Напомним, если значение функции 1(х) стремится к числу 61 по мере стремления х к и со стороны меньших значений, то число 61 называют левосторовним пределом функции !'(х) в точке х = а и пишут; или !пп !(х) = Ьы х — еа — О х — «а х<а йш ~(х) = Ьв или 1!ш 1'(х) = Ьа. х«а«-О х-«а х.>а Величина ~ЬΠ— 61~ называется скачком. Левосторонпий и правосторонпий пределы объединяются наименованием «односторонний пределы Рассмотрим функцию у = !'(х)., определенную на интервале Х, кроме, быть может, точки и Е Х. Точка а называется точкой разрыва данной функции, если в пей функция определена, но не является непрерывной, или не определена в этой точке. В зависимости от характера поведения функции в окрестности точки разрыва различают два основных видов разрывов: 1.
Разрыв! рода в этом случае существуют конечные пре- делы 1пп 1 (х) х — еа — О и !пп 1(х). х-еа-~-О 2. Разрыв 11 рода - - в этом случае хотя бы один из пределов 1пп 1 (х) х — еа — О и 1пп 1 (х) х«а«-О не существует или бесконечен. функций найти точки разрыва н 7 Пример. Для заданных исследовать их характер: а) р= б) р = 3'1*; Если 1"(х) стремится к числу Ьв по мере стремления х к и со стороны больших значений, то Ьз называют вриеоспеоронним пределом функции 1'(х) в точке х = а и пишут: 4.8.
То !нн раерыеи функции 73 1 в)у= 1+ й'/' х (21 х (2 ) 1пп = — = — оо, !пп = — = +ос. х-+2 — О х — 2 1,— О/ ' х-!24-О х — 2 1,+О/ х Следовательно., функция в точке х = 2 имеет бесконечный х — 2 разрыв, т. е. х = 3 . точка разрыва второго рода.
б) Здесь функция определена при всех значениях х, кроме х = О. Найдем левый и правый пределы функции при х — ! О: 1!п! 3!/х = (3 ~) = О, * — а-о !нн 3!/х — (Зэ- ) — +со х — >24-0 Так как при х, стремящемся к нулю справа, функция имеет бесконечный предел, то х = Π— — точка разрыва второго рода.
в) В этом случае единсгвенной точкой разрыва также является точка х = О. Вычислим односторонние пределы функции прих-эО: 1 1 1 (1 !пп =1, !пп =( ! =О. х-! — о 1 ! 5!!х 1 + О ' х — н-о 1 + 5!7* 1, +ос/ Поскольку левый и правый пределы функции при х = О являются конечными, х = О точка разрыва первого рода. А Задача. Для заданных функций найти точки разрыва и исследовать их характер: 1 а)д= (х — 2)(х — 4) ' 1 б) р=, Ответ: а) х = 2, х = 4 точки разрыва второго рода. б) х = 1 — точка разрыва второго рода. Решение.
а) Функция определена при всех значениях х, кроме х = 2. Так как эта функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения. Таким образом, единственной точкой разрыва служит точка х = 2. Для ис(ледования характера разрыва найдем левый и правый пределы функции при хэ 2; К неведомому я иду. В дороге радость встречи, Преодоление всех противоречий. Индийское изречение Глава 5 Техника вычисления пределов 5.1. Непосредственное вычисление пределов На протяжении всей главы считается, что функция д = 11х) элементарна. При вычислонии предела 1пп !'1х) вначале проверяют прие — ~а надлежит ли точка а области определения. Если а Е О(1), то предел равен значению функции 11х) в точке а: !пп ~(х) = ~(а) (это объясняется непрерывностью элементарной функции па сво- ей области определения). Ч Пример 1.
Вычислить: а) 1пп(х — х); з б) !пп е-эз х — 1 в) 1пп сов х. е — Ю Решение. а) 11п1 (хз — х) = 2з — 2 = б. е — >2 — 2з — 2 б) 1'пп ' = = 6; е-ах †1 2 — 1 в) 1!т сов х = соз О = 1. й е — ~0 бн. Непосредственное вычисление пределов 77 1 Правило сохраняет силу, если а = оо. Запись !пп — = О, х-есо х например, означает, что когда абсолютное значение х неогра- 1 ниченно возрастает, функция — стремится к нулю !это ясно из графика функции). '7 Пример 2.
Найти: а) ! пп агой и х; б) !пп агс1и х; в) !пп е*. х-о-со Решение. а) !пп атеями х = +вг/2: б) !пп атеями х = — вг/2: хо — оо в) !пп ех =О. а т1 7' х+1'1 эв '7 Пример 3. Найти !пп ~ х-ег 1,2х+1( Решение. При подстановке в значение функции 11а) вместо а символа бесконечности, результат может оказаться не конечным числом. Например; 1пп ( — 3х) = ( — 3) ( — со), 1пп (х — 3) =+ею — 3, х — е -~-оо — 3 — 3 !пп :с-о — ос х — оо Что считать ответом в этом случае? При вычислении подобных пределов пользуются одним из следующих правил 1в приводимых ниже формулах с означает Тл.
о. Техника вычисление пределов число); Приведенные формулы следуют из соображений здравого смысла. Например, первая из приведенных формул по существу утверждает, что сели одна из функций становится очень большой и положительной, а другая ограничена, то сумма их становится очень большой и положительной. Те же соображения приводят и к формальному доказательству: надо только вместо вочень больших» значений говорить о «бблыпих любого заданного числа». Применим эти правила для вычисления пределов, которые были оставлены без вычисления: !пп (х — 3) =+со — 3 =+ос, х-»-~-сс !пп ( — Зх) = ( — 3) ( — оо) =+ос, х — е — сс -3 — 3 1пп — = — = О.
х — » — сс у, — 00 Соображениями здравого смысла руководствуются и при вычислении пределов от функций при х — » атос. Надо проследить по графику функции куда стремится значение функции, если аргумент стремится к хоо. Ч Пример 4. Вычислитеи а) 11ш х-»сс 4х+!' б) 11п1 1п х; х»асс д.!. Непосредственное вычисление пределов в) 1пп ев. ж-«-~-оо Решение.
а) При х -+ ос знаменатель 4х + 1 неограниченно растет, т.е. является величиной бесконечно большой, а обратная вели- 1 1 чина - бесконечно малой. Произведение 5 беско4х+1 4х+1 печно малой на ограниченную величину (постоянная — частный случай ограниченной величины) есть величина бесконечно малая, 5 и предел ее при х — ! сс равен нулю. Следовательно, 1пп ' с — «оо 4х+ 1 = О.
Этот же ответ получается при применении последнего из при- 5 Веденных В! !и!е правил: !Ип = — = О. ' х — «оо 4 х + 1 ос б) !пп 1и х = +ос. е — «-!-ео в) !пп ех = +ос. с-«Ч-ео Приведенные рассуждения не являются строгими. Однако они вполне достаточны для приложений и интуитивно понятны. с Как уже было отмечено ранее, выражение — при с ф О можно считать равным ос: (~) =- Выражение — взято в скобки, чтобы подчеркнуть условность записи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
