Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 30
Текст из файла (страница 30)
а Эластичность спроса и логарифмическая производная. Понятие эластичности связано с ранее введенным понятием логарифмической производной. Выведем формулу, связывающую эти понятия. Е (д) = 1пп — ': — = 1пп — — = д' —. Представим отношение — ' как логарифмическую производд д иую (!и д)'. Тогда получим (10.3) Использование этой формулы позволяет вычислять эластичность функции быстрее, чем это делается по формуле (10.2). Так, пайденая в примере 3 эластичвость Е (д) для функции д = 10 — х может быть вычислена с помощью формулы (10.3) в одну строчку: Еа(д) = х (1п д!' = х (!п(10 — х))' = — х/(10 — т). Поскольку х = 1/(1п х)', то из формулы (10.3) имеем Таким образом, эластичность совпадает с отношением логарифмических производных.
Ценовая эластичность спроса и выручки. В экоиомической теории спрос (в натуральных единицах) принято обозначать пе через д, а через д, а цену на товар ие через х, а через р (рпсе). (Иногда спрос обозначают также через д (с!ешапс!). Однако при 192 Гл. 10. !1ригленение дифференциального исчисление... таком обозначении может возникнуть путаница, связанная с тем, что так обозначают и дифференциал.
Традиционное обозначение спроса через и более удобно.) Знак коэффициента эластичности Ер(п) имеет большое значение. Как было отмечено, при отрицательном коэффициенте эластичности спрос на товар падает при увеличении цены на него, а при положительном, напротив, повышается. Помимо знака коэффициента эластичности болыпое значение имеет значение его абсолютной величины. Если абсолютная величина коэффициента эластичности ~ Ер(д) ~ велика, то изменение спроса при малом изменении цены становится значительным, а если абсолютная величина коэффициента эластичности мала, то даже существенное повышение цены не вызывает резкого изменения спроса. Например, повышение цен на железнодорожные билеты в дватри раза может привести к существенному сокращению спроса на железнодорожные перевозки и сокращению поступлений в бюджет. А спрос потребителя па спички, практически пе изменится, даже если цена возрастет в несколько раз.
Величина ~Ег(п) ~ для железнодорожных билетов выше, чем для спичек. Спрос называется э ластичным, если ~Е„(д)~ > 1, и неэло; стичпым., если ~Ер(д)~ < 1. Термин совершенно неэластичный спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. В этом случае Ер(е1) = О. В другом крайнем случае, когда самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличивать покупки от нуля до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно элисгпичяыле.
Можно считать, что для совершенно эластичного спроса )Е„(д)) = оо. Знание того, является ли спрос эластичным или нет, важно для определения изменения выручки при изменении цены товара. Для абсол1отного большинства продовольственных товаров (мясо, молоко, сметана, сыр, сахар) и непродовольственных товаров (одежда, обувь, украшения) спрос падает при увеличении цены на товар, т. е.
Ер(е1) < О. Рассмотрим как меняется выручка на товар при таком изменении спроса. Если продавцы обладают достаточными запасами товара, то е1 = д(р) это не только количество опрашиваемого товара, но и одновременно количество проданного товара. В этом случае общая выручка (гесе1рЬ) всех продавцов й = реь Находим эластичность выручки по цене 10.3. Эааатичпаать 193 При эластичном спросе ~ Ер(г1Я ) 1, поэтому Ер(Ц = 1 — ~Ег(д)! < О. При неэластичном спросе (Е„(д)! < 1, и ~оэ~о~у Е„1Л) ) О. Вывод: Если спрос эластичен, то изменение цены вызывает изменение общей выручки в противоположном направлении.
Если же спрос пеэластичен, то изменение общей выручки происходит в том же направлении, что и изменение цены. Здесь не приведены конкретные графики и числовые значения эластичности спроса по цене отдельных товаров, поскольку числовое значение эластичности товара нельзя считать неизменным, раз и навсегда заданным. Эластичность спроса по цене зависит от многих факторов и ее нельзя рассматривать только как функцию от одной переменной р.
Она зависит от замещаемости данного товара в потреблении, от удельного веса в доходе, от субъективной необходимости и т. п. Поэтому при прогнозировании последствий повышения налогов или цеп, надо подходить к проблеме комплексно. Поясним это на примере необходимости учета замещаемости данного товара.
