Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 25
Текст из файла (страница 25)
разыскание онтиимазьных значений функций 159 Рис. 9.12. Задача о наименьн1ей стоимости перевозок по железной дороге равно 1. Стоимость перевозок по шоссе в и раз дороже стоимости перевозок по железной дороге 1Л > 1). Как провести шоссе АМ к железной дороге, чтобы стоимость перевозок от завода к городу была наименьшей? Решение. Сделаем чертеж 1рис. 9.12, а). Ясно, что шоссе тоже должно быть прямолинейным 1прямая короче любой кривой, соединяющей данные две точки).
Кроме того, пункт М не может лежать левее точки А и правее точки В. Если расстояние ~МВ~ обозначить через х, то О < х < 1. Пусть стоимость провоза по железной дороге гп, тогда стоимость провоза по шоссе будот и нь Общая стоимость Р про., „в ° в р в =,,(-в,/Р+((-*)'. с .,- вательпо, нужно найти наименьшее значение функции 11х) = =.,.(в,/Р+((-т)в,(0 < . <(). Он ..ь „, .р..сь,*. Поэтому критические точки функции г"1х) могут быть только среди стационарных. Приравняем производную к нулю: О '+((-*)г+((" — () Й' + е- *)* Тогда ,( ' ((( — ) + ( (. — () = О, и +11 — х) =Й 11 — х), 1( — х) 1Й вЂ” 1) = а .
!'л. 9. Исследование функций 160 Отсюда следует, что единственной критической точкой в интервале (О, +со) является а х=!— ,)й-1' Рассмотрим два случая. Первый случай — найденная точка попадает в интервал (О, !), второй — найденная точка не попадает в интервал (О, !). Первый случай. Если найденная точка лежит в интервале (О, !), то производная !'(х) при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плк>с. Поэтому найденная точка дает наименьшую стоимость перевозок.
Второй случай. Если же найденная точка не попадает в интервал (О, !), то производная неотрицательна в промежутке [О, !), а значит сама функция !" (х) неубывает на этом отрезке и поэтому наименьшая стоимость перевозок достигается при х = О. Второй случай показан на рис. 9.12, 6.
9.5. Выпуклость функции. Точки перегиба График дифференцируемой функции д = )(х) называется выпуклым вниз в данном промежутке, если соответствугощая часть графика расположена выше касательной, проведенной в любой точке промежутка. Аналогично, график дифференцируемой функции д = ) (х) называется вытгг)клым вверх в промежутке, если соответствующая часть кривой расположена ниже любой касательной (рис. 9.13). О Рис. 9.13. Выпуклость вниз и выпуклость вверх Теорема 1 (Достаточное условие выпуклости графика функции). Если втпврая производная дважды диг)гтреренцируемой фуннт1гггг д = д(х) в т)аннам промежйтпне Х пологлсительна, У.б. Випуклаеепь функции.
Тачки перегиба то график ее является выпуклым вииэ в этом промеэгсутке; если 1~~(х) < О, тпо график является выпуклым вверх в соответ- сгавующем промеэгсутке. У -,Г(хо) = У (хо) (х — хо). (9.6) Разложим данную функцию в окрестности хо по формуле Тейлора, приняв п = 2: а у =,Г(х) = У(хо) + У (хо) (х — хо) +,, (х, — хо), (9.7) где с лежит между х и хо. Из формул (9.6) и (9.7) получаем у — у = ' (х — хо) .
ун(:) 2! Поскольку (х — хо)о > О и по условию ~н(с) > О, то у — у > О, или у > у. Последнее неравенство означает, что график функции у = = «(х) лежит выше касательной. Следовательно, в промежутке Х график функции будет выпуклым вниз. Аналогично доказывается второе утверждение теоремы. ° уп>О уп<О Рис. 0.14. Выпуклость вниз и выпуклость вверх На рис. 9.14 изображены «личнкнь, которые помогут запомнить учверждение доказанной теоремы. Два знака (глаза) личика напоминают, что достаточное условие выпуклости исходит из знака второй, а не первой производной. Конфигурация рта, характеризующая улыбку или грусть, означает выпуклость вниз или вверх. Ь я М Агтямоь П Пусть функция у = Г(х) такова., что Го(х) > О для всех х из промежутка Х.
