Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Опо возникает, например, в математическом программировании. Здесь пе может быть использовано наше определение, использующее понятие касательной (касательной в этом случае может и не быть). Поэтому пользуются другим определением, основанном на понятии хорды. График функции (или сама функция) называется выпуклым 1выпуклой) вниз, если каждая дуга кривой лежит не выше своей хорды.
График функции (илн сама функция) называется выпуклым (выпуклой) вверх, если каждая дуга кривой лежит не ниже своей хорды. В случае дифференцируемых функций определения, основанные на понятиях касательной и хорды, совпадают. 0.6. Асимнтоты графика функции В предыдущих параграфах мы изучали характерные точки. Теперь рассмотрим характерные линии. именуемыми асимптотами. 9.6. А си»нипаты графика функции б, вертикальная Рис. 9.17.
Аснмптоты а, горизонтальная е,наклонпая А НОЛЛ«ЗНИЙ Пер гскп й 1около 260 — 170 до п.з.) — древнегреческий математик. Его труд «Конические сечения» 1в 8 книгах) оказал огромное влияние на развитие астрономии, механики и оптики. Аполлоний ввел понятия и термины: гипербола», «парабола», «зллипс», «фокус», «асимптота». Вспомним как выглядит знакомый нам график функции у = 1 = —.
Нетрудно заметить, что при удалении точки этого графика вправо от начала координат расстояние от нее до прямой у = О (оси Ох) стремится к нулю (рис. 9.17, а). В этом случае говорят, что кривая у = 1/х имеет горизонтальную асимптотд д = О. При удалении точки графика вверх от начала координат расстояние от нее до прямой х = О (оси Оу) также стремится к пулю (рис. 9.17, б).
Говорят, что прямая х = О является вертикальной асимптотой. График функции может иметь также и наклонную асимптотпд. Таков, например, график функции д = х + 1/х. При удалении точки графика от начала координат расстояние до прямой у = х неуклонно сокращается (рис. 9.17, и). Термин асимптота введен древнегреческим ученым Аполлонием Пергским при изучении гиперболы и происходит от греческого слова «асимтотос», означающего «несовпадающий». Пусть это слово не вводит вас в заблуждение.
Асимптоты гиперболы действительно не пересекают график функции (т. е, являются в некотором смысле «несовпадающими»). Однако, согласно современным представлениям об асимптоте, кривая может пересекать свою асимптогу (например., график затухающих колебаний, изображенный на рис.
9.18). Рл. 9. Исследование функций Рис. 9.18. Асимптота — ось Ох Определение. Асилеототой графика функции у = ~(х) называется прямая, .обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, д (х)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные. Вертикальные асимптоты. График функции у = д (х) при х э о имеет вертикальную асимптоту, если при этом точка х = о есть точка разрыва.
Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид (рис. 9А9). Рнс. 9.19. Вертикальные асимптоты 9.6. Асилаппогпы графика функции Вертикальные асимптоты х = а следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения, если концы не равны ~со. Горизонтальные асимптоты.
График функции у = 11х) при т, + +со или х — ~ — сс имеет горизонтальную асимптоту, если существует и конечен хотя бы один из пределов: Если конечен предел Ьп, то говорят, что существует левостороннлл горизонтальная асимптота у = 6„. Если конечен предел 6„, то говорят о существовании нрааосторонней аеимптоты у = Ьп (рис. 9.20).
правосторонняя левосторонняя Рис. 9.20. Горизонтальные асимптоты В случае, когда конечные пределы 6, и Ь„совпадают: 6 = 6„, говорят, что график функции у = Г" (х) имеет двустороннюю горизонтальную асимптоту у = Ь. Примеры двусторонних горизонтальных асимптот приведены на рис. 9.21. В том случае, если 1пп 1(х) = сс, х-пропп график функции не имеет горизонтальных асимптот, но может иметь наклонные.
рл. 9. Исследование функций у = х /(1+ хз) у=х/(1+х ) Рис. 9.21. Двусторонние горизонтальные асимптоты Наклонные асимптоты. Наклонной асимптотой графика функции у = !'(х) называется ее асимптота, задаваемая урав- пением Наклонная асимптота, так же, как и горизонтальная. может быть правосторонней, .левосторонней и двусторонней. Теорема. Пусть функция у = /(х) определена при достаточно болыиих х и существуют конечные пределы Тогда прямая у = к„х + Ь„яоляеггеся правосторонней поклонной асимптотой. П Если у = Ьп х + Ьп - — наклонная асимптота, то справедливо равенство (! (х) (йп х + Ьп)) — 9 (9.8) и, тем более, 1пп — к„— —" = О.
Поэтому кп хх 11п! /( ) х — >-~-со Х Теперь из равенства (9.8), учитывая, что й -- конечное число, получаем: Ьп — 1нп (У (х) к х) ° ° х — ее-сс у.гг. Асимгггпоты графика функции Аналогично можно показать, что параметры 6л и 6л в уравнении левосторонней наклонной асимптоты у = йл х + 6, определяются по формулам: На рис. 9.22 изображены наклонные асимптоты. д = х~/(х — 1) д = х/(х — 1) Рис. 9.22. Графики функций и их асими готы Замечание..
