Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 29
Текст из файла (страница 29)
10.1. Предельные величины в экономике Решение. Прибыль определяется формулой П(х) = Л(х) — С(х), откуда П(х) = 16 х — 2 хв — 1. Приравнивая производную прибыли П'(х) = 16 — 4х пулю, получаем х = 4. Проверка показывает, что эта точка является точкой максимума. Таким образом, оптимальный уровень производства х = 4. При этом значении максимальная прибыль составит П,„в„= 31. А Ч Пример 5 (Оптимизация налогообложения предприятий ) ). Пусть, как и в предыдущем примере, функция дохода от количества реализованного товара х выражается формулой й(х) = 16 х — х~, а функция затрат на производство товара формулой С(х) = хв + 1.
Определить оптимальный уровень налога с единицы реализованного товара и прибыль предприятия, которая при этом достигается. Решение. Пусть 1 ($ах) налог с единицы выпускаемой продукции. Тогда общий налог с х единиц продукции составит Т = = 1 х. В этом случае функция прибыли будет иметь вид Требуется определить; каким должен быть налог 1, чтобы величина суммарного налога Т со всей продукции была наибольшей? Поскольку ??(х) = 16 х — хз, а С(х) = хз + 1, то функция прибыли имеет вид П(х) = 16 х — 2 х~ — 1 х — 1. Как и в предыдущем примере, условие максимума прибыли П'(х) = 0: отсюда получаем значение х, максимизирующего прибыль с учетом пока неизвестного налога 1: 16 — 4х — 1= О, Подставим полученное значение объема продукции в величину суммарного налога Т = 1 х.
Получим Т = 1(4 — 1/4). ) Пример взят из книги 119, е. 131]. 186 1л. 10. Применение дифференциального исчисления... Найдем теперь условия., при которых величина Т будет макси- мальной: Т =1(4 — 1/4), Т'(1) = О, ~ 1= 8. Далее, при 1 = 8 имеем х = 4 — 1/4 = 4 — 8/4 = 2. Отсюда следует, что при налоге 1 = 8 максимальная величина прибыли достигается при т, = 2: П, =П(2) =16 2 — 22 — 8 2 — 1=7, а оптимальный (с точки зрения налоговой службы) сбор налога Т = 1 (4 — 1/4) = 8 (4 — 8/4) = 16. Интересно сопоставить эти цифры (х = 2, П,„ая = 7) с цифрами при отсутствии налогообложения.
При 1 = О решение задачи на максимизацию прибыли дало следующие результаты (см. предыдущий пример): х = 4, П ~ = 31. Вывод: уменьшение налогообложения стимулирует рост выпуска продукции и приводит при этом к увеличению прибыли от ее реализации. Понятно, почему производители прикладывают столько усилий, чтобы снизить ставку налога. 4, й Пример 6 (Минимизация средних издержек).
Доказать с помощью теоремы Ферма зкономический закон, согласно которому при наиболее экономичном производстве достигается равенство средних и предельных издержек. Решение. Уровнем наиболее экономичного производства является такой, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Средние издержки определяются как АС = С(х)/х, т. е. издержки по производству товара, деленные на произведенное его количество. По теореме Ферма в точке минимума функции С(х)/х производная этой функции равна нулю. Следовательно, С(х) 1 ' С'(х) х — С(х) =О, откуда С' х — С=О, С'=С/х, или МС = АС, что и требовалось доказать. 70.2. Иенолъэооание логарпфмичеекой ироиэоодной е экономике 187 Вывод: при наиболее экономичном производстве достига- ется равенство средних и предельных издержек. и 10.2.
Использование логарифмической производной в экономике Пусть й(г) - величина вклада в момент времени ~ (в годах). Можно ли определить (приближенно) годовую ставку банковского процента р по функции у(г)? Егши проценты начисляются непрерывно, то, как мы уже знаем из п. 6.4, рЮОО где р ежегодный процент прироста вклада,.
а г = р?'100 номинальная ставка за год. Найдем логарифмическую производную от величины вклада: (1пд)' = (!и ив+ г1)' = г. Вывод: ставка банковского процента г совпадет с логариф- мической производной от величины вклада. Таким образом, логарифмическая производная денежного вклада характеризует его доходность. Это верно и в более общем случае, когда процентная ставка вклада постоянно меняется.
В этом случае говорят, что логарифмическая производная денежного вклада выражает его мгновенную доходность. Рассмотренный пример - не единственное применение логарифмической производной. С ее помощью можно получить мгновенную оценку доходности какого-либо актива. Пусть А(~) стоимость некоторого актива А в момент времени 1, г .. доходность от вложения денег в другие активы. Считаем, для простоты, что г не зависит от времени.
Когда выгодно покупать или продавать актив А? Для ответа на данный вопрос найдем интервал времени, в течение которого мгновенная доходность актива А будет больше г. Так как мгновенная доходность А совпадает с логарифмической производной его стоимости, то искомый интервал времени задается неравенством (1п А(1))' > г. Если это неравенство задает интервал (1ы 1з), то актив А следует купить в момент 81 и продать в момент 1з. Именно за 188 1л. 10. Применение дифференциального исчисления... это время произойдет наибольшее приращение А но сравнению с другими активами.