Фиксируем хо Е Х, запишем уравнение касательной в этой точке, обозначив текущую ординату касательной через у: 162 рл. 9. Исследование фуннций Первое личико это «рисунок» первого утверждения теоремы. Если глаза личика блестят (+ +), то оно улыбается. Значит, ееши знак второй производной пливс, то функция выпукла вниз. Второе личико .. это «рисунок» второго утверждения теоремы. Если глаза личика не блестят ( — — ), то оно грустит. Значит, если знак второй производной минус, то функция выпукла вверх. Необходимое условие выпуклости слабее: осли функция выпукла в промежутке Х, то можно утверждать лишь что !а(х) > О (или!а(х) < О), х Е Х. Например, функция у = х выпукла вниз на всей числовой оси, хотя вторая производная уи = = 13 хз не всюду положительна: !'а(О) = О при х = О.
Определение. 1очкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх. Эквивалентное определение: точкой перегиба графика функции у = 1(х) называется точка М(хо, ! (хо)), при переходе через которую меняется направление выпуклости кривой. Если, например, для х < хо кривая является выпуклой вверх и М(хо, ! (хо)) точка перегиба, то для х > хо кривая становится выпуклой вниз. Иными словами, точка перегиба графика функции эта точка, в которой кривая переходит с одной стороны касательной на другую ее сторону (рис. 9.15).
Из теоремы 1 следует, что у двау жды дифференцируемой функции в тех промежутках, в которых вторая производная не равна нулю, не может быть точек перегиба. Отсюда вытекает следующая теорема. х Теорема 2 (необходимое усло- О вне перегиба). Если М(хо, ! (хо))— точка перегиба графика функции у = Рис 9.15. Рачка пеРегиба = г(х) о»га(х ) = О Теорема 3 (достаточное условие перегиба). Если при переходе через точку х = хо вторая производная дваэесды дифференцируе мой функции у = ! (х) меняет знак, то М(хо, ! (хо)) точна перегиба графика этой функции. П Пусть (и(т) < О при х Е (хо — е., хо) (е > О) и !" (х) > О при х Е (хо, хо + е), тогда согласно теореме 1 график функции является выпуклым вверх в интервале (хо — е, хо) и выпуклым У.б.
Выпуклость функции. Точки перегиба вниз в интервале (хс, ха + с). Следовательно, при переходе через точку М выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз, т. е, М точка перегиба. ° Чтобы найти все точки перегиба графика дифференцирусмой функции д = ( (х), надо испытать все тс значения х, в которых вторая производная г"о(х) равна нулю, бесконечна или не существует (только в таких точках перегиб возможен). Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то линия имеет в этой точке перегиб.
Если же не меняет, то перегиба нет. Ч Пример. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графиков следующих функций: х в)у= б) у = х+ хзрз; а) у =х' — Зх; б) Найдем производные: 1+ х " з 5 огз и 10 3 ' ' 9 ьзг Вторая производная нигде не равна пулю и теряет смысл (обращается в бесконечность) в точке х = О. При х < 0 имеем уп < 0 и кривая выпукла вверх, при х > 0 имеем ди > 0 и кривая выпукла вниз.
Вторая производная меняет знак при переходе через точку х = О. Поэтому точка 0(0, 0) -- точка перегиба. в) Найдем производные: з 1 — х (1+х ) 2 3 — х' дп = — 2х (1 + з)з Вторая производная уп равна нулю, если х = — тг'3, О, ~/3. На интервалах ( — оо, — зЛ),. (О, тгсЗ) вторая производная отрицательна .. следовательно, функция па этих интервалах выпукла Решение. а) у' = 3х~ — 3, .дп = бх уп = 0 при х = О. Если уи < 0 (глаза опущены — —, личико грустит), то функция выпукла вверх. Поскольку уп = 6 х < 0 при х < О, на интервале ( — оо, 0) функция выпукла вверх. Если уи = 6 х > О, то х > О. Значит, на интервале (О, +со) функция выпукла вниз (глаза блестят + +, личико улыбается). Поскольку при переходе через точку х = 0 вторая производная меняет знак, точка 0(0, 0) является точкой перегиба.
Рл. 9. Исследование функций у = л!(1+ тв) Рис. 9.16. Точки перегиба некоторых функций вверх. На интервалах ( — ~(3, 0), (~/3, +со) вторая производная положительна -- следовательно, функция на этих интервалах выпукла вниз. Во всех трех точках х = — тееЗ, О, т/3 вторая производная меняет знак. Откуда заключаем, что все трн точки являются точками перегиба. Графики всех трех функций изображены на рис. 9.16. а Задача. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости графика функции у = — т 1 . Ответ: Точка перегиба одна О(0, 0). В интервале ( — оо, 0) кривая выпукла вверх, а в интервале (О, +ос) вниз. Заметим, что для непрерывных функций, которые являются дифференцируемыми не во всех точках, также используется понятие выпуклости кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
