Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Рассмотрим эти методы более подробно. Формула прямоугольников. Пусть на отрезке [ач б] задана функция д = ('(л). Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции Я, ограниченной кривой у = 1(л) и прямыми х = а, ев = Ь и д = О (рис. 12.1). Ранее было дано определение интегральной суммы. Напомним, как она строилась.
Отрезок [а, б] разбивался на в промежутков точками хв2 х1, ..., ян: а = тв < т! < яэ « ... тн — 1 < хн = 12. На каждом отрезке разбиения выбиралась точка с; и полагалось 2=1,2, ...,и. Ьл! = х, — х! Тогда произведение 1(с,) Лев, представляло площадь прямоугольника Я, со сторонами ) (с!) и Ьт.;. Сумма площадей всех таких прямоугольников равнялась сумме вида причем Ьн можно было считать приближенно равной искомой площади Я. Формула прямоугольников практически совпадает с приближенной формулой для определенного интеграла ь н ! о н Г" (л) Йх — 522 = ~ ~1(с!) Ьх;.
2=! Отличие состоит лишь в том, что в формуле прямоугольников меньше произвола. Отрезок [а, 6] делится на равные части (а не !г.9. 77рибливгеенпве вычисление определенных интегралов 255 произвольным образом, как в определении определенного интеграла), а значения с, представляют середины соответствующих отрезков [х; 1, х;]. Итак, формулой прямоугольников называется следующее приближенное равенство: Ь вЂ” в, где — длина каждого отрезка, а у1 = 7(с1), с, — середина н отрезка [х; 1, х']. С увеличением п точность формулы неограниченно возрастает.
В пособиях по численным методам доказывается,. что предельная погрешность Я„= [о' — Я„[ формулы прямоугольников составляет (Ь и)з 24 нг 2; (12.1) где Мз —. наибольшее значение [7"в(х)[ на отрезке [оч Ь]. Для эмпирических функций вместо М2 берут наибольшее значение ~2 величины 7.1х '7 Пример 1. Найти по формуле прямоугольников прибли- 1 йх с я женное значение интеграла ' . ~= — = 0,785398...). ,) 1-1-хг 1 4 о Решение.
Имеем у1 = 0,9995, д2 = 0,9780, уз 0,9442, со = 0,55 ст = 0,65 сз = 0,75 с1 = 0,05 сз = 0,15 сз = 0 25 сз = 0,35 св = 0,45 ул = 0,8909, уз = 0,8316, уо = 0,7678, дт = 0,7029, дз = 0,6400, рл. 1а Определенный англеграл 266 уд = 0,5806, У~о = 0 5256 со = 0,85 сьо = 0,95 откуда Г 10у = — 7.,8581. 10 о г=1 Погрешность — — 0,78581 составляет примерно 0,0004.
Вычис- лим теоретическую предельную погрешность. Имеем; и Зх — 1 ( ) (1ч л)3' Наибольшее значение (~п(х)! на отрезке (О, 1) равно 2 (опо достигается при х = О). Подставляя и = 10, М2 — — 2 в формулу для предельной погрешности (12.1), получим Й16 = 0,00085 (она никогда не превысит действительную погрешность). Значит, нет смысла вычислять у; больше чем на четыре знака. и д (Х) ЕгХ г1 + г2 + ° ° + гп~ где Ьм Ь2, ..., ߄— площади трапеций (площади под хордами па каждом из отрезков разбиения). Площадь каждой трапеции Я; Формула трапеций.
Формула трапеций также представляет приближенную формулу вычисления определенного интеграь ла ) д (х) е1х. а Приближенное значение искомого интеграла можно получить, заменив площадь под кривой площадью под ломаной, расположенной достаточно близко к исходной кривой. Для построения этой ломаной разобьем отрезок интегрирования на п равных ь — а частей длиной 6 = и на каждом отрезке разбиения [х, ы х;) и заменим часть кривой у = 1(х) хордой, соединяющей концевые точки (рис.
