Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Использование покясаий функции и предела... 1оо Конечно, нельзя себе представить, чтобы кто-либо изымал и обратно вносил свой вклад в сбербанк не только бесконечно чагуго, но даже делал это один раз в год для увеличения процентной суммы. В практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов применяется крайне редко. Однако оно оказывается весьма эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности при обосновании и выборе инвестиционных решений и при анализе инфляционных процессов.
'7 Пример. Пусть темп инфляции составляет 20 % в год. Тогда реальная стоимость хранящихся дома денежных сбережений уменьшается. Насколько она уменьшится за месяц? Решение. Применение формулы начисления непрерывных процентов дает — ао 1~'ш А(1/12) = Ао е ооо = Ао е ~!оо 0 98 ' Ао~ где Ао - хранящаяся дома денежная сумма. Таким образом, инфляция за месяц уменьшит реальную стоимость денежной заначки приблизительно на 2%.
в Полезна формула непрерывного начисления процентов и в демографии. Закон показательного роста позволяет прогнозировать изменения в составе населения, динамику роста трудоспособного населения, соотношение городского и сельского населения, текучесть рабочей силы и т, и. Некоторые другие применения показателыюго закона роста будут рассмотрены также при изучении дифференциальных уравнений.
6.5. Паутинообразная модель рынка и ряд Будем предполагать, что производители зерна определяют предложение в (виррсу) товара в текущем периоде на основе цены р (ретсе), установившейся в предшествующем периоде, а спрос д (Йетипсе) на товар изменяется в зависимости от цены в данном периоде. Предположение о запаздывании предложения от цены вполне объяснимо. Действительно, решение об объеме производства принимается с учетом текущих цеп, но производственный цикл имеет определенную продолжительность, и соответствующее этому решению предложение появится на рынке по окончании данного цикла.
6.5. Пиоеианообразпан модель оь~нна и рад Если спрос и предложение линейно зависят от р, то динамика цены описывается следующими уравнениями: в(Ь) = ар(Ь вЂ” 1)+ Ь., ЙЯ = — изр(Ь)+ и. Здесь и > Ь > О, так как при нулевой цене спрос превышает предложение:, а > О, так как функция предложения возрастающая; ьи > О, так как функция спроса убывающая. Таким образом, если спрос в(1) равен предложению е1(е), то получим следующее рекуррентное соотношение: и — Ь а р(Ь) = — — р(Ь вЂ” 1). Последовательно применяя это соотношение, находим: — р(0); га — — + —" р(0); — — — + — ' р(0); р(О) = и — Ь ~ а (а1 12 р(~) = 1 — — +( — )) +...+ + ( — 1)' + ( — 1)1 р(0), Выражение в квадратных скобках есть сумма первых Ь членов геометрической прогрессии: б'1 = 1+ д+ д + ...
+ д'- 2 1 — 1 1 11 1 — д' 102 Гл. о. Иеполозооание понятий функции и предела... о, где д = — —. Отсюда получаем выражение для цены р(Ь) в прот извольный момент времени 1: р(1) = ',„, +Ч' р(0) Следовательно, динамика цен носит колебательный характер. 1 Пусть | -+ оо. Если ~д~ < 1, то !нп бп = Я = и е — еео 1 — у п — Ь 1 п — Ь р(Ь) -~ т 1 — у т+а т. е.
при 1 -+ со и а/т < 1 равновесие устойчиво и цена стремится к своему равновесному значению и — Ь р= т+а Если ~д( > 1, то р(Ь) — ~ оо (равновесие неустойчиво). При ~д! = 1, т. е. при а = т, значения р(Ь) чередуются вокруг равновесного значения р. а Заметим, что в реальности прн — > 1 бесконечно возрастающих колебаний не происходит, так как при болыпих отклонениях от равновесия линейные зависимости спроса и предложения от цены становятся нереалистичными. В более реалистической нелинейной модели устанавливаются колебания большой, но конечной амплитуды. Раздел 11 Дифференциальное исчисление Там, где прежде были границы науки, там теперь ее центр. Г. Лихтиенбере Глава 7 Производная 7.1. Задачи, приводящие к понятию производной 1.
Тангенс угла наклона касательной. Пусть дана непрерывная кривая д = ~ (х) и необходимо найти тангенс угла наклона касательной к этой кривой в точке М(хе, де). Прежде всего необходимо выяснить, что мы будем понимать под касательной к кривой. В школьном курсе касательную к окружности определяют как «прямую, имеющую с кривой лишь одну общую точкуге Но это определение имеет частный характер, не вскрывая существа.
В общем случае касательную нельзя определять как прямую, имеющую с кривой одну общую точку. В самом деле, ось Од имеет с кривой д = гйп х общую точку, но не является касательной к ней. А прямая д = 1 имеет с той же кривой д = вш.г бесконечное число общих точек, в которых она касается кривой. Поэтому для определения касательной к кривой должен быть реализован другой подход. Дадим аргументу хв приращение Ьх и перейдем па кривой д = 1(х) от точки Ме(хе, де)) к точке М1(хв+ Ьх, де+ Ьд). Проведем секущую МеМ1 (рис. 7.1).
