Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

-О,) ! л. 1. Предел функции и ненрерыанаетаь Ч Пример 1. Найти пределы 1 1 !пп — и !пп х-т-0 х х-тЧ-0 х Решение. 1 /11 1пп — = 1пп — = 1 — у! = — оо. * — тех х~,— О) х — тО х<О 1 . 1 /'11 11п1 — = !пп — = ! — ) =+ос. А (,+О/ х>0 !пп ((д(х)) = с. 6. Если сдщестпвдютп конечные пределы !пп ~(х) = Ь > О, 11ш д(х) = с, х — та имеелп место соотнотаение 7. Если в некоторой окрестноспги точки а (окрестностью точки сю считаем множество достаточно больиеих х) выполняется нестрогое неравенстпво ~(х) < д(х), тпо для соотпветствдющих пределов выполнено нестрогое неравенство: В случае, когда !нп 1'(х) = О и !пп д(х) = О, теорема неприх -т а х-еа О менима, так как выражение — является неопределенным.

Но О неверного результата теорема не может дать и в этом случае. О «Сокращатьь на нуль и писать 1 вместо —, конечно, нельзя. Этот символ служит сигналом, закрывающим прямой путь подстановки и заставляющим искать путь раскрытия этой неопределенности (например, с помощью сокращения общих множителей). 5. Если!пп 1 (и) = с, !пп у(х) = Ь, то предел слоокной функ- и — еь х — та' иии «'.7. Непрерывно«о~» фунхиив (Заметим, что если в окрестности точки а выполняется строгое неравенство 7'(х) ( д(х), то утверждение теоремы сохраняет свою силу, так как из строгого неравенства в пределе получается, вообще говоря, нестрогое.) 8.

Если в некоторой окрестности точки а фупкцил 7"(х) заключена между двумя функциями и(х) и о(х), имеющими одинаковый предел 6 при х — » а, то функция 7" (х) имеет тот же предел 6: П Докажем в качестве примера первое свойство. Предположим противное, т. е.

что функция ~(х) имеет два разных пределаЬис: йш 7'(х) = Ь, 1пп 7" (х) = с, 6 ф с. Поскольку утверждения «число Ь есть предел величины у» и «разность д — 6 есть бесконечно малая величина» равнозначны, то величины а(х) = З" (х) — Ь, 1з(х) = 7" (х) — с бесконечно малы при х -» а. Вычитая почленно эти равенства, получим с«(х) — (з(х) = с — 6 ф О, что невозможно, поскольку переходя в этом равенстве к пределу при х — » а, имеем: О ~ О.

Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно. ° 4.7. Непрерывность функции Пусть над столом висит па резиновой нитке груз. Под действием этого груза нитка растягивается, поэтому расстояние 1 груза от точки подвеса нити является функцией массы груза т, т. е.

1 = = 7 (т), т > О. Если немного изменить массу груза, то расстояние 1 изменится мало. Таким образом, малым изменениям т соответствуют малые изменения Е Однако если масса груза близка к пределу прочности тв нити, то небольшое увеличение массы груза может вызвать разрыв пити: расстояние 1 скачкообразно увеличится Ул. 4. Предел функции и непрерывно«ель 70 и станет равным расстоянию от точки подвеса до поверхности стола. График схематически изображен на рис. 4.1. Мы видим, что на участке (О, тв) этот график является непрерывной (сплошной линией), а в точке тв он прерывается. В результате получается график, состоящий из двух ветвей. Говорят, что во всех точках, кроме тв, функция ! = 1 (т) непрерывна, а в точке тв она имеет разрыв.

Точки непрерывности характеризуются тем, что при малых изменениях аргумента 0 то мсмю меняется значение функции, а точки Рис. 4.1 разрыва . тем, что в пих при малых изменениях аргумента изменения функции могут быть значительными. Данное понятие непрерывности весьма далеко от точности, оно является незавершенным, описательным. Дело в том, что использованные в этом определении слова «малое изменениек никакого математического смысла не имеют. Пусть а — — точка числовой прямой, и д = 1(х) — функция, определенная при х = а. Очевидно, что если функция непрерывна, то для точек х близких к точке а, значения 1'(х) и 1" (а) также близки друг к другу. Смысл утверждения «егли х близко к а, то )'(х) близко к 1'(а) к с помощью математических символов можно записать так: «если х — > а, то ) (х) — + «(а) ен Определение 1. Функция 1'(х) называется непрерывной в точке а, если функция имеет конечный предел в точке а и этот предел совпадает со значением функции в этой точке, т. е.

