Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Все эти обозначения используются в современной математике и сейчас. Обозначение Лейбница используется преимущественно в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (оно удобно, например, при решении так называемых уравнений с разделяющимися переменными). Обозначение Коши используют чаще в теории уравнений математической физики. Обозначением Ньютона пользуются тогда, когда хотят подчеркнуть, что роль независимой переменной играет время. Мы будем пользоваться преимущественно простыми обозначениями Лагранжа. В тех случаях, когда необходимо указать значение независимой переменной хв, при котором вычисляется производная, вместо у' будем писать у'(хо).
А в тех случаях, когда может возникнуть сомнение относительно переменной, по которой взята производная, эта переменная указывается в виде !'л. 7. !!ронзеоднал 108 значка внизу; Р' У,'(хо). В предыдущем параграфе было показано, что тангенс угла наклона (угловой коэффициент) касательной и скорость прямолинейного движения выражаются с помощью производной. Эти выражения характеризуют геометрический и механический смысл производной. Геометрический смысл производной. Для функции у = 71х) ее производная у' = ~'(х) для казюдого значения х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке.
Поскольку угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона, то уравнение касательной й = 6 х + 6 к кривой дифференцируемой функции у = ~(х) в точке хе можно записать следующим образом: у=у'(хе) х+6 Если касательную к кривой в некоторой точке провести невозможно, то это означает, что функция неднфференцнруема в этой точке. Механический смысл производной. Длл функции д = ~(х), меняющейся со временем х, производная у' = !'1'хе) есть скорость изменения й в момент хе. ЛЕЙБНИЦ 1Ье!Ьп1е) Готфрид Вилыельм !!646 — 1716) — немецкий философ, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, экономист, дипломат, языковед, член Лондонского королевского общества и Ларижской Академии наук, основатель Берлинской Академии наук. Родился в Лейпциге.
В 17 лег защитил диссертацию на степою, бакалавра, в 18 лет — магистра философии и в 20 лет — доктора права. Лейбниц является одним из создателей анализа. Он изобрел также определители и сконструировал вычислительную машину, которая выполняла не тшп ко сложение и вычитание, как это было у Лвсквля, по и умножение, деление, возведение в степень и извлечение квадратного и кубического корней.
Свыше 40 лнг посвятил Лейбниц усовершенствованию своего изобретения. Именно поэтому его можно считать идейным вдохновителем современной машинной математики. Он первым нарушил вековую традицию писать научные труды только на лввинском языке. Лейбниц ввел много математических терминов, когорыг теперь прочно вошли в научнук1 практику: функция, дифференциал, дифференциальное исчисление, днфференцн льное уравнение, алгоритм, абсцисса, ордината, координата, а также знаки дифференциала, интеграла, логическую символику и другие.
7.3. Схема нахоэкденпя производной 109 В философии Лейбниц явился завершителем филово«)»ии Х1»Н) века, предшественником немецкой' классической философии. В физике он развивал учение об относительности пространства, времени и движения.
Лейбниц установил в качестве меры движения «живую с»глу» (кинетическую энергию) произведение массы тела на квадрат скорости. В языкознании создал теорию исторического происхождения языков, двл их генеалогическую классификацию, развил учение о происхождении названий. Является одним из созда»елей научного лексикона. С именем Лейбница в науке связано также мпага других открытий и гипатеЗ. НЬЮТОН (Нея»эоп) Исаак (1643-! 727) — английский физик и математик, член Лондонского королевского об|цества (с 1672) и его президент (с 1703).
В своем грандиозном труде «Математические начала натур ль— вой философии» (1687) Ньютон намечает программу построения методов анализа на основе учения о пределе, не даная т»рочем, формального определения этого понятия, получившего глубокое развитие в математике Х1Х века. Вклад Ньютона в математику нг исчерпывается открытиями в области дифференциального в интегрального исчисления. В алгебре ему принадлежит метод численного решения лгебраических уравнений (метод Ньютона), важные георемы об отделении корней, о приводимости уравнений и ч. д.
В физике Ньютон обоснона справедливость закона всемирного тяготы»ия всеми извЕстными в тв время астревемичеекими фактами и вычислил на основе его траектории тел, которые двигаются в разных условиях в поле тяготения; выдвинул корпускулярную теорию света, и которой рассматривал снег как поток особых корпускул (частиц), испускаемых источниками света. Ньютон верным обнаружил, что пучок белого света можно разложить в пучки монохроматического света 1дисперсия света), и показал, что сложяый состав белого света является одной из причин искажения изображения в оптических системах, в частности в телескопах.
Стремясь обойти этот недостаток телескопов, гконструироввл первые зеркальные (отражательные) телескопы. 7.3. Схема нахождения производной Из определения производной следует схема ее нахождения: 1. Фиксируется значение х аргумента функции и выписывается исходное (начальное) значение функции 7(х). 2. В точке х аргументу придается приращение 11»х ~ О и выписывается новое (наращенное) значение функции 1 (х + 11»х). 3. Вычисляется приращение функции )лу = )(х+Ьх) — 7(х). Ьр 4. Составляется отношение —. ьхх 5. Находится предел этого отношения при ьхх -э О (если этот предел существует) . !'л.