Если хотя бы один из пределов Й„= !пп /(х) х — г — оо х 6„= !пп (/(х) — й х) бесконечен, то правосторонней наклонной асимптоты график функции у = /(х) не имеет. Аналогично, если йл = оо или 6л = оо, то левосторонней наклонной асимптоты не существует. Если йгг = 6„= к, 6, = 6п = 6 и эти числа конечны, то график функции имеет двустороннюю асимптоту у = гг х + 6. На рис. 9.22 изображена двусторонняя наклонная асимптотад = х+1. При отыскании асимптот следует отдельно рассматривать случаи т, — г и — О и х + а + О, а также х -+ +ос и х + — оо. !'л. 9.
Исследование функций 170 Горизонтальную асимптоту можно рассматривать как частный случай наклонной асимптоты при а: = О. Поэтому при отыскании асимптот рассматривак1т лишь два случая: 1) вертикальные асимптоты; 2) наклонные асимптоты.
Схема отыскания аснмнтот: 1) для отыскания вертикальных асимптот выписывают все точки разрыва функции и конечные числа на границе области определения функции. Если таких точек нет, то нет и вертикальных асимптот. Если такая точка х = и имеется, то вычисляют пределы: 1пп д" (х) и а — ~а — 0 !пп 1(х). а — ва-ЬО Если хотя бы один из этих пределов существует и бесконечен, то х = а вертикальная асимптота. Если оба предела не существуют илн конечны, то х = а не является аснмптотой.
2) для отыскания правосторонней наклонной (горизонтальной) асимптоты вычисляют пределы: Й„= 1пп йх) к-э-~-сю 6„= 11ш (11х) — Й х) . к — >-Ьсо Ч Пример 1. Найти асимптоты кривых: а)у= б)у= в)у= ~Р+1 Решение. а) 1) Найдем вертикальные асимптоты графика функции у = !если опи существуют). Их следует искать среди точек х — 1 разрыва функции или на границе ее области определения. Так как функция определена на всей числовой оси за исключением Если оба предела существуют и конечны, то прямая у = йа х + 6а является правосторонней наклонной асимптотой !правосторонней горизонтальной асимптотой, если к = О).
В противном случае правосторонних наклонных и горизонтальных асимптот не существует. Левосторопние наклонные !горизонтальные) асимптоты находятся аналогично. 9.0. Асиигвиоты графика функции 171 точки х = 1, то вертикальной аснмптотой может оказаться только прямая х = 1. Проверим., является лн прямая х = 1 аснмптотой. Для этого вычислим соответствующие пределы; х ( 1 ) х ( 1 ) )нп = ( — ) =-, 1ин = ( — ) =+ х-г1-0 х — 1 1, — О/ ' х-гН-0 х — 1 1,+О/ Следовательно, кривая имеет вертикальную асимптоту х = 1.
2) Найдем наклонные и горизонтальные асимптоты (если опи есть). Для этого вычислим соответствующие пределы: йи = !нп = !пп /(х), х, 1 1пп = — =О: и — — ( ) — 1 (+ х . х — 1+1 6„= !пп (/(х) — й„х) = !нп = !1п1 х-гтоо х-гз-оо х — 1 х — «-с х — 1 !пп 1+ =1; й = 1пп = 1нп = 1пп = = О; /(х) . х .
1 ( 1 х — ~ — оо У, х — > — оо Х (Х вЂ” 1) х — г — оо Х вЂ” 1 (,— СС/ 6„, = 1пп (/(х) — 1ол х) = !пп = 11п1 1 !пп 1+ =1, х — > — оо 1 х — 1/ т. е. у = 1 (д = О .,х + 1) -- двусторонняя горизонтальная асим- птота. Других асимптот нет. б) 1) Функция определена при всех действительных х, кроме х = 1. Проверим, является ли прямая х = 1 вертикальной асимптотой. Найдем пределы: х (! * -('1- !пп = — = — со, !нп = — = +ос. х — >1 — 0 х — 1 1, — О/ х — г1+О х. — 1 1,+О/ Следовательно, имеется единственная вертикальная асимптота х = 1. 2) Найдем наклонные и горизонтальные асимптоты (если онн есть). Для этого вычислим соответствующие пределы: Й„= 11п1 — = !пи = 1пп /( ) 2 =1; х — г~-оо х х-«-оо х (х — 1) х-«-оо 1 — 1/х рл.
9. Исследование функций 172 у .2 1|п1 (У(х) — й„х) = 1ии ~ — 1 х х-о-~-ОО х — х +х !ип =1; хо+со х — 1 йл = 1пп — = 1!ш = !ип у() 2 =1: х — е — оо х хо — оо х (х — 1) хо — ос 1 — 1/х 2 Ьл = (ин (1(х) — йл х) = (пп 1 — 1 х х х + х 11п1 = 1. х-~-со х — 1 И гак, йа = йс, = й = 1 и 6„= 6л = Ь = 1, следовательно, график функции имеет наклонную асимптоту у = х + 1. в) 1) Функция д = имеет смысл ири всех х Е !к, ь/Р+ 1 поэтому ее график не имеет вертикальных асимптот. 2) Найдем наклонные и горизонтальные асимитоты: й„= 1ип = !ип = !ип = О; 1(х) . х . 1 хо+со х х — ~+ос /ха ! 1 х-о-ьоо Г 2 ! 1 Ь„= 1ип (1(х) — й„х) = 11п1 ' — О х х-е-~-оо х — >-есо ! /ха ! 1 1 !ип =1; х — >+ос /1 ц 1(х й = 1ип — = !пп = О: йх) х-с — со х х — ) — оо х ЬДа 6и = 11п1 ®х) — йи х) = !ип — О х Замена х = — х — х — 1 1ип 11ш = — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
