Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Итак, !ах)' = ах 1па. 3. Производная степенной функции. Теперь мы можем доказать формулу производной степенной функции у = ха для любого ее. Действительно, !п у = о !п х. Дифференцируя обе ча- 1 р 1 сти равенства, получим — у' = о ° —, откуда д х' д =до — =х о — =ох е 1 а 1 а — 1 х х т.
е. !х") = веха 4. Производные тригонометрических функций. Если у = 01пх, то ~9 . в!п(х+ Ьх) — вю х д = 11п1 — = 1пп Ьх — ео е1х Ьх — ео езх Ьх / дех~ 2 01п — сов ! х -)- —,) 2 1, 2 ) 1пп а -ео Ьх еоп— У 21х '~ 1пп !пп сов ! х+ — ') = совх ах-ео ~* ахыо 1, 2,~ 2 !применили тригонометрическую формулу для разности синусов, учли первый замечательный предел и непрерывность функции сов х). Итак, !01п х) = сов х.| о.0. Лроизоодные оепооных олеменеоирных фуннцнй 121 Если д = соя х, то Эта формула доказывается так же как и предыдущая.
Если д = 1п х, то /я1п х 1 1я1п х) соя х — я|п х)соя х) у соя х соя х соя х+я1п х 1 соя х соя х т. е. Формула доказывается аналогично. 5. Производные обратных тригонометрических функций. Верны следующие формулы; Е) Докажем первую из этих формул. Дана функция д = = агся)п х, где — 1 < х < 1 и — — < у < —. Обратная функция 2 2 I 7Г 7Г имеет вид х = я1пд причем х = сову ф О если — — < у < —. р 2 2 Используя правило дифференцирования обратной функции, получаем 1 1 1 д х„соя д я 1/1 — х- + 1 — я!и" у При т = х1 производной не существует. Гл.
8. Основные п~еоремы о производных 122 Итак, / 1 (агсв|п х) 1гг1:Рхгг Доказательство остальных формул аналогично. ° 8.3. Таблица производных 8.4. Логарифмическая производная Определение. Логарифмической производной полоззсительной функции у = 1'(х) называется производная (1п д)' . 1 Так как (1п х) = —, то по правилу дифференцирования сложной функции получим следующее соотношение для логарифмической производной ! (!и у) у (8.1) Если производную д' рассматривать как скорость изменения функции у, то величина д'/д является ее относительной скоростью изменения. Поэтому логарифмическую производную (!и у)' При перемножении чисел в конкретных вычислениях используют не определение действия умножения, а таблицу умножения. (Определение используется только при доказательстве основных свойств умножения и различных теорем.) Так же и с операцией дифференцирования. Используя определение производной, были доказаны правила дифференцирования и выведены формулы для вычисления производных основных элементарных функций.
Определение производной понадобится также и в дальнейшем при доказательстве некоторых теорем. Однако в практических вычислениях оно не нужно. Для вычисления производной любой элементарной функции достаточно воспользоваться уже доказанными формулами. Для лучшего запоминания ниже приводится сводка всех основных формул. Будем пользоваться этой сводкой формул как таблицей умножения.
Так же как и таблицу умножения, ее следует запомнить. В верхней части таблицы приведены производные основных элементарных функций, в нижней правила дифференцирования. Среди формул есть сходные пары, которые легче запомнить вместе. Поэтому все формулы в таблице приводятся парами. 8.2. Логарафмичеекал ароазоодвал Таблица производных 1(х) ех Я' е а* 1па !пх !оп, х х !па 8!и х сов х сов х — япх 10 сСп х агсяп х Д а 1 12 агссовх агссйп х 0 и'(х) х ю'(х) и(х) х и(х) с и'(х) и'(х) и(х) + и(х) ю'(х) 17 и (х) о(х) — и(х) о (х) и(х) о(х) о (х) ~'(и) и'(х) «(и(х)) 20 с и(х) и(х). и(х) 1 х 1 1 сов х 1 яп х 1 + д 1 Гл.
8. Основные теоремы о производных называют также относительной скоростью изменения функции у или ее темпом роста. Для не обращающейся в нуль функции у = 1(х) логарифмическую производную определяют как (!в !у!)'. Поскольку (!и !х!)' = 1/х, то формулу (8.1) можно записать в более общем виде (8.2) у'= у(! !у!) С помощью логарифмической производной удобно вычислять обычную производную в тех случаях, когда логарифмирование упрощает вид функции. Одним из таких случаев является дифференцирование функции у = хх. 7 Пример 1.
Найти производную функции у = хх. Решение. Функцию у = хх нельзя назвать степенной х", поскольку показателем степени является не число и, а переменная х. Не является она и показательной (а*), поскольку основанием степени является не число а, а переменная х. Вместе с тем функция хх напоминает и степенную, и показательную. Поэтому ее называют степенно-показательной функцией. Для дифференцирования этой функции нельзя непосредственно применить формулы дифференцирования степенной или показательной функции. Формула вычисления производной такой функции основана на использовании логарифмической производной. Логарифмирование упрощает вид функции: !ну = !ах = х !пх. Дифференцируя, находим (!ну)' = х~ !их+ х(!их) = у =1пх+ 1 или — = 1пх+ 1.
