Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Например, д = 100 (1,03)е. 6. Функция полезности (функция предпочтений) в широком смысле зависимость полезности, т, е, результата, эффекта некоторого действия от уровня 1интенсивности) этого действия. В экономике многие зависимосги могут быть заданы как функции одной переменной д = /(х). Наличие функциональных зависимостей позволяет использовать для решения экономических проблем методы математического анализа. В качесгве примеров функциональных зависимостей можно привести следующие функции, имеющие смысл в некоторой области значений аргумента: 1.
Функция спроса от цепы товара. Обозначим через х цену товара, через д спрос на товар. Тогда функцию спроса часто можно выразить аналитически 1т. е. в виде формулы): 6.2. Фуикции е екоиомике В некоторых экономических задачах, например, в задачах о денежных вкладах в сбербанке, возникает необходимость рассчитать так называемые есложные проценты».
Мы говорим, что имеем дело со сложными процентами в том случае, когда величина в конце каждого этапа времени испытывает изменение па определенное число процентов, причем каждый раз начисление процентов происходит по отношению к тому значению рассматриваемой величины, которое образовалось в конце предыдущего этапа времени. Рассмотрим случай, когда в конце каждого этапа времени начисляется одно и тоже постоянное количество процентов р%. Некоторая величина А, исходное значение которой Аеи в конце первого этапа будет равна А1 = Ав + — Ав = Ав ( 1 + — ~ . г 1ОО (, 100/' х 2 В концевторогоэтапа-- А2 = А1 1+ ( = Ав (1+ юо,) (, юо,1' В конце тРетьего этапа — Аз = А2 1 + — ) = Ав ( 1 + — (, 100/ (, ЮО,) ' ит.д Ясно, что в конце и-го этапа Эта формула показывает, что величина А растет (или убывает, если р < 0) в геометрической прогрессии, первый член которой р '1 равен Ав, а знаменатель - величина 1+ ).
100 ) ~7 Пример 1. Определить сумму, которую получит вкладчик через 3 года, вкладывая 10 денежных единиц под сложный процент, ставка которого 3% . Решение. Зависимость суммы А от количества лет п, которое хранится вклад, первоначально равный Ав, определяется формулой А = Ав (1+ 0 03) = Ао (1,03)*. В даннОм случае А = 10(1,03) = 10,91927- 11 ден. ед.
и Ч Пример 2. Вычислить, в какую сумму обратилась бы копейка в 2002 году, если бы ее положили в сберегательный йв рл. 6. Иепольвование понятий функции и предела... банк в начале нашей зры под 5% годовых? Предполагается, что денежные реформы не проводятся и нет инфляции. Решение. Согласно приведенной выше формуле А = Ао(1+ 0,05)п = (1,05)зввв К концу 2002 года копейка обратиться в (1,05)~~~~ копеек. 2~" копеек зто приблизительно десять миллиардов рублей. Наша сумма, однако, в 2~~~ раза болыпе; точнее она выражается числом, состоящим из 49 цифр.
Значит, речь идет о сумме, которая намного превосходит все денежные запасы земного шара. Этот результат показывает, что денежные реформы неизбежны. а 6.3. Пределы в социально-экономической сфере Ч Пример 1. Экспериментально была установлена зависимость д = 200/(сд + 2) между ценой одного из товаров л и спроса на него д. Исследовать поведение функции спроса от цены товара д = 200/(л + 2) при неограниченном увеличении цены (л -+ — + оо). Решение. 200 200 !пп я-лоо т+ 2 со Таким образом, при неограниченном росте цен спрос приближа- ется к нулю. а й Пример 2. В и. 6.1 была рассмотрена модель групповой продуктивности р(п) = р(1) .'" ", где и число индивидов в естественно-научном коллективе; р(п) -- его продуктивность: р(1) --- продуктивность при и, = 1.
Найдем продуктивность естественно-научного коллектива при неограниченном увеличонии его членов (п -+ оо); !пп р(п) = !пп р(1) е !и ! = оо. и-о ее и-ооо Предел равен бесконечности. Отсюда следует, что не существует оптимального размера группы с наибольшей продуктивностью. а Ч Пример 3. Экономические исследования показывают, что спрос д на товары первой необходимости и спрос г на предметы б.~. Непрерывное начисление процентов роскоши зависят от дохода х следующим образом»): у(х) = х > а», 61 (х — а») Х вЂ” С» ° ()= 62х(х — а.) Х вЂ” С2 х>а», а2>а», где а», а2 уровни доходов, при которых начинается приобретение тех или иных товаров.