Так как !пп т, = а, то это равенство можно переписать в е — >в следующей форме; !!п1 1'(х) = 7'( !пп х). Последнее равенство означает, что для непрерывной функции символы предела и функции можно менять местами. Это даст основание сформулировать следующее правило: Если функция 1" (х) непрерывна в точке а, то пуи вычислении предела функции пуи х э а, надо вместо х в выуаэкение 7(х) подставить а. Пол11чепное число и лвллетсл пределом функции 1'(х) в точке т = а. «'.7.

Непрерывность функции 71 Определение 1 именуют определением непрерывности на языке предела. Существует и другое определение непрерывности. Дадим аргументу а приращение сьх = х — а. Тогда функция получит приращение сьу, определяемое как разность наращенного и исходного значения функции: 1лу = 7(а + слх) — 7(а) = = 1(х) - У( ). Определение 2. Функция называется непрерывной в точке а, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: !пп слу = О. Ьк — »О Это определение называют определением непрерывности на языке приращений.

Оно эквивалентно предыдущему, поскольку фразы «если х -+ а, то 7(х) — ~ 1(а)» и «если (х — а) — » О, то (1(х) — 1(а)) — » О» равнозначны. Определение 3. Функция называется непрерывной но, прол«еоюутке Х, есели она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Теорема 1. Основные элементарные срункции непрерывны в облаглпях их определения. П Докажем для примера эту теорему для функции у = х~. Доказательство на языке пределов: !пп 7" (х) = 1пп х =!нп х х = (!~и х) (1пп х) = к — »а к — »а к — »а к — »а к — са =а а=а =7(а).

Здесь мы воспользовались свойством: предел произведения равен произведению пределов. Доказательство на языке приращений: 1пп слу = !пп ((а+ слх) — а ) = Ьк-»О Ьк-со 1пп (ав+2аслх+(с1х)~ — а~) = 1пп (2а+Кх) (11х) = Ьк — »О Ьк — »О !пп (2 а+ слх) . !пп (слх) = 2а О = О. ° Ьк-«0 Ьк — »О рл. !.

Предел функции и непрерывность 72 В предыдущем разделе были приведены графики основных элементарных функций и их свойства. В их числе для каждой функции была указана область определения О(д). Поэтому мы можем считать, что область непрерывности для каждой основной эломентарной функции нами уже указана (в нашем перечне свойств она совпадает с О(!)).

Если мы научились находить области непрерывности основных элементарных функций, то следующий вопрос, который возникает, как находить пределы элементарных функций. С помощью основных теором о пределах может быть доказана Теорема 2. Все элементарные функции непрерывны в областях их определения. Это определение дает основание сформулировать следующее правило: Если фуыкллия 7(х) элемеыгпарпа а точка а припадлежит областеи определения этой функции, то при вычислении предела функции при х — ~ о надо вместо х в выражение 7'(х) подставить а. Полученное число и являетея ллределом функции !'(х) в лпо'чке х = а: Если !" (х) -- элементарна и а Е 0( 7'), то !пп !" (х) = !'(а).

Заметим, что это правило верно лишь для элементарных функций. Непрерывность функции в любой точке области определения не гарантируется для неэлементарных функций. Так, функция у = [х], хотя и определена па всей числовой прямой, разрывна во всех целых точках. Другая неэлементарная функция, определенная на всей числовой прямой — функция Дирихле имеет разрыв в каждой точке. Функция называется ограниченной на отрезке [а, Ь], если существует такое число М, что для всех х Е [а, Ь] выполняется неравенство ]! (х)[ < М.

Теорема 3 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция ! (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она ограничена на этом О7ПРЕЗКЕ. Теорема 4 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция !'(х) непрерывна на отпрезке [а, Ь], то она достигелет на эгпом отрезке наименьшего значения лп и наибольилего значения М. Заметим, что среди значеллий, которые принимает функция 7'(х) в точках незамкнутого промежутка, может не быть наибольшего или наименьшего значения.

1.7. Непрерывносн~ь функции 73 Так, в интервале (1, 3) функция у = х не обладаот ни наименьшим значением, ни наибольшим (она могла бы принять эти значения на концах х = 1 и х = 3, но из открытого промежутка концы исключены). Вг)ЙЕРШТРАСС (Иге)егвггад) Карл Теодор Вильгельм (1818- 1897) — немецкий математик. Начал свою деятепычость в качегп"ве.

Характеристики

Список файлов книги