12.13). Тогда !8.9. 77риблиохенпое вычисление определенных интегралов 257 б формула парабол формула трапеций Рис. 12.И. Приближенные формулы .((Х~-1) + 1(Хя) равна полусумме оснований умноженный на вы- 2 Ь вЂ” а соту 7г = У( "-1) + П ) й 2 Обозначим 1 (х1) через у,. Тогда У1-1+ У' й г— 2 и а Уо+У1 с У1-ЬУ2 г У вЂ” 1+Уп с 2 2 2 =6~ — + —,+ —,+ —,-+...+ + —,).
/Уо У1 У1 Уа Уп — 1 Уп1 12 2 2 2 2 2) Уо Уп Все слагаемые кроме крайних — и — встречаются дважды. 2 2' Поэтому окончательно получаем формулу пграпеций: Ь вЂ” а /Уо +У1+У2+ ° ° +Уп — 2+ и ~,2 О я. и. Аяпяпоя Рл. 7И Овредглеввыа инглеграл Ч Пример 2. Найти по формуле трапеций приближенное Йх значение интеграла " ., ~= — = 0,785398...). о Решение. Имеем откуда ' Ег = Я ( ' .,'- 7,09981 - г 7ггдг о Погрешность — — 0,78581 составляет примерно 0,0004, как н по формуле прямоугольников.
Но там мы нашли избыточное, а здесь ". недостаточное приближение. Предельная погрешность для формулы трапеций в два раза больше, чем для формулы прямоугольников, поэтому Рыо = 2 0,00085 = Ог0017. и Формула парабол. В уже введенных выше обозначениях приближенная формула парабол (или форлгула Снлгпсона) имеет вид хо =0,0 х1 =0,1 хз = 0,2 хз = 0,3 х4 = 0,4 хо = 0,5 хо = 0,6 хт = Ог7 хв = 0,8 хо = 0,9 х1о = 1,0 уо = 1,0000, уз = 0,9901, Уз = 0,9615, уз = 0.9174; У4 = 0,8621, ув = 0,8000, уь = 0 7353 Ут 0 6711 Уз = 0,6098, Уо = 0,5525, У1о = 0,5000, !ау. Приближенное вычисление определенных мптегралое 259 СЙМП СОВ (Ятрзоп) Томас (1 71 Π— 1 761) — английский математик, слон Лондонского королевского общества.
Выл ткачом шелковых тканой, математику изучил самостоятельно. Основные труды по геометрии, тригонометрии и математическому анализу. Вывел формулу приближенного интегрирования (формулу Симпсона). Один из основоположников теории ошибок. В основе этого метода лежит замена частичных криволинейных трапеций, ограниченных сверху функцией ) (х), на криволинейную трапецию, ограниченную сверху параболой вида у = Ахд+ Вх+ С. Предельная погрешность формулы Симпсона составляет (ь „)б 180 (2 и) Здесь М4 — наибольшое значение !~(4)! на отрезке (а, 6~. '7 Пример 3. Найти по формуле Симпсона приближенное с(х / и значение интеграла (= — = 0,785398...). 1+ 2 О Решение. Имеем 1 — УО = 0 50000: 2 у1 = 1,88235, 0,80000, 2 уз. = 0,28000, 1 — у4 = 0,250000, хо = 0,00 с1 = 0,25 ж1 = 0,50 сз = 0,75 хз = 1,00 откуда с(т г)х — 4,71235 = 0,78539.
Г 1 1+из 6 О Погрешность составляет примерно 0,00001, т. е. в 40 раз меныпе, чем в примерах 1 и 2, хотя там число ординат было вдвое больше. 'Численное вычисление на компьютере. Используя какой-либо из методов, описанных выше, и формулу предельной погрешности соответствующей формулы, можно вычислять рл.
1й. Определенный ингнеграл 260 >ена1Х (1пс (ехрт, х=а .. Ь, Жи1св); Здесь обязательными параметрами являются подынтегральная функция ехрт, зависящая только от переменной х, а и Ь вЂ”. пределы интегрирования, а необязательным -- Ы81Св — точность вычисления. 7 Пример 4. С помощью пакета Мар!е найти с точностью Их до 10 в интеграл 1 1+в о (= — = 0,785398...). Решение. >ета1Х(1пс(1/(1+х"2),х=0..1,3); = 0,78б г(х 1+х о гг Пример 5. С помощью пакета Мар!е найти с точностью 1 ! япяйх до 10 ~ интеграл ~ о Решение.
