Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Частные производные дг / Обозначение — читается «дэ зет по дэ икс», г читается «зет дх Х дг штрих по икс». Аналогично читаются обозначения —, и г' . ду У' дг д» Заметим, что обозначения частных производных — и —,' дх ду ду отличаются от обозначения производной — тем, что для ободх значения частных производных используется «круглое» и (д), а для обозначения производной — «прямое» (д). Как и производной функции одной переменной, частным производным функции двух переменных также можно придать геометрический, механический и экономический смыслы. В геометрическом смысле производная г' представляет собой тангенс угла наклона касательной к кривой г = ~(х, ув), у = дв в точке ЛХ(хв, дв).
Другими словами., г равна тангенсу угла между касательной и линией, параллельной оси Ох и проходящей через точку М(хв, дэ). В механическом смысле частная производная показывает, во сколько раз быстрее изменяется функция по сравнению с изменением аргумента, когда второй аргумент зафиксирован. Частная производная от производственной функции показывает отзывчивость функции выхода продукта. Другими словами, в экономическом смысле частная производная есть количество продукции, приходящееся на единицу величины одного фактора, при условии, что второй фактор остается постоянным. Поскольку определение частной производной вполне сходно с определением производной для функции одной переменной, теоремы о производных соответствуют и частным производным функции двух переменных.
Так как частная производная по любой переменной является производной по этой переменной, найденной при условии, что другая переменная постоянна, то правила дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных двух переменных. у Пример 1. Найти первые частные производныс функции г=ху +4х — у +5. Решение. Чтобы найти частную производную по х, принимаем д за постоянную и находим производную по х: г', = (х~ уз + 4х — у~+ 5)'„= у~ (хв)'+ 4т,' — О+ О = Ох~»у~+ 4.
Ц.Я. Частные производные первого парадна 287 (Производную (да)' приняли равной нулю, поскольку д считаем постоянным числом. В первом слагаемом постоянную дв вынесли за знак производной.) Чтобы найти частную производную по д, принимаем х за постоянную и находим производную по д: з' = (хв де + 4 х — д~ + 5)' = х~ (д~)'+ 0 — (дз)'+ О = =2х'д — Зд. А "7 Пример 2. Найти первые частные производные функции з = 9х д~ + 4х~ — д+ 102. Решение. Чтобы найти частную производную по х, принимаем д за постоянную и находим производную по х: и' = (Охд~+4х~ — у+102)' = Од~ х'+4(х~)' — 0+0 = = 9д~+8х.
Чтобы найти частную п!юизводную по д, принимаем х за постоянную и находим производную по д: х„' = (9хд~ + 4хв — д + 102).'„= 9х(дв)'+ 0 — д'+ 0 = 18хд — 1. а '7 Пример 3. Найти первые частные производные функции з = 9 х дв + 4 хз — д + 102 в точке Р( — 1, 2). Решение. В предыдущем примере было найдено з',,(х, д) = 8х+9д~, з'„(х, д) = 18хд — 1. Вычислим значения этих производных в точке Р( — 1, 2): е'х( — 1, 2) = 8( — 1) + 9 2 = — 8+36 = 28, з,' ( — 1, 2) = 18. ( — 1) .
2 — 1 = — 37, г7 Пример 4. Найти первые частные производные функции з = ез 1п д+ сов д — ее + 2. Решение. Чтобы найти частную производную по х, принимаем д за постоянную и находим производную по х: з,' = (е' !пд+ сов д — в!их+ 2)' = = (е*)' !и д + 0 — (в!и х) + 0 = е' !и д — сов х. Гл. Ц. Частные произоодные Чтобы найти частную производную по у, принимаем х за постоянную и находим производную по у: г'„= (е 1п д + сов у — ейп х + 2)'„= = е~ (!пд) + (сову) — 0+ 0 = еи/у — сйпу.