Откуда у у' = у(!пх+ 1) = х*(!пх+ 1). 4 Используя логарифмическую производную, найдем производную произвольной степенно-показательной функции у = = ии, где и = и(х), и = и(х) дифференцируемые функции, производные которых известны: у' = у(1п у)' = и" (и !пи)' = ! = и" (и' 1п и + и (!и и)') = и" и' !и и + и — ) . Отсюда и у =и и" !пи+пи и.
8.5. ??роизаодная функции, заданной нараметричееки 126 Решение. у = (!пх) (в?пх)~ !пяпх+ 1пх(япх)ь ~(в|их)~. ? !пяпх Следовательно, у~ = (япт)ьоа ~ +с$нх . А 8.5. Производная функции, заданной иараметрически Плоские кривые часто задаются уравнениями вида х = х(?), у = у(1), где переменная 1, называемая параметром, пробегает некоторый промежуток значений Т. Чтобы построить кривую, заданную параметрически, нужно задать ряд значений параметра?1 по формулам х = х(?), у = у(1), вычислить соответствующие значения х и у, отметить полученные точки (х, у) на координатной плоскости и соединить их плавной линией. Из курса геометрии известны параметрические уравнения окружности х + у 2 2 = Л и эллипса —., + — '.
= 1, которые соответственно имеют вид а 6 с х=йсов?, у = й в!и с, с х = а сов|, у = 6 з!и ?, где 1 Е ]О, 2 к]. Теорема 1. !1усть функции х = х(1), у = у(1) непрерывны на [се,,З], дифферпсцируемы в (се,З), причем х'(1) сохраняет постоянный знак на этом интерв ле. Пусть далее ]а, 6] — область значений функции х = хЯ.
Тогда уравнения х = х(1), у = у(1) определяют непрерывную на (а, 6] и дифференцируемую в (а, 6) функцию у = у(х), причем Таким образом, для того чтобы найти производную степенно- показательной функции, достаточно дифференцировать ее вначале как показательную, а затем как степенную, и полученные результаты сложить. у Пример 2. Найти производную функции у = (яп х)'а*. 1'л. 8. Основные п~еоремы о производных 126 П По условию х'(1) сохраняет постоянный знак; пусть для определенности х'(Ь) > О.
Тогда функция х(Ь) монотонна и непрерывна на [о, /д]; значит, она обратима и производная обратной функции Ь(х) вычисляется по формуле Ь'(х) = 1/х'(1). Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции у = у(Ь(х))., получим у'(1) Ух, = Уг ' Гх = Уг ' — =, ° х, х (1) Ч Пример 1. Найти производную функции, заданную параметрически: х = Й сов1, у = Й яп1., где 1 Е [О, зг] (параметрические уравнения полуокружности радиуса Й с центром в начале координат). Решение. у'(1) (Й яп1)' соз1 у'(х) = —, =, = — —, = — с1й Ь.
х'(Ь) (Й соз1)' яп1 Если необходимо выразить ответ с помощью переменной х, то можно воспользоваться представлением Ь = 1(х) = агссов (х/Й): сов 1 сов ( агссоз (х/Й)) у'( ) =- —. з1п1 яп (агссое (х/Й)) х/Й х ,т=о7ег ее*:." Полученный ответ в точности совпадает со значением производной, найденным непосредственно из уравнения полуокружности х~+у = Й у > О; г = ~'е- * 2,/Й - хх 1/Й'ха 7 Пример 2. Найти производную функции, заданную параметрически: х = а сов Ь, у = Ь яп Ь, где Ь е [О, зг] (параметрические уравнения полуэллипса).
Решение. у'(1) (Ь зш1)' Ь сов 1 Ь х'(1) (а соз1)' а япг о, 8.6. Пуоизеоднаа нелевой функции 127 Выразив 6 через х, получим Ь сов 6 6 соу (агссов (х/а)) у'(х) —— а гйп 6 а яш (агссов (х/а)) Ьх х ° 'Ф:~'7 Г Полученный ответ в точности совпадает со значением производной, найденным непосредственно из уравнения полуэллипа, 2 са — + —,=1,гдсу)0: а Ь вЂ” 2х 6 х 4 2,/а"- — х2 а 6 а 6 а 8.6. Производная неявной функции Выше было рассмотрено дифференцирование явных функций и параметрических функций. Рассмотрим дифференцирование неявной функции, заданной уравнением г'(х, у) = О.
Для нахождения производной функции д, заданной неявно, нет нужды искать явное выражение функции д = 1(х); нужно просто продифференцировать обе части уравнения, рассматривая у как функцию от х, а затем из полученного уравнения найти производную д'.
у Пример. Найти производную функции, заданную уравнех' у-' вием эллипса —. + — = 1. а 62 Решение. Дифференцируя обе части уравнения, находим: 2х 2у — + —.д =О, и, Ь В рассмотренных примерах показана связь производных функций, заданных явно и параметрически.
В практических жо задачах нот необходимости от представления у'(6) переходить к представлению у~(х). Параметрическое представление производной вполне достаточно. Оно позволяет строить график производной и изучить се свойства. Заметим также, что обычное задание функции у = у(х) можно рассматривать как частный случай параметрического х = 6, у = д(6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
