Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Значит., кроме двух найденных точек, других критических точек нет. При переходе через точку х = — 1 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х = 1 с минуса на плюс. Следовательно, в точке х = — 1 функция имеет строгий локальный максимум, а в точке х = 1 -- строгий локальный минимум. А При разыскании экстремумов исследование знака производной вблизи испытуемой точки можно заменить исследованием знака второй производной в самой точке.
На этом основано второе правило. Теорема 2 (второе правило). Если функция у = у"(х) дваглсды ссепрерывссо дифференцируема в пскопсорой окрестноспги точксс хв и У'( о) = О, Уо(хо) Ф О, тпо в этой точке 1(х) имеет строгий локальный экстпремум; а имвтсо: если 1' (хв) > О, то 1(хе) строгийс локальный минимум функции у (х)., и если )'о(хв) < О, псо у'(хв) строгий локальный максимум функции 1 (х) . сэ ПУсть 1'(хв) = О. ДопУстим, что 1"(хв) > О. Это означает, что в окрестности критической точки хв производная 1'(х) строго возрастает. Но 1'(хв) = О, поэтому 1'(х) < О при х < хв, а при х > хо имеем сн(х) > О.
Производная ~'(х) меняет знак с минуса на плксс. Следовательно, ереси в критической точке (о(хе) > > О, то функция имеет строгий минимум. Если г" о(хв) < О, то это означает, что в окрестности критической точки хв производная 1'(х) строго убывает. Но )'(хв) = О, поэтому ус(х) > О при х < хе., у'(х) < О при х > хо. Производная 1'(х) меняет знак с плсоса на минус. Значит, если в критической точке 1о(хе) < О, то функция имеет строгий максимум.
° Таким образом, второе правило для испытания «подозрительного» значения хв состоит в следующем: подставляем хв во вторую производную 1в(х); если 1о(хв) > О, то функция имеет минимум, если же ув(хв) < О, то максимум. На рис. 9.6 ) изображены «личики», которые помогут запомнить второе правило. Два знака (глаза) личика напоминают, что второе исходит из знака второй, а не первой производной. Конфигурация рта, ) Рисунок Заимствован иэ книги (38). Рл. 9. Исследование функций !йо !'о(хв) > О У (хо)<О Рис.
9.6. Экстремум функции в стационарной точке хо характеризующая улыбку или грусгь, означает минимум или максимум функции в стационарной точке. Первое личико это «рисунок» первого утверждения правила. Если глаза личика блестят (+ +), то оно улыбается. Значит, если знак второй производной плюс, то стационарная точка является точкой строгого локального минимума. Вторая рожица это «рисунок» второго утверждения теоремы. Если глаза личика не блестят ( — — ), то оно грустит. Значит, если знак второй производной минус, то стационарная точка является точкой строго локального максимума. 7 Пример 3.
Используя второе правило, исследовать критическую точку х = О для функций из примера 1 на экстремум. Решение. Для первой функции из этого примера имеем: у = = хз, у' = 2х, уи = 2 > О. Следовательно, в точке х = О строгий локальный минимум. Для второй и третьей функций критическая точка х = О не является стационарной, поскольку производные в нуле не равны нулю. Таким образом, второе правило не применимо для второй и третьей функций из примера 1. Для четвертой функции точка х = О является стационарной, однако вторая производная в ней обращается в нуль, что не позволят применить второе правило для исследования этой функции на экстремум.
А Таким образом, второе правило имеет, вообще говоря, более узкий круг применения, чем первое; оно, .например, явно неприложимо к тем точкам, где не существует конечной производной (ибо там и речи быть не может о второй). В тех случаях, когда вторая производная обращается в пуль, правило также ничего не дает. .9.Э. Разыскание оптимальных значений функций 151 0.4. Разыскание оптимальных значений функций До сих пор мы интересовались лишь локальными максимумами и минимумами функции, теперь же поставим вопрос о разыскании глобального экстремума, т. е.
наибольшего или наименьшего из всех значений, которые она принимает промежутке Х. В прикладных задачах чаще всего встречается простой случай, когда в промежутке Х оказывается лишь одна критическая точка хв. Если в этой точке функция имеет локальный максимум (минимум), то ясно, что это и будет наибольшее (наименьшее) значение функции в промежутке. Причем, сказанное приложимо в полной мере к любому промежутку Х (к замкнутому, открытому, или же бесконечному). На этих рассуждениях основано правило.
Первое правило разыскания наибольшего или наименьшего значения: Пусть в промежутке Х оказывается лишь одна крипгаческая точка тв. Если в эпеой точке функция имеет локальный максимум (минимум)., то этв и будет наибольшее (наименьзаее) эпачение функции в промежутке. Особенно часто этот случай встречается в прикладных задачах на экономию. Вот простейший пример такого рода. к Пример 1. 'Гребуется огородить забором участок прямоугольной формы площадью 100 кв. м. В зависимости от размеров участка расходы материала при строительстве такого забора будут различны.
