Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 20
Текст из файла (страница 20)
рл. 8. Основные теоремы о производных Ь х отсюда у а у мулой Это представление для у' совпадает с фор- Ь х у о,,Мсах ха найденной с помощью явного выражения функции. а 8.7. Производная высших порядков 8.8. Теорема о конечном приращении и ее следствия Теорема Лагранжа. Вели функция непрерывна на отрезке (а, 6) и дифференцируема в интервале (а, Ь), то существует такал точка с Е (а, 6), что ~ )'(6) — д"(а) = ~'(с) (6 — а). ~ П Через точки А(а, д'(а)) и В(6, д (6)) данной функции проведем секущую АВ (рис.
8.1). Угол, образуемый секущей АВ с осью О:г, обозначим через се. Тангенс угла в прямоугольном До сих пор мы рассматривали производную ) (к) от функции д (к), так называемую производную первого порядка. ~о производная Г'(к) сама является функцией, которая также может иметь производную. Производной и-го порядка называется производная от производной (и — 1)-го порядка. Обозначение производных: д'о(х) второго порядка или вторая производная, ~о'(к) .
третьего порядка или третья производная. Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры, например, ~141, )Чп1(х), или д" (к) и т. д. Выясним механический смысл второй производной. Выше было установлено, что если точка движется прямолинейно по закону з = з(Ь) (где в — путь, Ь вЂ” время), то в'(Ьв) представляет скорость изменения пути в момент Ьв. Следовательно, вторая производная пути во времени вп(ев) = (в'(Ьв)]' = и'(ев) есть скорость изменения скорости или ускорение точки в момент 1в.
о.о. теореме о конечном приращении и ее еледетоия к теореме Ролля к теореме Лагранжа Рис. 8Л. Иллюстрации к теоремам Лагранжа и Ролля треугольнике равен отношению катетов: противолежащего к прилежащему. Из треугольника АВМ находим (ВМ( 1(Ь) — 1(а) )АЮ( Ь вЂ” а Будем перемещать секущую АВ параллельно начальному положению до тех пор, пока она не превратиться в касательную к графику функции у = 1'(х) в некоторой точке С(с, 1(с)), где а < с < Ь (здесь опускается доказательство того факта, что такое предельное положение существует). Согласно построению и геометрическому смыслу производной $и о равен тангенсу угла наклона касательной 1'(с), поэтому = 1'(с), а < с < Ь.
Ь вЂ” а Отсюда ((Ь) — ((а) = ('(с) (Ь вЂ” а). ° Следствие 1. Если производная равна нулю в киэкдой точке некоторого промежуткач пео функция есть тождесгавенная постоянная на этом промежутке. П Пусть (ч(х) = О для всех т из данного промежутка. Коли а и х две точки этого промежутка, то по доказанной теореме 1(х) — ~(а) = ) (с) (х — а), а, < с < х.
Поскольку ~'(с) = = О, то У(х) — У(а) = О, У(х) = У(а) = сопв1. ° я М Актяное Рл. 8. Основные п~еоремы о производных 1ао Следствие 2. Если две фугскции имеют равные. производные в некотором промеэкутке Х, то они отличаются в зтпом промезссутке лишь постоянным слагаемым. П Если )"1(х) = )"2(х), х Е Х, то В силу следствия 1 з1(х) — 12(х) = сопз$, х Е Х. ° Прежде чем переходить к формулировке следующей теоремы, нвломним, что корнем (нли нулем) функции у = у(х) называют такое значение ее аргумента, при котором функция обращается в нуль. Геометрически корень функции означает абсциссу точки, в которой график функции пересекает ось Ох или касается ее.
Теорема Ролля. Между двумя различными корнялт дифференцируемой функции содержится по меньшей мере один корень ее производной. П Пусть а и 6 различные корни дифференцируемой функции,т.е. ) (а) = О, ) (6) = О. Из теоремы Лагранжаполучаем ~'(с) (6 — а) = О, а < с < Ь. Так как 6 — а ф О (корни различны), то д"'(с) = О. ° Теорема Рояля имеет простую геометрическую интерпретацию.
Между значениями а и 6 имеется по меньшей море одно значение с, такое, что в точке С(с, ~(с)) графика функции касательная параллельна оси Ох (рис. 8.1). РОЛЛЬ (Коле) Мишель П652 — 1719) — французский математик, член Парижской Академии наук. В 23 года решил одну из задач, которую не смог до конца решить известный в то время математик Ж. Озанам.
Впоследствии чисто лгебраическими средствами для случаи многочлеиа доказал теорему, которая теперь носит его имя. Ролш долгое время критиковал анализ Р. Декарта и исчисление бесконечно о мал ык Р. Лейбница. Хотя зта к рити ка в большинстве случаев была бездоказательной, но она заставила 11 Лейбница внимательнее отнестись к обоснованию основ анализа. Теорема Коши.