>ета11(1пС(в1п(х)/х,х=0..1,4); = 0,9461. в и о япх Заметим, что функция — нс интегрируема в элементарных х функциях. А 12.10. Несобственные интегралы Понятие определенного интеграла было введено для функции, ограниченной на отрезке [а, 6~. Ряд конкретных задач (в частности, задач теории случайных величин) приводит к определенные интегралы с любой степенью точности.
В Мар1е для этого существует команда: 261 12.10. Нееобетпеенные интегралы расширению понятия интеграла на случаи бесконечных промежутков н разрывных функций. Такие интегралы называются несобственными. Различают несобственные интегралы первого н второго рода в зависимости от того, имеем лн мы дело с бесконечным промежутком ннтегрнровання нлн с неограпнченной подынтегральной функцией. Несобственные интегралы первого рода.
Пусть функция у = 1'(х) непрерывна прн х > а. Определение 1. Если интеграл ь 1(х)тих (12.2) а прн Ь вЂ” э +со имеет конечный предел, то этот предел называется несобственным интегралом функт!ии 1'(х) от а до бесконечности н обозначается 1" (х) дх. Итак, по определению (12.3) Если интеграл (12.2) прн Ь вЂ” э +ос имеет бесконечный предел нлн вовсе не имеет предела, то говорят., что несобственный интеграл (12.3) расходится. Если интеграл (12.2) прн Ь вЂ” + +со имеет конечный предел, то говорят, что несобстпвенный интпеграл (12.3) сходится.
т Пример 1. Найти | 2 е е!х. о Решение. Имеем | ь 2 *е!х = 11ш (2 г дх = 1пп — ( — 2 *) ь-те-ее,) ь-н-ее !и 2 о 1 1пп —, ~1 — — ! = — (1 — О) = — — 1,4. Ь вЂ” т-';ее 1п2 (, 2ь,ь !п2 !п2 1л. 12 Определенный интеграл 262 Рис.12.14. Я = ) 2 'ох о Геометрический смысл несобственного иитегрило (12.3) для неотрицателыюй на [а, +ос) функции Г (х) состоит в том, что он представляет собой площадь криволинейной фигуры, ограниченной данной линией у = Г(х), осью Ох и вертикалью х = и. -~-ог г Пример 2. Найти 1 Решение. Имеем г-сг ь 1 1 6 !пп !и:г = !1п1 (!пЬ вЂ” О) =+ос. О-г+гг 1 Ь-г-~-го 6 Геометрическое истолкование. Интеграл ) 2 к г1х изображав ется криволинейной трапецией, ограниченной линиями у = 2 у = О, х = О, х = Ь (рис. 12.14).
По мере удаления Ь от начала координат площадь криволинейной трапеции возрастает, но пе безгранично. Она стремится к 1/!п2. Таким образом, площадь бесконечной области под линией у = 2 л конечна (равна 1/!п2). Это не удивительно. Объяснить это можно следующим образом. Площадь бесконечного луча на плоскости равна нулю (у луча нет ширины), т. е. тоже конечна. При добавлении к лучу треугольника получается бесконечная фигура, которая имеет конечную ненулевую площадь.
Примерно то же самое и с несобственным интегралом. По мере удаления Ь от начала координат бесконечная область под линией у = 2 л настолько сближается с осью абсцисс, что почти сливается с ней. В резулыате площадь всей фигуры оказывается конечной. Функция у = 2 к сродни также геометри- .~-ог ческому ряду 2 2 ", который имеет конечную сумму. А п=о 263 ИЛО. Несобственные ннтееовлы в-ж ! Рис. 1о.15.
Ь вЂ” | — с1х 1 Значит, искомый несобственный интеграл расходится. Геометри- 1 чески зто означает, что площадь области под гиперболой у =— неограниченно возрастает (по мере удаления 6 от начала координат гипербола недостаточно приближается к оси Ох, чтобы площадь была конечной). а Пусть функция непрерывна в промежутке ( — со, 6]. Определение 2. Несобственным интегралом функции г" (х) ь от — со до а называется предел интеграла | 1'(х) 4х при а — ь — оо; ь 6 | 1!х) еьх = !нп 1'(х) 61х. ь Сходимость и расходимость несобственного интеграла ~ !'(х) а!х понимаются как в определении 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