Действительно, сравним общие длины (периметры) ограждений двух участков схематически изображенных на рис. 9.7. 1м 100 м 20 м Рис. 9.7. Две ограды с площадью 100 кв. м Длина первого прямоугольного участка равна 100 м, а ширина равна 1 м. Поэтому периметр первой ограды равен 2 100+ 21 = 202 (м). Гл. 9.
Исследование функций 152 Периметр второго участка равен 2. 20+ 2 5 = 50 (м). Как видим, периметр первой ограды более чем в 4 раза болыпе периметра второй ограды, хотя площади соответствующих участков одинаковы (100 кв. м). Отсюда следует, что материала на сооружение первого забора требуется гораз- о до больше, чем на сооружение второго, и 10 м поэтому проект второй ограды намного экономичнее первой. 10 м Возникает вопрос: не существует ли еще более экономичного проекта? Методом проб Рис.
9.8. Наиболее можно найти такую ограду —. забор, оголи с площадью раживакнций квадратный участок со сторо- 100 кв. и нами 10 м (рис. 9.8). Однако как доказать, что более экономичного проекта среди прямоугольников не существует? Доказать это можно только хорошо зная правила отыскания экстремума. Поставим и решим поставленную задачу в общем виде. Задача. Найти наименыпую величину периметра Р с данной площадью Я. Решение. Обозначим стороны прямоугольника через х, у. По условию ху = Я (9.2) (х и д положительные величины).
Требуется найти наименьшее значение величины (9.2) Р = 2(х+у). Примем за аргумент х. Выразим переменную 9 через х из (9.2) и подставим в (9.3). Получим Р = Р(х) = 2 х+ — ) (х > О). ху Находим производную Р(х) =2 1 — —, (9.4) Производная при всех х Е (О, +со) существует и принимает конечные значения. Поэтому критические точки могут быть только 9.4. Разыакание оптимальных значений функций 153 Я '1 среди стационарных. Приравняв выражение 2 1 — —,( нулю, ,а/ находим х = 1/У. Используя первое правило отыскания экстремума, покажем, что точка х = ъ~У является точкой минимума.
Из (9.4) видно, что при О < х < т/У производная Р'(х) отрицательна, а при х > > т/У положительна. Значит, имеем минимум. Будучи единственным, он является наименьшим значением периметра: Рпани(х) = 2 ъ У + — = 4 Л', т. е. из осех прямоугольников с данной площадью У наименьший периметр имеет коадрагп (х = т/У, .у = т/Ь ) . А Таким образом, доказано, что из всех прямоугольников с данной площадью Я наименьшим периметром обладает квадрат. Однако, не следует думать, что из всех прямоугольников квадрат всегда будет оптимальной фигурой. Все зависит от постановки задачи. Ниже рассмотрен пример, показывающий, что оптимальной фигурой может оказаться вовсе не квадрат.
1? Пример 2. Требуется оградить забором прямоугольный участок земли площадью 294 кв. м и затем разделить его на две равные части перегородкой. Каковы должны быть размеры участка, чтобы на постройку забора и перегородки было истрачено наименьшее количество материала? Решение.
Будем решать задачу сразу в общем виде без рассмотрения предварительных проектов. Обозначим ширину прямоугольного участка через х, а длину через у. Из условий задачи следует, что х Е (О, .+со) (сторона прямоугольника неотрицательна). Поскольку площадь участка равна 294 кв. м, то х у = Я = 294. Отсюда получаем, что у = 294/х, а общая длина Р всей ограды равна Р(х) = Зх+ 2у = Зх+ 2 294/х. Таким образом, длина всей ограды представляет собой функцию от одной переменной х, и задача сводится к нахождению наименьшего значения этой функции в интервале (О, +со). Каково же наименьшее значение функции? Если в открытом интервале имеется лишь одна критическая точка, которая !'л. 9.
Иееледавание функций 154 является точкой локального минимума, то именно она и будет наименьшим значением функции в рассматриваемом интервале. Проверим, имеет ли функция Р(х) критические точки в интервале (О, +со). Для нахождения критических точек следует предварительно найти производную функции. Найдем ее. Р'(х) = (3 х + 2 294/х)' = 3 — 2 294х ~ = (3 х — 588)/х . В интервале (О, +ею) выражение (Зх~ — 588)/х~ всегда имеет смысл, значит., для функции Р(х) нет точек, в которых ее производная бесконечна или не существует.
Проверим, не обращается ли где-нибудь производная Р'(х) в нуль. Для этого приравняем выражение (3 хз — 588)/т, к нулю. Дробь равна нули>, когда ее числитель обращается в нуль. Поэтому 3 хз — 588 = О. Последнее уравнение имеет два решения х = — !4 и х = 14. Значение х = = — 14 не входит в рассматриваемый интервал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