По оценкам экономистов 1) эластичность спроса на бензин в США в 80-е и. ХХ в. составляла 0,2. Однако введение 6% налога на бензин в Вашингтоне привело к падению спроса не на 1,2%, как планировалось, а на 33% (что соответствует эластичности 5,5). Поэтому через 2 месяца налог в столице был отменен. Причина этого «узкоеь налогообложение на бензин, не включавшее в себя бензин из соседних штатов Мэриленд и Виргиния, которым потребители и стали заменять подорожавший в городе бензин. Похожая ситуация произошла в 1993 г. в России, когда повышение ставок акцизов на отечественную водку до 90% привело не к ожидаемому увеличению поступлений в бюджет, а к существенному снижению спроса и сокращению доходов в бюджет.
Причина -- исключение из рассмотрения импортной водки (в том числе из стран ближнего зарубежья). Именно продажа импортной водки заняла в это время преимущественное место в торговой сети. Поэтому спустя несколько месяцев выпгло новое постановление, которым вводилась ставка акцизов до 250% на импортную водку, а ставка акцизов на отечественную водку снижалась до 85%. 1) см. )1б, с. 811. 7 я М Ахтомоо Гй4 !'я.10.Применение дифференциальногоисчисления... Кя(д) > 0 Е,(д) < 0 Рис.
10.1. Геометрический смысл эластичности (10.6) ьг Доказательство равенства (10.6). Выразим координаты точек А и В через координаты точки С. Уравнение касательной в точке С(х„д,) имеет вид д = д. + 1'(х ) (х — * ). (10.7) Геометрический смысл эластичности. В экономической теории часто рассматривают зависимость между переменными графически. Поэтому полезна геометрическая интерпретация поня'!'и5! эластичности.
Напомним, геометрический смысл производной; 1'(х) это тангенс угла наклона касательной к графику функции д = 1'(х) в точке С(хсэ д,), д, = ) (х,). Геометрический смысл эластичности фУнкЦии 1'(х) в точке хе свЯзан с Разбиением Данной касательной на отрезки точками А, В и С, где А(х, О) точка пересечения касательной с осью Ох, В(0, дь) точка пересечения касательной с осью Од (рис. 10.1). Если эластичность Ег(д) положительна, то опа совпадает с отношением длин отрезков ВС и АС: Е*(д) = — '.
ВС АС (10.4) Если же эластичность Е (д) отрицательна (рис. 10.1), то выполняется следующее соотношение: АС (10.5) С помощью векторов формулы (10.4), (10.5) можно записать в виде одной формулы 10.3. Эластпичяость 196 Подставив в уравнение (10.7) координаты точки В(0, дь), получим дь=д -1'(х')х . Подставив в уравнение (10.7) координаты точки А(х„, 0), получим равенство 0 = д, + 1'(х,) (х„— х,), откуда уо 1 (х,) Итак, точка А имеет координаты х, —,, О, а точ- ус й .)' ка В - - координаты (О, д, — 1 (х,) х,). Сравним, теперь, векторы ВС и Е (д) АС: ВС = (х, — О, д„— дь) = (х„1'(хв) х,), 1 — (хс~ 1 (хс) хс) ° Таким образом, ВС = Е (д) АС. ° Из формулы (10.6) следует равенство )ВС! = )Е (д)ЙАС), откуда (ВС! /АС! Если /Е (д)/ < 1, то !ВС! < /АС!.
Если !Е„(д)~ > 1, то /ВС/ > !АС/. Вывод: Неэластичность кривой спроса в точке С означает, что отрезок касательной, проведенной к этой кривой в точке С, с концами А и В на осях координат, делится точкой С так, что отрезок АС длиннее отрезка ВС (рис. 10.1). Эластичность кривой спроса в точке С означает. что отрезок касательной делится точкой С так, что отрезок АС короче отрезка ВС. 196 1л. 1а Применение дифференциального исчисления... 10.4. Принцип акселерации Рассмотрим некоторое предприятие, выпускающее потребительскую продукцию д. Зададимся вопросом: как инвестиции в расширение производства этого предприятия влияют на рост его продукции? Очевидно, увеличение инвестиций г(с) ведет к росту продукции д(е). Но весь вопрос состоит в том в каких размерах это происходит.
Как эту зависимость выразить аналитически? Предположим, что с некоторого начального момента времени 1 = 0 инвестиции отсутствуют; тогда выпуск продукции должен остаться па прежнем уровне, т. е. если 1(6) = О, то д(1) ив а д(0) (рис. 10.2). д(о) Рис. 10.2. Выпуск продукции в условиях отсутствия инвестиций д(0) Рис. 10.3. Выпуск продукции в условиях постоянного инвестирования Если же предприятие инвестируется, причем инвестиции постоянны, то производство постоянно расширяется и выпуск продукции должен линейно расти, т. е. д(1) = с1+ д(0) при г(г) = = 1г > 0 (рис. 10.3). Выразить из этих графиков зависимость между переменными г'(1) и д(1) с помощью алгебраических уравнений невозможно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
