Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Таким образом, такой выбор функций приводит к интегралу, который не легче исходного. Интеграл в = | !ихйх также находится с помощью интегрирования по частям. Он вычислен ниже. Отметим, что даже если его подставить в формулу интегрирования ио частям, то получим интеграл, который труднее исходного. Поэтому прежде чем интегрировать по частям, надо в уме прикинуть, чтб может дать тот или иной выбор функции и. А '7 Пример 5.
Найти ~!п х дх. Решение. | и = 1и х, Йи = (1и х)'Йх = — г4х !их их = х де=г!х, ю=х 1 = х ! и х — х — г1х = х 1и х — х + С. Задача 3. Найти | хагс$нхнх. х' 1 Ответ: —, агс1нх — —, х + —, агс1нх+ С. 2 2 2 11.6. Компьютерное интегрирование В предыдущих параграфах были рассмотрены лишь простейшие интегралы. Поэтому может показаться, что отыскание интегралов это легкое доло. На самом деле это не так. Если при нахождении производных действуют механически, руководствуясь определенными правилами, то при интегрировании часто требуется проявить догадку, найти какую-нибудь нестандартную подстановку. Бблыпая часть подобных находок классифицирована и описана в литературе.
Выделены специальные классы функций для интегрирования которых используется один и тот же прием. В учебниках наиболее часто выделяют следующие классы: 217 ! П Су Компьнпперпое шапегрированпе 1) рациональные функции; 2) иррациональные выражения, вычишсяемые при помощи рационализации; 3) иррациональные выражения, вычисляемые при помощи подстановок Эйлера: 4) биномиальные дифференциалы, 5) тригонометрические функции. В справочниках подобных классов интегрирования значительно больше. Более того, описаны непрерывные элементарные функции, интегралы от которых не являются элементарными функциями. Такие интегралы часто называют «неберущимися», подразумевая под этим, что такого рода интегралы не могут быть выражены с помощью конечного числа элементарных функций (они имеют представление только в виде ряда.'). Например, интегралы (л не сводятся к конечной комбинации элементарных функций.
Хорошими помощниками при интегрировании служат математические пакеты символьных вычислений, которые вобрали в себя практически все что известно об интегралах. Приведем примеры вычисления некоторых интегралов в пакете Мар1е. Потребуем от компьютера вычисления «неберущегося» инте(сйпх грала ~ с1х. Для этого напишем в командной строке: >зпс (в та (х) /х, х); и нажмем клавишу Епйег. Компьютер ответит: Б1(х) .
Обратившись через Не!р к помощи узнаем, что через %(х) обозначается специальная функция, являющаяся одной из первов1п х образных от функции и называемая интегральным синусом или 1Ье Б1пе 1п1сяга1 (синусный интеграл). Таким образом, ответ дан верно (+ С компьютер не пишет). Преимущества использования пакета особенно заметны, когда приходится применять неоднократные интегрирования по частям.
Новых знаний подобная операция не прибавляет, а времени отнимает много. Пусть, например, требуется вычислить интеграл Гл. 1!. Неопределенный ивгпеграл 218 хв в!и х г(х. Ясно, что нахождение этого интеграла требует 6 интегрирований по частям, что является весьма утомительным н может привести к механической описке при вычислении. Гораздо проще вычислить этот интеграл на компьютере в пакете Мар!е, Пишем команду: >1пс (х "6 эв1п(х), х); Нажимаем Еп1ег и получаем ответ: — х сов(х) + 6 х~ в!п(х) + 30 х~ сов(х) — 120 х~ в!п(х)— — 360 х2 сов(х) + 720 сов(х) + 720 х ейп (х) . 322+1 Для вычисления интеграла ~ ' 2 г(х набираем 1 '-ь * — 3 >1пв((х 3-2~х"2+4)/(х 2+2эх-3),х); 1 2 41, 3 Ответ: — х2 — 4х+ — !п(х+ 3) + — 1п( — 1+ х).
(Интеграл 2 4 4 вычисляется выделением в подынтегрвльном выражении целой части и разложением остатка в сумму простейших дробей.) 1 Пусть требуется вычислить интеграл ", дх. 1 1+ вши+ совх После выполнения компьютером команды >1пс(1/(1+вйп(х)+сов(х)),х); полУчаем !и 2+ 216 ( гх . Этот интегРал от выРажениЯ содержащего тригонометрические функции, можно вычислить с помощью универсальной тригонометрической подстановки 1 = ="Ю) Чтобы вычислить интеграл ' г(х на ком- (7 .— Ю вЂ” ) пьютере, вводим команду >1пс(х/ваге((7~х-10-х"2)"3),х); и нажимаем клавишу Еп1ег. 2 (7 х — 20) ( — 7 х + 10 + хе) Ответ: . Без использования Мар1е 9 — ( — 7 х+ 10+ хв)л пришлось бы применить так называемую третью подстановку ! П 11 Компыогперное шопегрирооанпе 219 Эйлера, которая для данного примера имеет вид 7 1» О/( 2) Интегрирование при помощи компьютера превращает былое искусство в элементарное нажатие кнопок.