Если у = д" (х) и у = ~р(х) — две функции непрерывные на отрезке ]а, 6] и дифференцируемые в интервале (а, 6), причем ~р'(х) ф О для любого т, б (а, 6), гпо между а О.8. Теорема о конечном прирощенин н се слеосгпенл и 6 найдется так я точка с, что 1(6) — 1(а) у (с) ег(6) — гр(а) ег'(с) Замечание. Знаменатель в левой части равенства отличен от нуля (допустив противное, т. е.
гр(Ь) — сг(а), получили бы гг'(с) = О, что противоречит условию), поэтому выражение в левой части равенства имеет смысл. П Введем в рассмотрение функцию с'(х) = 1'(х) — 1 (а) — (р(х) — р(а)). Х(6) — Па) гр(6) — Чг(а) Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно, во-первых, она дифференцируема в интервале (а, 6), так как диффсрснцирусмы в нем функции г (х) и гр(х): 1(6) — 1(а) р(6) — гр(а) Во-вторых, Р'(х) непрерывна на отрезке [а, 61г поскольку непрерывны на нем функции ((х) и гр(х).
В-третьих, на концах отрезка (а, 6) функция Р'(х) обращается в нуль: Р'(а) = ((а) — ((а)— 1 (Ь) — г (а) гр(6) — р(а) (гр(а) — гр(а)) = О, Р (6) = ) (Ь) — ) (а) — (гр(6) — гр(а)) = О. р(6) — сг(а) Следовательно, между а и 6 найдется такая точка с, для кото- рой с'г(с) = О, т. е. (~(с) — р~(с) = О, гр(6) — гр(а) откуда у(6) — у(а) у'(с) гр(Ь) — ег(а) ег'(с) С помощью теоремы Коши может быть доказано важное правило, которое позволяет находить пределы дроби у(х): гр(х)г числитель и знаменатель которой при х — э а стремятся к нулю или бесконечности. Теорема (правило Лопиталя — Бернулли). 1?редел отвоевания двух бесконечно малых илн бссконесчно больгаих фйнкг1игЪ Гл. 8.
Основные п»еоремы о производных Б82 равен пределу отноп»ения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле. Итак, если имеетсл неопределенности вида 1-) или ( — !7, 1,0) оо БЕРНУЛЛИ (Вггпои77Ц Иоганн ! (1667 — 1748) — швейцарский математик, иностранный почетныи член Петербургской Академии наук (1726), профессор математики !'ронингенского и Базельского университетов. Ьыл деятельным соратником немецкого ученого !'. Лейбница в разработке дифференциального и интегрального исчислений, в области которых им был сделан ряд открытий.
Он развил твори»о показательной функции, вывел правило раСкрытия неопределен- О костей типа — (носящее имя Лопитвля — Бернулли), указал методы О интегрирования рациональных дробей, вычисления площадей плоских кривых, дал определения понятия функции как аналитического выражения и др. В геометрии он двл определение пространственных координат, занимался различными специальными кривыми и др. Ему принадлежат также цепные работы по механике, в частности он дал весьма четкое понятие работы и для простейших случаев сформулировал так называемый «принцип виртуальных скоростей».
Среди многочисленных учеников Иоганна Бернулли были такие известные матгматики как Л. Эйлер, маркиз де-Лопиталь и его сыновья Даниил, Иоганн П, Николай П. 17ОПИТА)(Ь (!.7«ор(1а!) Гийом Франсуа Антуан (1662-1704) французский математик, шен Парижской Академии наук. Годился в Парижа. Издал первый печатный учебник по дифференциальному исчислению - «Ан лиз бесконечно малых» (1696). В книге есть правило нахождения предела дроби, числитель и знаменатель которой стремятся к нулю. Это правило теперь называют его именем. Кроме того, он создал курс аналитической геометрии конических сечений.
Ему также принадлежит исследование и решение с помо«цыо математи пккого анализа иоекольких трудных Задач по геОметрии и механике. П Для простоты рассмотрим доказательство теоремы в случае, когда функции 1(х) и «р(х) дифференцируемы в окрестности точки х = а, обраща7отся в нуль в этой точке и существует предел отношения ) (х): «р~(х) при х — > а. Пусть точка х ~ а принадлежит интервалу, в котором функции дифференцнруемы.
По теореме Коши ((х) — ((а) ( (с) «р(х) — р(а) ч» (с) а.8. 1еарема а конечном приращении и ее следстеиа 1ЗЗ 1(х) 1 (с) 1с(х) «р'(с) Если х — «а, то с — «и, так как с заключено между х и а. Переходя к пределу в последнем равенстве, получаем 1пп = 1пп = 1(п« ° а1™а р(х) с — «а р'(с) а — «а «р«(х)' Решение. При х = О числитель и знаменатель обращак«тся (О'1 в нуль, имеем неопределенность вида д. Применяя правило (,О) ' Лопиталя--Бернулли, получим: 2 сов2х 2 = !пп =1.