А Задача. Найти первые частные производные функции в = = х д — хв — 2 у~ + х + 10 у — 8 в точке Р(2, 0). Ответ: в' (2, 0) = — 3, е'„(2, 0) = 12. 14.4. Полный дифференциал !!олным приращением Ье функции е = 1(х, у) называется разность !(х+ Ьх, д+ Ьу) — 1(х, у), где Ьх и Ьу -- соответствующие приращения аргументов х и д: Будем говорить, что функция имеет непрерывные частные производные в точке М(х, д), если е = !(х, у) имеет частные производные в,(х, у), х, (х, у) в окрестности точки (х, д), причем эти производные непрерывны в самой точке (х, д). Такая функция является дидхреренцируемой в точке (х, у). (Вообще же, понятие дифферепцируемости шире, чем существование непрерывных частных производных.
Однако практически все функции, рассматриваемые в социально-зкономической сфере, обладают непрерывными частными производными. Поэтому точного определения дифференцируемости пам пе понадобится.) !(олным дифференциалом функции в = !'(х, д) называется выражение дг, которое вычисляется по формуле Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, то есгь с!х = Ьх и дд = Ь!! (проверьте!). Поэтому формулу полного дифференциала, можно записать так: ц.а Касательная плоскость и нормаль к поссрхпости 289 Произведение частной производной на приращение (дифференциал) аргумента х называется частным дифференциалом и обозначается д г.
Аналогично определяется частный дифференциал по аргументу у: д. г = г' дх, д, г = гр ду., т. е. полный дифференциал дг равен сумме частных дифферен- циалов Й г и дев. и Пример. Найти полный дифференциал функции /хз + г/2 Решение. Имеем х у гк —,,1 гр /груз Д2 ~ уг и, следовательно, Ь= дх+ Ду. е Я2+уз / 2+ 2 Аналогично определяется и вычисляется полный дифференциал любого числа переменных. 14.5.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности В и. 7.1 было дано определение касательной к кривой как предельного положения секущей. Похожим образом определяется касательная плоскость. Плоскость, проходящая через точку Ме поверхности, называется касательной плоскостью в данной точке, осли угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку Мо и любую точку поверхности, стремится к нулю, когда точка М стремится по этой поверхности к точке Ме. Непрерывность функции нескольких переменных проверить напрямую бывает довольно трудно, но это важное свойство функции можно установить более простым способом — воспользовавшись следующим утверждением: если, функция г = 1(х, у) имеет непрерывные частные производные в точке Мо, то она непрерывна в этой точке и, более.
того, имеет в этой точке касательную. Как видим, это утверждение, которое мы примем без доказательства, позволяет также проверять существование касательной плоскости к поверхности. 10 я. и Аятяяоя Гл. Ц. Частные производные 290 Если поверхность задана уравнением е = д" (х, д), то уравнение кагятпельпой плоскости в точке Мо(хо, уо, го) к данной поверхности дается уравнением: в — ео = У (хо уо) (х — хо) + 1о(хо, до) (д — уо); а канонические уравнения нормали, проведенной через точку Мо(хо, до, го) поверхности, имеет следующий вид: з — зо У вЂ” Ро У (хо: уо) Уи(хо, уо) — 1 В случае, когда уравнение гладкой поверхности задано в неявном виде г'(х, у, в) = О., уравнение касательной плоскости в точке Мо(хо, уо., во) поверхности имеет вид г,(хо, до, во) (х — хо) + г„(хо, до; го) (д — до)+ + с,(хо; уо, ео)(е — ео) = О а канонические уравнения нормали, проведенной через точку Мо(хо, уо, ео) поверхности: х — хо У вЂ” Уо г (хо Ро| зо) гз(ззо: Уо~ зо) г-(хо, Ро зо) 7 Пример 1.
