Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Однако это необходимое условие недостаточно для существования экстремума. Например, у седловидной поверхности в = ха — у~, изображенной на рис. 15.2, частные производные равны нулю в точке Ма, но эта точка не является экстремумом. седловина конус Рис.
15.2. В точке М( — максимум, однако частные производные не существуют. В точке Ма нет экстремума, однако частные производные равны пулю Рл. 1д. Оптимизаиаонные задачи Теорема 3 (достаточиые условия экстремума). Если функция 2 = д'(х, у) имеет в окресптости точки РО(хв, ув) первые и вторые непрерывные частные производные, то в точке Ро, в которой выполняютпся необходимые условия (15.1), имеет место экстремум в случае, ковда в этой точке Ь = У,", .
У„"„(У,"„)2 > О, (15.2) Функция имеет максимум в точке Ро(хо, уо), если в этой точке ~" < О; и минимум, если ~" > О. Если эзсе Ь < О, то функция 2 = д" (х, у) не имеет экстремума в точке Ро. Х,".,(хо, уо) = А:, У,о(хо уо) = В' У, и(хо, уо) = С. Составим определитель Ь= =АС вЂ” В2. В С Если Ь < О, то в стационарной точке Ро нет экстремума (в этом случае Ро является так называемой седловиной, или точкой минимакса; рис. 15.2). Если Ь > О, то в точке Ро есть экстремум, причем максимум, если А < О, и минимум, если А > О. Если Ь = О, то требуется дополнительное исследование. (В этом случае возможны оба случая. Для одних функций в стационарной есть экстремум, для других .
нет.) Поэтому при Ь = О проводят исследование, используя определение. Ч Пример 1. Найти экстремум функции 2=2х+8у — х — 2у . ,2 2 Таким образом, схема исследования функции 2 = Э (х, у), имеющей непрерывные первые и вторые частные производные, на экстремум такова. Вначале сужаем область поиска. Находим стационарные точки (только они могут быть точками экстремума). Далее, пусть Ро(хо, уо) является стационарной точкой функции. Значения производных второго порядка в точке Ро обозначим так: 15.1.
Экетремум функции двух переменных Решение. Находим частные производные функции: зоо х' =2 — 2х, ху =8 — 4у. Находим стационарные точки. Для этого решаем систему уравнений г' = 2 — 2 х = О, гу' = 8 — 4 д = О., С х~ у(Ро) 0 А = ххн (Ро) = — 2, Составляем выражение В = хуну(Ро) = — 4 Ь = А С вЂ” В2 = ( — 2) . ( — 4) — 0 = 8. Так как 1х > 0 и А < О, делаем вывод о наличии максимума в точке Ро(1, 2). При этом минимальное значение функции равно хкпп —— 9.
м д Пример 2. Найти экстремум функции г = 2 хо+ ху~ + 5х~+ д~+ 1. Решение. Находим частные производные функции: ~. =6хв+д~+ 10х, х~„=2хд+2д. Находим стационарные точки. Для этого решаем систему урав- нений ~ =6хв+д~+10х=О, ер„=2хд+2д=О. Решение системы дает 4 стационарные точки: Р1(0, 0), Рв( ††, 0), Рз( — 1, 2), Ре( — 1, — 2). 5 Находим значения частных производных второго порядка; = 12х+ 10; и х у — — 2д; х„"„= 2х+ 2. Исследуем каждую стационарную точку.
1) В точке Р1(0, 0): А = 10; В = 0:, С = 2; Ь = 20. Так как 1х > 0 и А > О, то в этой точке функция имеет минимум: х„н„= х(0, 0) = 1. откуда х = 1, д = 2. Таким образом, стационарной является точка Ро(1, 2). Находим значения частных производных второго порядка в точке Ро. Га. !д. Оптимизационные задачи 31О ( 5 1 4 40 2) ВточкеР2 — — 0): А= — 10 В=О С= — — Ь=— 1 3 (' ' ' 3' 3 Так как Ь ) 0 и А < О, то в этой точке функция имеет максимум: / 5 '1 17 зтах = 2 1; О) 3' з) 27 3) В точке Рз( — 1, 2): А = — 2; В = 4; С = 0; Ь = — 16. Так как Ь < О, то в этой точке нет экстремума.
