Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Ов автор работ о полото снарядов, взаимодеиствии магнитов, центре качания,перспективен др. К концу жизни занимался вопросами философии. Подставляя в выражение (8.7) а = О, получаем частный случай ряда Тейлора для многочленов: ~(х) = ~(0)+ — х+ х2+ ... + х". (8.8) 1! 2! п! '7 Пример 1 (бином Ньютона). Разложить функцию 1(х) = (а + х)ю в ряд Тейлора. Решение. Согласно (8.8) имеем: ( + )гп у(0)+ 1( ) + зп(о) 2+ + з (0) кч 1! 2! т! Последовательно дифференцируя 1 (х) = (а + х)"', находим; 1(х) = (а+х)"", !! !(х) = т(т — 1)...(т — (Й вЂ” 1))(а+х)гп 2 (О) = и, ~1~!(О) = тп (т, — 1) ... (т — (й — 1)) а где и = 1, 2, ..., т.

8..9. Формула Тейлора 137 Откуда вытекает биномиальная формула Ньютона., (ее называют также биномом Ньютона). В частности, при а = 1 получаем: (1+ х)™ = 1+ т х+, х + ... + х"', (1+ х) = 1+ 7х+ 21х~+ 35х~+ 35х4+ 21хв+ 7хв+ хт, Формулу Тейлора можно распространить па функции, не являющиеся многочленами. Можно доказать следующую теорему. Теорема. Если функция Т" (х) имеет в интервале (а, 6) производные до п-го порядка включитаельно, тпо Р 1(х) = Т(а)+, (х — а)+,, (х — а)х + ...+ + (х — а)п 1+ (х — а)", (8.9) (и — 1)! и! где а < с < 6. Это формула Тейлора для произвольной функции. Она отличается от формулы Тейлора для многочленов (8.7) только последним слагаемым.

При разложении многочлена в последнем слагаемом имеет место (цтй(а), а при разложении произвольной функции имеет место ~Ой(с). Это последнее слагаемое в разложении произвольной функции называют остатком ряда. Если в формуле (8.9) принять а = О, то получаем следующую часто используемую формулу: где О < с < 6. х е Х. Формула Тейлора имеет важное значение для многих задач математического анализа.

Так, сложные функции посредством этой формулы можно с болыпой точностью заменить многочленом, т. е. более простой функцией. Кроме того, эта формула позволяют рассчитать приблизительные значения функций. 4 и. 8. Оеповные теоремы о производных 133 Ч Пример 2.

С помон!ью формулы Тейлора разложить функцию е* в степенной ряд. Решение. Поскольку 1(х) = е*, 1'(х) = е, ..., 1!" ~!(х) = е*, д"('0(х) = е ', ,) (О) = 1, д (О) = 1, ..., д (~ ~)(0) = 1, 1!"!(с) = е"', то разложение функции 1(х) = е* в ряд Тейлора имеет следую- щий вид: е~ = 1+ — х+ — х + ... + х1п 1+ — х". 1 1 2 1 Еп Ы Е' !! 2! (п — 1)! и! Примем без доказательства, что е ,п — х 40 и! при и -+ оо. Тогда с*=1+ — х+ — хз+...+ х!п П+.... а 1! 2! (и — 1)! Задача.

1'азложить в степенной ряд функции: в!и х, сов х, !и (1+ х), (1+ х)'". Ответ: ,2п-4 в!и х = х — — + — + ... + + ... ( — оо < х < оо), 3! 5! (2п — 1)! 2 4 ( 1)п,зп сов х = 1 — —, + — — ... +, + 2! 4! (ги )1 ( — оо < х < оо), 2 3 ( 1)п знее 1п(1+ х) = х — — + — — ... + + ... ( — 1 < х < 1), 2 3 и+1 (1+ х)'и = 1+ т х+ ...

+ хп + ... и! ( — 1<х<1). Последний ряд называется биномиалъным. Если т целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона. Действительно, гп — и + 1 = 0 при и = па+ 1. Аналогично можно получить разложения в степенные ряды многих других функций.

Поэтому и-й член ряда и все последующие равны нулю, т, е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма. Замечание. Основываясь на своем ограниченном опыте, математики ХЪ'111 века не сомневались в том, что всякая непрерывная функция разлагается в бесконечный ряд Тейлора. Лишь позже в Х1Х веке Коши дал первый пример функции, которая хотя и является непрерывной и обладает в точке х = а всеми производными, но не разлагается в ряд по степеням (х — а). Эта функция задается формулой ~(х) = е ~~* при добавочном условии ~(О) = = О (при х = О формула теряет смысл).

Функция 1(х) имеет в точке х = О производные любого порядка. Все они равны нулю в этой точке, так что ряд Тейлора тождественно равен нулю. Однако ~(х) нигде, кроме точки т = О., нс обрагцастся в нуль. Коши показал также, что функция разлагается в ряд Тейлора только в том случае, если остаток ряда стремится к пулю при п — + оо, в противном случае не разлагается. Следует помнить, что в каком-то смысле высшая математика проще элементарной.

Исследовать, например, лесную чащу пешком очень трудно, с самолета это делается проще. У. Сойер (английский математик и педагог) Глава 9 Исследование функций 9.1. Признаки монотонности функции Теорема 1 (необходимое и достаточное условие постоянства функции). Дифференцируемая на промежутке Х функиия у = «(х) поствтига тогда и только тогда,, когда «'(х) = О для всех х е Х.

