Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Поэтому в интервале (О, +ос) у функции Р(х) имеется лишь одна критическая точка х = 14. Проверим является ли эта критическая точка точкой минимума. Значение х = 14 входит в рассматриваемый интервал и разбивает его на два интервала (О, 14) и (14, +ос), в которых производная не меняет знак. Поэтому, выбирая в каждом из полученных интервалов произвольную точку, определяем знак производной в них.
В первом интервале производная оказывается отрицательной (в этом интервале функция строго убывает), а во втором интервале производная положительна (здесь функция строго возрастает). Так как при переходе через точку х = 14 производная меняет знак с минуса ва плюс, то, согласно первому правилу отыскания экстремума, функция имеет в этой точке строгий локальный минимум. Отсюда следует, что в точке х = 14 достигается наименьшее значение функции Р(х) в интервале (О,+ос). Практически же это означает, что 14 м наименьшее количество матеРиала на ограду участка будет истрачено при ширине забора 14 м.
Найдем длину 21 м участка, когда ширина равна 14 м: (м). у = 294/х = 294/14 = 21 Рис.9.9. Ограда с пере- городкой Таким образом, размеры ограды должны быть 21 х 14. Именно при таких размерах участка расходы строительного материала будут наименьшими. Общая ,9.4. Разыскание оптимальных значений функций 1оа Я = х у = х, х = ъ'294 = 17,146, Р = 2 х + 3 у 5 17,146 = 85,73, т. е. общая длина ограды в этом случае больше 84 м. Для случая двух квадратов имеем: 9 = х у = 2х2, х = ~/294/2 - 12,124, у=2х, Р = 2 х + 3 у — 8. 12,124 = 96,992.
Общая длина ограды в этом случае еще больше. а Задача 1. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью о' м и затем разделить его на и частей п — 1 перегородками, параллельными меньшей стороне участка. Каковы должны быть размеры участка (ширина х и длина у), чтобы на постройку забора и перегородок было израсходовано наименьшее количество материала. з'казание. Площадь Я равна х у, откуда у = Я/и. Подставляя это выражение для у в формулу вычисления периметра (общей длины ограды с перегородками) Р = (и + 1) х + 2 у, получим Р(х) = (и+1) х+28?х. Ответ: Наименьшее значение в интервале (О, +ос) эта функе ' ° «'*= 'езц .е1) Рассмотренные выше примеры представляют задачи на нахождение наименьшего значения.
Ниже рассматривается прикладная задача на отыскание наибольпюго значения. '7 Пример 3 (Задача Дидоны). Из имеющихся досок можно сделать забор длиной 1. Как этим забором огородить прямоугольный двор наиболыней площади, используя в качестве одной стороны стену прилегающего здания (рис. 9.10)? длина оптимальной (наиболес экономичной) ограды равна 2 21+ 3 14 = 42+ 42 = 84 (м). Заметим, что ограды, огораживающие квадратный участок, или же участок, составленный из двух квадратов, не являются оптимальными. Действительно, в случае квадрата имеем; !'л. 9.
Иееледавание функций 156 ! — 2х Рис. 9.10. Задача Дидоны Решение. Пусть две стороны забора имеют длину х (О < < х < !/2); тогда третья сторона имеет длину ! — 2х. Площадь двора Я(х) = (! — 2 х) х = — 2 хе + ! х, откуда У(х) = = — 4х + !. Функция би(х) существует и конечна для всех х из интервала (О, !/2).
Поэтому единственной критической точкой в интервале (О, !/2) является точка х = !/4, в которой У(х) обращается в нуль. Проверим является ли эта критическая точка точкой локального экстремума. Воспользуемся вторым правилом отыскания экстремума: У'(х) = — 4 < О. Вторая производная отрицательна (лицо грустит). Так что при х = 1/4 функция Я(х) имеет локальный максимум, который и является наибольшим значением функции Я(х) в интервале (О, !/2). Рассмотренный пример является одним из вариантов так называемой задачи Дидоны. По преданию, мифическая основательница го1юда Карфагена в Северной Африке финикийская царица Дидона в ответ на обращенную к вождю прибрежного племени просьбу о выделении ей территории для постройки города получила издевательское согласие уступить участок земли «в пределах бычьей шкурыу.