Отллосителшлал скорость (темп) изменепил функц<ллл д = = / (х) определяется логарифмической производной (10.1) й Пример 1. Производительность труда бригады рабочих может быть описана уравнением у = — 2г5 1~ + 15 1+ 100, где 0 < 1 < 8 рабочее время в часах. Вычислить скорость и темп изменения производительности труда при 1 = 2 и 1 = 7. Решение. Скорость изменения производительности труда выражается производной д' = — 51+ 15, а темп ее изменения логарифмической производной у' — 51+ 15 у — 2,5 1 + 15. Л + 100 При 1 = 2 у'(2) = 5, 7'у — — 1/24 0,04. При 1 = 7 у'(7) = — 20, Т„= — 8/33 = — 0,24, Итак, в момент 1 = 2 ч после начала работы скорость изменения производительности труда составила 5 ед./ч, а в момент 1 = 7 ч ( — 20) ед./ч; относительная скорость (темн) изменения производительности труда составила соответственно 0,04 ед.л'ч и ( — Ог24) ед./ч.
Знаки плюс и минус указывают на то, что в начале смены (нри 1 = 2) наблюдалось увеличение производительности труда, а в конце смены (нри 1 = 7) ее снижение. а 10.3. Эластичность Определение эластичности. Понятие эластичности было введено Альфредом Маршаллом в связи с анализом функции спроса. Вноследсгвии это понятие было распространено и на другие функции. 10.3. Эластичность МАРШАЛЛ (Магн1заИ) Альфред 11842 — 1924) — английский экономист, основатель кембрззджской школы политэкономии и один из организаторов Королевского экономического об«лестна.
Его труд «Рпнс1р)ев ог есопот)сзь (принззиззьз экономической науки) стал учебником, по которому учились студенты Англии и С)ВА. В середине ХХ в. укороченное название данного произведения — «есоззот1свь— стало обозначать учебники, в которых излагается неоклассическая экономя зеская теория. Пусть дана функция у = ) (х). Предположим, что приращение независимой переменной х есть 1ах. Определение. Эластичностью функции у = 1(х) называется следующий предел (10.2) говорят также, что Е, (у) это коэффициент эластичности у по х.
Из определения эластичности вытекает, что при достаточно малых зах выполняется приближенное равенство Е.1у) = которое можно записать в виде Ьу „ Ьх — = Ев1у) —, у х Вывод: эластичность Е (у) -- это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин у и х. Если, например, х увеличится на один процент, то у увеличится (приближенно) на Е (у) процентов. й Пример 1. Правильное применение знаний о коэффициентах эластичности спроса на товары помогает правительству в оценке последствий введения новых налогов или акцизов. Пусть х -.
акцизы на водку, у спрос на этот товар. Предположим, что государство предполагает повысить акцизы на водку на 10%. Если известно, что эластичность спроса составляет Ев(у) = — 0,2, то следует ожидать, что это вызовет снижение спроса на данный товар на 0,2 .!0 = 2 (%) и доходы государства по продаже водки повысятся на 8%.
й, 1йе 1л. 10. Применение дифференциального исчисления... 7 Пример 2. Изучение эластичности важно и для оценки изменения ситуации на рынке товаров н услуг в результате повышения доходов населения. Замечено, ) что для мяса, масла и яиц эластичность спроса относительно доходов населения положительна, а для муки — отрицательна. Это означает, что с ростом дохода спрос на мясо, масло и яйца увеличивается, а на муку понижается. Обратно, понижение доходов населения приводит к понижению закупок мяса, яиц, масла и увеличению закупок муки. Связано зто с тем, что снижение доходов влечет за собой и уменьшение возможности покупки дорогостоящих продуктов. Вместо этих продуктов, например мяса, население покупает более дешевый продукт, т.
е. муку или хлеб. а '7 Пример 3. Пусть заданы функции спроса у и предложения (количества товаров предлагаемого в единицу времени) е от цены х: у=10 — х, в=Зх — 6. Найти; а) цену равновесия при которой спрос и предложение уравновешиваются; б) эластичность спроса н предложения для цены равновесия. Решение. а) Цена равновесия находится из ушювия у(х) = е(х), или 10 — х = Зх — 6, откуда х = 4; б) эластичность спроса Е (д) и предложения Е (в) находим по формуле (10.2).
Имеем у = 10 — х; Ьд = д(х+ Ьх) — д(х) = 10 — (х+ Ьх) — (10 — х) = — Ьх; Ьр с1,х — Ьх,Ьт х у х 10 — х х 10 — т,' откуда 10 — х а -ьо 10 — х Аналогично имеем х = Зх — 6; Ье = е(х + глх) — х(х) = Зх + 3 Ьх — 6 — (Зх — 6) = 3 Ьх; ') См. (21]. 10.3. Эластичность 191 Ь~ ~~х 3Ьх ~Хх Зт с х Зх — 6 х Зх — 6' следовательно х — 2 Таким образом, при х = 4 получаем Ех(д) = — 4/(10 — 4) = — 2/3, Ех(х) = 4/(4 — 2) = 2. Это означает, что при цене равновесия между спросом и предложеиием увеличение цепы иа 1% влечет уменьшение спроса иа (2/3)% и возрастание предложеиия на 2%.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