(э Необходимое условие постоянства функции (если функция постоянна на некотором промежутке, то ес производная равна нулю) следует из формулы с' = О. Достаточное условие постоянства функции (егли производная равна нулю в каждой точке некоторого промежутка, то функция есть тождественная постоянная на этом промежутке) есть следствие 1 из теоремы Лагранжа, которое уже было ранее доказано (см. с. 129). ° Теорема 2 (достаточное условие строгой монотонности функции).

Если в промежутке Х производная функции положительна, тв функция возрв,стает в этом промежутке; если производная впгрицштельна, гпв функция строго убывает в соответствующем првмеэкутке. П Пусть х1 и хэ принадлежат промежутку, .в котором «'(х) > > О; будем считать, что х1 ( хэ. По теореме Лагранжа «(ха) — «(х1) = «'(с) (ха — х1), (9.1) Где х1 С с С хг ° Поскольку «'(с) > О, то разности «(ха) — «(х1) и (ха — х1) одного знака, причем хэ — х1 > О, поэтому «(ха) — «(х1) > О. уп.

!!ри»ваки моиотонностпи функции д'=13о > 0 у'=Сио < 0 Рис. 9.1. Достаточное условие строгой монотонности функции Следовательно, из неравенства х1 < хг следует неравенство )(х1) < ~(хз), т. е. функция строго возрастает в промежутке, где 1~(х) > О. Если 1"'(х) < 0 для всех х из данного промежутка, то )'(с) < < О. Из этого неравенства и (9.1) следует, что ~(хв) — 1'(х1) < 0 при хз — х1 > О, т.

е. )'(х1) > ~(хз), когда х1 < хз. Это означает, что функция строго убывает в данном промежутке. ° Геометрический смысл теоремы. Если в некотором промежутке касательная к графику функции у = ~(х) образует с осью Ох острый угол а (13 а > 0), то функция строго возрастает в этом промежутке. Если касательная к графику функции 9 = = Г'(х) образует с осью Ох тупой угол о (13 о < 0), то функция строго убывает (рис. 9.1). Из теорем 1 и 2 следует достаточное условие «нестрогой» монотонности: если в промежутке Х производная функции неотрицательна, то функция возрастает на этом промежутке; если производная неположительна, то функция убывает в соответствующем промежутке. Ч Пример 1.

Найти промежутки строгого возрастания и строгого убывания функции г'(х) = хз — 3 х. Решение. Находим производную функции ~'(х) = 3 х' — 3 = 3 (х+ 1) (х — 1). Если х < — 1 и х > 1, то ~'(х) > 0; функция строго возрастает в интервалах ( — оо, — 1), (1, +со). Если — 1 < х < 1, то ~'(х) < 0; функция строго убывает в интервале ( — 1, 1).

А 142 рл. 9. Исследование функций д~(0) = сю у'(0) не существует Рис. 9.2. Возрастающие функции Ч Пример 2. На рис. 9.2 изображены три функции: 1) !(х) = х; 2) д(х) = х; 3) Р(х) = Эти функции непрерывны везде. При х ф 0 их производные существуют и положительны; в то время как ! ~(0) = 0 (касательная горизонтальна), д~(0) = оо (касательная вертикальна), ~р~(0) не существует (касательной нет).

Однако все три функции строго возрастают яри всех х. Тем самым установлено, что неравенство !"'(х) > 0 является достаточным, но пе необходимым условием строгого возрастания функции д(х). А Для дифференцируемой функции (т. е. для функции, у которой существует конечная производная) можно сформулировать необходимое условие строгой монотонности: Если дифференцируемал функция строго возрастает (строго убывает) на некотором промежутке Х, то ее производнал неотрицательна (неположипеельна) на этаом промежутке: д~(х) > 0 (! '(х) < 0), х б Х. Таким образом, в отдельных точках производная строго монотонной дифференцируемой функции может равняться нулю. Заметим, что необходимое условие «нестрогой» монотонности формулируется так же как и необходимое условие строгой монотонности. 9.2.

Экстремум функции Говорят, что функция 1(х) имеет в точке хв строгий локальный миксимум (минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (хв — б, хв + Б), содержащейся на промежутке, 143 где задана функция, что для всех ее точек х выполняется сгрогое неравенство ~(х) < 1"(хв) (или 1'(х) ) 1"(хо)). Иными словами, точка хо доставляет функции ((х) строгий локальный максимум (минимум), если значение Г(ха) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки.

Отметим, что само определение строгого локального максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки хо. Если существует такая окрестность, в пределах которой (при х = хв) выполняется нестрогое неравенство у(х) < у(хв) (или ге(х) )~ ге(еа)), то говорят, что функция имеет в точке хо нестрогий локальный максимум (минимум). По-латыни слова тахппит и т»н«тит означают «наибольшее» и «наименьшее» (значение). Если функция имеет строгие локальные максимумы в точках хв и х1, то наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке хг между хо и х1 и имеет там строгий локальный минимум. Аналогично между двумя строгими локальными минимумами непременно найдется строгий локальный максимум.

В том простейшем (и на практике-- важнейшем) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число строгих локальных максимумов и минимумов, они попросту чередуются. На графике функции (как, например, на графике функции в|их, О < х < бк) им соответствуют характерные горбы и впадины. Наличие локального экстремума функции при некотором значении аргумента нисколько пе зависит от того, как ведет себя функция вдали от этого значения.

Характеристики

Список файлов книги