Поэтому многие, возможно, еще жалеют о том времени, когда приходилось применять чудеса смекалки, чтобы вычислить тот или иной интеграл. Стоит ли жалеть об этом? Думается, что нет. То, что трудоемко и требует больших затрат времени, уходит в прошлое. Такова логика развития. Ведь не пытаемся же мы вспомнить как делятся римские цифры. А деление римских цифр это тоже целое искусство.
Римская система, в отличие от арабской, не является позиционной. Поэтому выполнения арифметических операций в этой системе сродни искусству. Чтобы научиться арифметическому делению, в Европе в средние века требовалось закончить университет. Да еще не всякий университет мог научить этой премудрости. Нужно было непременно ехать в Италию: тамошние математики добивались большого искусства в делении римских цифр. Деление же миллионных чисел было доступно лишь бородатым мужам, посвятившим этому занятию всю жизнь. Римская система счисления, распространенная в средние века в Европе, оказалась неудобной для арифметических операций и канула в лету.
Мы стали проводить необходимые вычисления быстро и легко, полностью забыв об искусстве счета в римской системе счисления. Так надо ли жалеть о том, что рутинное искусство интегрирования также уходит в прошлое? Не лучше ли направить свои знания, навыки, смекалку и выдумку на задачи, которые еще ждут своего решения? Тот, кто имеет достаточные навыки в анализе., сможет все увидеть с необычайной легкостью.
Л. Эйлер Глава 12 Определенный интеграл 12.1. Исторические сведения Интегральное исчисление возникло из задач на определение площадей и объемов. Эмпирически обнаруженные правила измерения площадей н объемов некоторых простейших фигур были известны еще ученым Древнего Востока. Уже за 2000 лет до н. з.
египтяне и вавилоняне умели, в частности, приближенно измерять площадь круга и знали правило вычисления объема усеченной пирамиды с квадратным основанием. А существенный прогресс в вычисление площадей и об"ьемов различных фигур внесла древнегреческая наука. Особенно большой вклад был внесен Архимедом.
Архимед нашел площади многих фигур и об"ьемы значительного числа тел, основываясь на представлении, что плоская фигура состоит из бесчисленного множества прямых отрезков, а геометрическое тело -- из бесчисленного количества параллельных плоских сечений. АРХИМЕД (около 287-212 до н.эй -- древнегреческий математик, физик, астроном и изобретатель. Родился в Сиракузах (о.
Сицилия) и жил в эпоху Ый и 2-й Пунических войн. Архимед автор многочисленных технических изобретений: машины для орошения полей, водоподъем ного механизма ~архимедов винт), системы ры чагоа блоков для поднятия больших тяжестей, военных метательных машин и т. п. Во время 2-й Пунической войны он возглавлял оборону Сиракуз. Его ь1етательные машины вынудили римлян отквзатьс» от попытки взять город штурмом и заставили перейти к осаде. 12.1.
Исторические сведе««ил 221 Математические работы Архимеда намного опередили свое время и были правилы«о оценены только в эпоху создания дифференциального и интегрального исчисления. Архимед вычислил площадь эллипса, параболического сегмента, нашел плосцадь поверхности и шара, объем шара и сферического сегмента, а также объемы различных тел вращения и их сегментои. Ему принадлежит чакже понятие центра тяжсети тела, Он нашЕл положсние центра тяжести различных фигур и тел, дал математи чсекий вывОд законов ры*шгв. Рассказывают, что Архимед нашел решение задачи об определении количества золота и серебра в жертвенной короне сиракузского царя Гиерона, когда садился в ванну, и нагим побежал домой с криком ° эврика!» 1нашел). Крупнейшим его достижением в астрономии было построение планетария .
- полой вращающейся сферы, на которой можно было наблюдать движение солнца и пяти планет, фаз луны, солнечные и лунные затмения. Прн взятии Сиракуз Архимед был убит римским солдатом, когорого, по преданиго, встретил словами: «Нв трогай моих чертежейм На могиле Архимеда был поставлен памятник с изображением шара и описанного вокруг него цилиндра. Эпитафия указывала, что объемы этих тел относятся как 2:3, открытие Архимеда которое он особенно ценил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