Когда М1 вдоль кривой будет перемещаться к точке Ме, секущая будет вращаться вокруг !ть 7. !!роизвлдиая 104 а(!О) в(!О + гг!) тангенс угла наклона касательной м г но вен н ая скорость Рис. 7.1. Задачи, приводящие к понятию производной точки М0 и приближаться к некоторой прямой с углом наклона гг. Эту прямую и называют касательной. Таким образом, определение касательной в общем случае можно сформулировать следующим образом: Касатпельггой к кривой р = !(х) в точке М~г называется преДельное положение секУЩей МОМг пРи пРиближении точки Мг к точке М0, т. е. при Ьх -+ О. Тангенс угла наклона секущей может быть найден из прямоугольного треугольника МОМг Дг как отношение противолежащего катета к прилежащему: ~Медг~ ~х Тогда тангенс угла наклона касательной Ьу 1яа = 1пп 1есг = 11пг Ьх — ге Ьх — ге гах 2. Мгновенная скорость.
Рассмотрим некоторое прямолинейное движение. Представим себе, что мы движемся по прямолинейной дороге, вдоль которой вместо километровых столбов проходит числовая ось. В нашем распоряжении имеется секундомер. По числовой оси мы в любой момент времени 1, показанной секундомером, можем определить пройденный путь 0. Таким образом, каждому значению ! соответствует определенное значение в, т. е. в является функцией 1, что выражается с помощью уравнения движения в = з(!). Как понимать скорость точки в момент времени !0? Математики ХЪ'11 и ХЪг1П вв. понимали ее как отношение мгновенного 7Л. Задачи, приводяиизе п понятию производной 10о отрезка пути к мгновенному отрезку времени.
Мгновенный отрезок они понимали не как переменную величину, а как постоянную величину " некоторое число. В резулшате часто возникало О «число» вЂ” которое в одних случаях оказывалось равным 1 в О' других 2 или еще какому-либо числу. Это приводило к противоречиям и вместе с другими подобными противоречиями породило кризис математики, который был преодолен только с введением понятия предела и уточнением понятия функции.
Сейчас под мгновенной скоросгью понимается предел средней скорости, которая рассматривается как переменная от промежутка времени величина. Дадим более подробное и точное определение мгновенной скорости. К моменту времени 1в пройденный путь равен в(ев), а к моменту 8в + Ы в(1в + Ьг). За промежуток времени Ьг пройденный путь составит Ьв = з(1в + Ье) — я(1в). Средняя скорость на промежутке Ья составит Ьз ~И' Чем меньше Ьг, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент времени ~в.
Поэтому скоростью точки в мояеенгп йв называют предел средней скорости за промежуток от йв до Хв + езе, когда езе -+ О, т. е. Мгновенную скорость используют не толз ко в физике. В социально-экономических задачах понятие мгновенной скорости используется при определении скорости роста объемов продукции, скорости распространения рекламы, скорости роста трудоспособного населения и т. и. 3. Производительность труда. Пусть функция Ц(~) выражает количество произведенной продукции за время 1.
Найдем производительность труда в момент 1в. За период времени от 1в до Ц + Ы количество произведенной продукции изменится от значения Ц(1в) до значения Я(1в + Ьг), !'л. 7. !!роизвлднал 106 т. е, на ЬЯ = е„(!ш + Ь!) — Я(!в); тогда средняя производительность труда за этот период времени и, = —.
Под производи- Ь! тельностью труди в момент !в естес~евино понимать предельное значение средней производительности за период времени от !о до !в + Ь! при Ы вЂ” + О, т, е. Таким образом, производительность труда это скорость роста об"ьема продукции. 4. Предельный продукт. Пусть функция Я(х) выражает зависимость количества произведенной продукции от величины затрат х. Отношение — есть средняя величина продукта, соответству- Ьх ющая величине затрат в размере Ьх. Под предельным продуктом или мвржинальным продуктом при затратах хо в экономике понимают следующий предел: 7.2.
Определение производной Рассматривая различные по характеру задачи, мы пришли к пределу одного вида Ьу йш ап-Ю Ьх Этот предел очень часто используется в различных областях науки. Поэтому ему дали отдельное название .— производная. Дадим общее определение производной. Пусть у = ! (х) определена на промежутке Х.
Дадим значению хв Е Х приращение Ьх ~ О, тогда функция получит приращение л у = !'(хо + Ьх) — !'(хв). Определение. Производной функции у = !(х) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулкз (если этот предел существует): Ьу у =!пп Ьх — ~0 Ьх 7.2. Ог«ределег«не производной 107 Термин «производная» был введен Лагранжем на рубеже Х»7111 и Х1Х вв.
Он означает, что производная функции Г(х) есть некоторая функция 7'(л), произведенная (т, е, полученная по определенным правилам) из данной функции. ЛАГРАНЖ (Ьайгапйе) Жозеф Луи (Д736 И13) Французский математик и механик, член Берлинской и Парижской Академий наук. Родился в семье обеднев«пего гиновника. Самостоятельно изучал математику. В 93 лег стал преподавателем училища, в Гй лет— профессором, в 23 года — академиком.
Одна из его книг, знаменитая «Аналитическая механика», представляю собой систематическое пОСтрОЕние механики методами анализа; в этой книгг нст нв однОго чертежа - все основано только на формулах. Ои сделал массуоткрытий. Парижская А П пять рвз присуждала ему премии. В математике и механике его именем названы несколько методов, формул и теорем. Нахождение производной называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке зс имеет конечную производную, то функция называется дифференцпууемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой тии этом промежутке. Производная функции имеет несколько обозначений: у' (обозначение Лагранжа, читается: «игрек штрих»); ду — (обозначение Лейбница, читается; «дэ игрек по дэ икс»); дх у (обозначепие Ньютона., читается: «игрек с точкой»), Оу (обозначепие Коши, читается: «дэ игрек»).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