Функции у(х) и 2(х) называются функциями Л. Торнквиста. Найдем как меняются у(х) и 2(х) при х -+ оо: 61(х — а») (оо»), 61(1 — а»/х) 1»и» у(х) = 1пп = — = (пп = 6», х-»со х — »сс х — с» 1 сс / х-»со 1 — с» /х 62 х (х а1) (сс ) ° 62 х (1 а!1' х) !пп 2(х) = 1пп = — = 1пп = оо. х — »со * — »со х — с» 1 со/ х — »оо 1 — с»(х Как видно из приведенных примеров, многие социально- экономические закономерности удается увидеть с помощью предельного перехода. Именно поэтому приобретение навыков вычисления пределов является необходимым и включено в программу по математике для экономистов, социологов и психологов.
6.4. Непрерывное начисление процентов Большую роль в социально-экономической сфере играет второй замечательный предел: 1»п» 1+ — = е. Пусть сбербанк выплачивает в год 2% от суммы вклада. Если 1 января положить в банк 100 у. е. (условных денежных единиц), то в конце года на них будет начислепо дополнительно 2 у. е.
Но если 1 июля взять весь вклад обратно, то процентов будет начислено ') См. (20, с. 1361. 4 Я Ъ» Ахтямов Таким образом, при неограниченном увеличении доходов спрос на товары первой необходимости растет до определенного предела, равного 6». Миллионеры не покупают для себя хлеба больше, чем съедят. Поэтому число 61 называется уровнем иасьпцения. Спрос же па предметы роскоши не имеет уровня насыщения. Он растет даже при неограниченном росте доходов. йв рл.
6. Иепольоование покатай функции и предела... не 2 у, е., а только половина этой суммы, т. е, 1 у. е. Если изъять вклад 1 апреля, то процентов будет получено только 0,5 у. е. Сбербанки начисляют проценты только в конце года или при полном изъятии вклада. Поэтому вместо того, чтобы вложить 1 января 100 у.е, и истребовать их в конце года, оказывается выгоднее (считаем, что плата за оформление нового вклада существенно меньше величины вклада), например, 1 июля изъять весь вклад и вложить его снова. В самом деле, в первом случае в конце года будет получено 102 у. е. Во втором же случае 1 июля будет получено 101 у.
е., но на вторую половину года будет вложен вклад не в 100 у.е., а в 101 у.е., на которые и будут начислены проценты. Именно 1% от 101 составит 1,01, т. е. всего будет в конце года получено 102,01 у. е. Еще выгоднее изымать и снова вносить вклад каждый месяц, каждую неделю, каждый день, каждый час и т. д. В дейсгвительности за дробную часть дня сбербанки процентов пе начисляют. Но в математической схеме можно себе представить процесс учащения изъятий и внесений вклада беспредельным. Согласно формуле Ап=Ао 1+ полученной в п.
6.2, при ежегодном приросте р%, процент начис- 1 ' р ления за — -ю часть года составит — %, а размер вклада за и лет т гп. при т п начислениях составит А„(гп) = Ав 1+ Таким образом, общая сумма вклада в конце года, если проценты начислялись по истечении полугода, составит А1(2) = Ав 1+ 200 Если проценты будут начисляться поквартально, то сумма вклада в конце года составит 4 200 если ежемесячно, то 12 А1(12) = Ав 1+— б.а. Непрерывное начисление проценспоо На практике часто бывает, что какая-либо величина испытывает приращения не скачкообразно, а меняется непрерывно, и ее изменение за этап составляет р% .
Закон изменения этой величины можно найти из представления для Ап(т), неограниченно увеличивая число т, (число подэтапов). Вычислим предельное значение величины Ап(оп) при ьч — р со в конце и-го этапа: Ап = 1нп Ао 1+ Р 1пеоо 100 ьч Таким образом, задача о непрерывном начислении процентов приводит к необходимости использования второго замечательного предела: а !пп 1+ — ) = е. о — е 1, я1 С помощью этого предела получаем, что Ап = 1пп Ао ~1+ а — >ос ~, 100 т/ р.о шо =,~0 е'оо 5п1 Ав + Поскольку количество лет п. в этой формуле может быть и дроб- ным числом, обозначим его через 1.
Тогда получим ре А(г) = Ав е'оо Полученная формула непрерывного начисления процентов выражает показательный (экспоненциальпый) закон роста (при р ) О) или убывания (при р ( О). Погрепшость вычисления суммы вклада по формуле непрерывного начисления процентов по сравнению с формулой сложных процентов, начисляемых ежегодно (гп = 1), при процентной ставке р = 5% составляет около 2,5%. Погрешность вычисления суммы вклада по формуле непрерывного начисления процентов по сравнению с формулой сложных процентов, начисляемых ежедневно (оп = 365), при процентной ставке р = 5% является более меньшей и составляет сотые доли процента. Гл. 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