7. !!роизвлднал 110 Рассмотрим некоторые примеры нахождения производных. Производная постоянной величины. Пусть дана функция у = с. Найдем ес производную. 1. Фиксируем значение х аргумента функции и выписываем исходное значение функции ! (х) = с. 2. В точке х аргументу придаем приращение Ьх ф О и выписываем новое значение функции ! (х + Ьх) = с.
3. Вычисляем приращение функции: Ьу = !'(х + Ьх)— — !(х) =с — с =О. съу с — с О 4. Составляем отношение — ' = ' = = О. Ьх Ьх Ьт, 5. Находим предел этого отношения при Ьх -+ О: у' = Ьу 1пп — = !пп О = О. а -~о с1х е*-ю Итак, производн л г!осгполнной величины равна нулнх с =О. Производная функции у = х. Пусть у = х. Найдем производную. 1. Фиксируем значение х аргумента функции и выписываем исходное значение функции !'(х) = х. 2. В точке х аргументу придаем приращение Ьх ф О и выписываем новое значение функции !' (х + Ьх) = х + Ьх.
3. Вычисляем приращение функции; Ьу = !(х + Ьх)— — !" (х) = х + Ьх — х = Ьх. Ьу Ьу Ьх 4. Составляем отношение —: — = — = 1. Ьх Лх Ьх 5. Находим предел этого отношения при Ьх — э О: у' = !пп — = 11ш 1 = 1. Ьу а -~о !1х а,— ~о Таким образом, производнал функции у = х равна единице: Производная функции у = х~. Пусть у = хз. Найдем производную. 1. Фиксируем значение,е аргумента функции и выписываем исходное значение функции ! (х) = х' . 2. В точке х аргументу придаем приращение Ьх ф О и выписываем новое значение функции ! (х + Ьх) = (х + Ьх) . 7.1.
Зависимость меаюду диффереицируемостью и иеирерив««остью ... 111 3. Вычисляем приращение функции; Ьу = д (х+ Ьх) — 7 (х) = (х+ 11х)г — х = х'+ 3 гь. + 3 (Ь )г+ (Лх)г хо Ьх (3 хг + Зх Ьх + (Ьх)'). Ьу 1~у 4. Составляем отношение: = Зхг+ ЗхЬх+ (о«х) . Ьх С«х 5. Находим предел этого отношения при Ьх — «О: у' = 1пп = 1нп (3хг+ЗхЬх+ (Ьх) ) = Зхг. 11у е«е — «О с1х Е«е — «О Таким образом, получаем ( з)' 3 г Эта схема нахождения производной полезна для начального обучения. По мере ее усвоения необходимость в подробных записях пропадаст. Поэтому в дальнейшем при нахождении производной будем придерживаться этой последовательности, но не будем расписывать ее так подробно.
7.4. Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции Напомним одно из определений непрерывности. Функция называется непрерывной в точке, сели в этой точке 1пп Ьу = а -«о = О. Между понятиями непрерывности и дифференцирусмости (существованием конечной производной) имеется простая связь. Теорема. Если функция Унфференцнруема в некоторой точке, то в этой точке функция непрерывна. П Пусть функция дифференцируема. Тогда существует ко- Ьу нечный предел 11п« = у . Отсюда а*-«о Ьх 1пп «эу = 1пп ~ — ' Ьх) = !нп — 11п«сэх = у О = О.
с~у '1 . 1~у а -«о ' а*-«о («Ьх ) а*-«о Ьх а*-«о Следовательно., функция у = 1 (х) непрерывна в точке х. ° Заметим, что обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не иметь производной. Простейшим примером непрерывной функции, не имеющей производной в одной точке, является функция у = !х~. Эта функция непрерывна при х = О, но не является дифференцируемой 112 !'л. 7. !!роизеодная для этого значения, так как в точке >в = 0 график функции имеет излом, и там не существует касательной. Таким образом, непрерывность функции необходимое., по не достаточное условие дифференцируемости функции.
Вейерштрассу удалось построить пример функции, недифференцируомой ни в одной точке. Впоследствии подобные примеры были найдены другими математиками. Построить такие функции нелегко, и их почти невозможно наглядно изобразить с помощью графика. Впервые отчетливое различие между понятиями непрерывности и дифференцируемости функции было дано Н. И. Лобачев- ским. ЛОВАЧЕВСКИЙ Николай Иванович ~1792 — 1856) — рогсийгкий матемагик. Родился в Нижнем Новгороде в семье бедного чиновника. !!очти всю свою жизнь провел в Казани.
Деятслыюсть Лобачевского в качестве ректора университета положила начало процветанию и славе Казанского университета. Он создал так называемую неевклидову геометрию, известную под иазвани>>м геометрии Лобачевского, явившуюся поворотным пунктом в развитии математического мышления Х!Х вака. Лобачевский не побоялся новизны и необычности открытия, ломающего многовековые научные традиции, и опубликовал свои воззрения в России. Сочинения Лобачевского»очти никем в то время поня>ь> не были и подверглись резкой критике. Лишь немецкий ученый Гаусс, хогя и не высквзьшнясь вне гати, высоко оцгнил труды Лобачевского и по его представлению Лобаческий был избран в 1842 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