Однако хитрая Дидона не просто покрыла шкурой крошечную часть побережья, как рассчитывали аборигены, а разрезав шкуру на тонкие ремни, отгородила этими ремнями довольно большой участок, который удалось сделать еще большим, воспользовавшись берегом моря. н Итак, если функция внутри отрезка (и, 6) имеет один максимум (минимум), то это и есть наибольшее (наименьшее) ее значение при х Е (а, 6). В следующем разделе, посвященном приложениям в социально-экономической сфере приводятся другие примеры и задачи на первое правило отыскания экстремума. Если же функция не имеет экстремума внутри отрезка, как, например, линейная функция, то наибольшее (наименьшее) ее значение будет в граничных точках. 9.1'.
Разыскание анк~ииальных значений фу ° киий 157 Рис. 9.11. Г!арадокс Декарта Фермй, .нашедший необходимый признак экстремума., сообщил его в 1838 году без доказательства Декарту. Последний испробовал правило Фермй на нижеследующем примере и пришел к ошибочному выводу, что признак неверен. '7 Пример 4 !парадокс Декарта). Найти на окружности х+у =г [9.5) точку, ближайшую к точке А( — а, 0), а > 0 (рис. (9.11).
Решение. Если М[х, д) .— произвольная точка окружности, то ]АМ]~ = (х + а) + (9 — 0) ., или в силу (9.5) ]АМ[~ = (х+ а) + г~ — х~ = 2 ох+ а + г~. Для разыскания минимума величины ]АМ]~ Декарт составил уравнение, которое теперь мы пишем так: (2 ах+ а + г~)' = О. Декарт нашел отсюда 2 а = 0 и посчитал, что это приводит к противоречию, ибо по условию и ф. О, и заключил, что необходимый признак минимума неверен. Между тем геометрически ясно, что искомая точка существует и совпадает с точкой 1з( — г, 0).
Эта точка не обнаруживается с помощью производной, поскольку наименьшее значение ]АМ]в не является минимумом. Действительно, х принимает значения на отрезке [а, 5], а функция ]АМ]~ = 2 а х + н~ + гз является линейной, поэтому принимает наименьшее значение па конце промежутка х = — г. рл. 9. Иееледоеанае функций Кажуп1ееся противоречие связано с неверным отождествлением понятия наименьшего значения и локального минимума. а Таким образом, в случаях, когда для функции, заданной на отрезке, экстремум отсутствует, или же функция имеет не менее двух экстремумов, требуется другое правило отыскания наибольшего или наименьшего значения, отличное от первого. Второе правило разыскания наибольшего или наименьшего значения: Пусть непрерывнол функцил у = 1(х) задана на отрезке «а, 6[.
!. Найдем все критические точки функции на отрезке [а, 5[ и вычислим значение функции в этих точках, не выяснял характера экстремума. 2. Вычислим значения функции на концах отрезка. д. Запишем полученные значения функции в порядке возрастания. Тогда первое число лвллетсл наименьшим значением ! (х), а последнее —. наибольшим значением функции на отрезка Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = хз — 3 х на отрезке [О, 2].
Решение. Найдем производную; у = 3 ха — 3. Она всегда имеетсмысл и обращается в нуль в двух точках: х! = — 1 и хт = !. Из них только одна хз = 1 лежит в рассматриваемом промежутке; следовательно, только она должна приниматься во внимание. Для отыскания паиболыпих и наименьших значений функции необходимо вычислить значения функции в критических точках, а также на концах отрезка: у(0)=0' — 3 0=0, у(1)=1 — 3 1= — 2, у(2)=2 — 3 2=2, Наибольшим среди найденных значений является число 2, а наименьшим --.
число ( — 2). Итак~ унана = 9(2) = 2 уналн = у(1) = — 2; наибольшее значение достигается на конце промежутка, а наименыпее — внутри. а Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции у = хз — 3 х~ — 45 х + 225 на отрезке [О, 6[. Ответ: уеаив = у(0) = 2251 уваим = у(5) = 50. 7 Пример 5 (о наименьшей стоимости перевозок). Завод А нужно соединить шоссейной дорогой с прямолинейной железной дорогой, на которой расположен город В. Расстояние ~АО~ от завода до железной дороги равно а, расстояние [ОВ~ ,9.Е'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