А а — «в 3 — сов х 3 — 1 1и х '««Пример 2. Найти 1пп — „, где п натуральное число. ж-«з-00 х" Решение. Имеем неопределешюсть вида — . Применяя правило Лопиталя — Бернулли, получим: 1п х (со'), (!и х)' !пп „=( — ) = 1пп „вЂ” ( 1— 1пп х — « -~-сю Этот пример показывает, что при возрастании х логарифмиче- ская функция растет медленнее степенной функции.
А Правило Лопиталя--Бернулли при выполнении соответствую- щих условий можно применять несколько раз. х ««Пример 3. Найти !пп —,, где п — натуральное число. — н- е*' где с лежит между х и и. По условию 1(а) = «р(а), поэтому яп 2х Ч Пример 1. Найти )пп х — «о Зх япх яп 2х (Оч) . (яп 2х)' 1«т .. = — = 1(п« а — «о Зх — в|их 10««а — «о (Зх — япх)' 1 х, 1 !пп „= О.
и ха ~ х — «-«ас 'н ха !'о. 8. Оеповные п~еоремы о производных 1йд Решение. Применяя правило Лопиталя — Бернулли и раз, получим: и (и — 1)х ' рсоа 11 п1 * — «+ е' 00 и (п — 1)...1 1пп х = О.,х х — ~-еоо ех Как мы уже отмечали ранее, неопределенности О оо, оо — со, 1, О, оо можно свести к неопределенностям —, О О О ос О ос х 7 Пример 4. Найти 1пп х ' — 1. и — >1 Решение. Это неопределенность вида 1' е 2О1х 1п х — !ии х — 1 1пп х ' — ' = ! пп е ' — ' = е " хо1 х — ~1 Поскольку 2 1пп = 1 — ! =!пп 2 !Ох /01 . (2 !пх)' ,=1пп х =2, х-о! х — 1 1,0) х-о~ (х — 1)' х-~! 1 то е 1!п1 х — ' = е .
А х — >1 8.9. Формула Тейлора Мы уже знакомились !правда, не в такой форме) с соотношением 1+ х + х + ... = ~~~ хп = п=О Оно означает, что геометрический ряд сходится, если !х~ ( 1, и 1 1 его сумма равна . Говорят также, что функция д !х) = 1 — х 1 — х в интервале ( — 1, 1) разлагается в ряд ~~~ х".
п=О 8.9. Фоуелула Тейлора 1ЗЗ Ряд более общего вида се+ с1х+сгх + ... = ~~~ с„х называется сп1епенным рядом (с центром в нуле). А ряд вида называется степенным рядом (с центром в точке а). Название объясняется тем, что члены ряда являются степенями х. Облисгпью сходимости степенного ряда называется множество, состоящее из всех тех х., для которых сходится соответствующий числовой ряд.
Во многих случаях бывает сложно определить значения функций, соответствующие значениям независимой переменной. Эта задача облегчается при записи функций в виде так называемых степенных рядов Тейлора. Например, возьмем мпогочлен 1(х)=СО+С1Х+Сгх+Сзх (8.3) откуда се + с1(х — а) + сг (х — а) + ... = ~ с„ (х — и)" где се, с1, сг, сз - постоянные. Вычислим производные Т'(х) = с1+ 2сг х+ 3сзхг, ~о(х) = 2сг+ Осзх, Т"о'(х) = Осз. Если в выражения (8.3) .(8.6) подставить х = О, получим У(0) = ь З"'(0) = с1 = 1! . с1, ~о(0) = 2сг = 1. 2 сг = 2! сг., ~о'(0)=без=1 2 3 сз=З! сз, сО = ~(0), с1 = —, с2 =,, сз = 1'(О) 1" (О) 1о'(О) 1! ' 2! ' 3! (8.4) (8.5) (8.6) Рл. 8. Основные п~еоремы о производных 136 Подставляя зти значения в выражение (8.3), получаем 7"(х) = !'(О)+ —,х+,, х +, хз.
У'(0) 7п(О) , 1п'(0) Аналогично можно получить разложение многочлена ~(х) = Со+ С1 (х — а) + С2 (х — и)2+ Сз (х — а) Зх( ) Зг( )+ ( )(, )+ ( )( )2+ (и)(, )3 1! 2! 2! Действуя таким же образом, можно любой многочлен и-й степени записать в виде и 7(х) = 7(а) +, (х — а) +, (х — а) + ... г(п)( ... +, (х — а)". (8.7) Выражение (8.7) называется рядом Тсйло1иь Тс~ЙЛОР (1'ау!ог) Ьрук (1666-1731) — английский математик, член Лондонского королевского обгдеотва, Папу юил обгцую формулу разложения функций в степенной' ряд, положил начало математическому изучению задачи о колебаниях струны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