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности г = х2+ Р2+ 1 в точке Мо(1, О, 2). Решение. Вычисляем ~,' (1, ()) и ('„'(1, 0): ди(х, у) = 2х, Д(1, .0) = 2. 1 = 2, ('„'(х, у) = 2 д, ~„'(1, 0) = 2 0 = О. Отсюда получаем уравнение касательной плоскости в точке Мо(1, О, 2) к данной поверхности е — 2=2 (х — 1)+О (у — 0), или и канонические уравнения нормали, проведенной через точку Мо(хо, до, во) поверхности: х — 1 у — О з — 2 1 2 Π— 1 Ц.б. 11раизво~)вал сложной функции 291 Ч Пример 2. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности с'(х, у, я) = х + у + в + худ — 6 в точке Мо(1, 2; — 1).
Решение. Вычисляем Д(1, 0) и ~„'(1, 0): Р.,'(х, д, в) = 3 в + у х, Е'(1, 2, — 1) = 5. Отсюда получаем уравнение касательной плоскости в точке Мо(1, О, 2) к данной поверхности (х — 1) + 11(у — 2) + 5(в+ 1) = 0 и канонические уравнения нормали, проведенной через точку Мо(хо, до, во) поверхности: х — 1 у — 2 в+1 А 1 11 5 Задача. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в = х~ + 3 у~ в точке Мо( — 2, 1, 7).
Ответ: Уравнение касательной 4х — бр+я+7 = О, а уравнение нормали х+2 у — 1 я — 7 — 4 6 — 1 14.6. Производная сложной функции Предположим, что имеется данная функция г двух переменных и и и: ~=~(и, и), причем эти переменные суть функции переменных х, д, т.
е. и = д(х, р), .и = Ь(х, д). Формула я = 1(д(х, у), а(х, у) ) определяет слохсиую функйто. ю" Р'.(х, д, в) = 3х~ + у в 7"„'(х, у, в) = Зу + хв, Р'(1, 2, -1) = 1, Р'„'(1, 2, — 1) = 11, Га ц. Частные производные 292 Можно доказать, что если функции х, и и и дифференцирусмы, то дз дз ди дз дп дх ди дх дп дх дз дз ди дз дп — — — +— дд ди ду ди ду 7 Пример. Найти первые частные производные функции в = (5 х — у) !п(ха+ уз). и=х +у; Решение. Введем обозначения: и = 5 х — у, тогда х = и 1п и. Поэтому дз дз ди дг ди и = !пи. 5-! †.
2х = дх ди дх дп дх п дз дг ди дз дп сх — — — + — ° — =!пи ( — 1)+ — 2д= ду = ди ' ду дп ' дд = = — !п(хв + д2) + 2 д, .„. А х +у В частности, если и и и функции только одной переменной х, и, следовательно, и = д(х), и = 6(х), то х = ((и, и) = = ( ( д(х), Ь(х)) = Я(х). Откуда получаем дг ди дз = —. — +— д д д Но де ейл де (14.1) + ди с!х дп 14.7. Производная по направлению. Градиент Пусть функция х = ! (х, у) определена в некоторой окрестности точки Мв(хе, ув), :! некоторый луч с началом Мв, М(х, д) точка на этом луче, припадлежасцая рассмариваемой окрестности сЭз с!з дх дх' Следовательно, дз дх ди с!и дх дх' 5!(2!2)!2У х +д Ц.7.
!!роивводнав «ю напр«илеаин«Градивпга 293 точки Мв (рис. 14.4); Ы длина отрезка [Мв, М[. Если существует У(м) — У(мо) !пп а1-«о Ы то этот предел называется производной функции г = д (х, д) по направлению ! дг х в точке Мв н обозначается —, д1 Рнс.14.4. !!роизводная по направ- (читается «дэ зет по эльа); здесь ! вектор, имеющий лению— д! направление луча !.
В частности, частная производ- д дг ная — есть производная г = д (х, д) дх по положительному направлению оси о дг 0 х Ох, а — . производная по положидд тельному направлению оси Од. Не ограничивал общности рассуждений, можно считать, что ! - единичный вектор; тогда он име- ет координатти (сове«, в!по) или, что то же самое, (сов о, сов Д), где о, Д вЂ” углы между ! и положительными направлениями осей Ох, Од соответственно (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