4) В точке Р4( — 1 — 2): А = — 2; В = — 4; С = 0; Ь = — 16. Так как Ь < О, то в этой точке нет экстремума. й, Задача. Найти экстремум функции 2 = Зт+бу — т — тр — У 2 2 Ответ: вта = 2(0; 3) = О. В следующей главе будет рассмотрено приложение это~ о материала к задачам на экономию ресурсов. 15.2. Экстремум функции многих переменных Достаточные уюювия экстремума функции можно сформулировать и на языке квадратичной формы, изучаемой в разделе «Аналитическая геометрия и линейная алгебраа, Достаточные условия экстремума функции многих (и не только двух) переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определенности квадратичной формы Аей Ьх, айхй, б й=1 где А,й значение 7', „в исследуемой точке. Прежде чем сформулировать соответствующие теоремы приведем некоторые сведения из о квадратичных формах.
Некоторые сведения о квадратичных формах. Функция вида о П1й Л1 Лй б й=1 НВЗЫВастСЯ КоадРати СНОй фОРМОй От ПЕРЕМЕННЫХ Л1, Л2, ..., Хп; КОЭффИЦИЕПтЫ П1й НЕ ЗаВИСЯт От Л1, т2, ..., тп. 14.2. Экстремум функции многих переменных зп Если а,ь = арл для всех г, й = 1, 2, ..., и, то квадратичная форма называется симметричной. Симметричная квадратичная форма от переменных х1, хг, ..., х„называется полотсительно определттой(отрнцательио определенной), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях переменных х1, хг, ..., х„, не равных одновременно нулю.
17 Пример 1. Проверить положительную определенность формы 6х, + 5хг+ 14хз+ 4х122 — 8х1хз — 2хгхз. Решение. Форму можно представить в виде (2х1 — Зхз) + 2(х1+ х2+ хз) + З(хг — хз) . Следовательно предложенная для проверки квадратичная форма является положительно определенной. А Положительно определенные и отрицательно определенные квадратичные формы объединяют под названием знакоопреде.- ленных форм. Если симметричная квадратичная форма имеет как положительные, так и отрицательные значения, то она называется знокопеременной. Ч Пример 2.
Показать знакопеременность формы 6 х1 + хг + хз + 8 х1 тг — 8 х1 хз — 2 хг хз. 2 2,2 Решение. Значение формы равно - -6 при х1 = 1, тг = хз = = О и равно — 1 при х1 = 1, хг = — 1, хз = О. Следовательно, предложенная для проверки квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения и поэтому является знакопеременной. А Сформулируем критерий знакоопределенности симметричной квадратичной формы.
Будем называть матрицу а11 а12 ... а1„ а21 а22 ... а2н 'йа1Ь!) = ан1 анг ... а„„ Рл. 1б. Оптимизационные задачи 312 матрицей квадратичной формы Ф= ~ арзХ;ХЬ, Ц я=1 а;1„.=аы, з,к=1,2, ...,и. Определители этой матрицы аы а12 ... а1„ а21 а22 ° ° ° а2 аы а12 2= а21 а22 Ь1= аы; а1 апг ...
ап называются главными минорами матрицы )(а1ь(! квадратичной формы Ф. Критерий Сильвестра. Для того чтобы симметричная положтпельнан форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Ь1 >О, Ь2>0, ..., Ь. >О. чередовались, причем 211 <О. СИЛЪВЕСТР 18у!угзсег) Джеймс Джозеф 1!914 — 1997) — английский математик, член Лондонского королгиского общества. Родился в Лондоне. Важнейшие работгя Сильвестра относятся к алгебре, теории чисел, теории вероятностей, механике и математической физике. Он заложил основы теории элементарных делителей двух квадратичных форм, развил теорию канонических форм, т.
е. разреи~ил задачу сведения формы к простейшему виду. Ему принадлежат все тЕрмины этой тварии: инвариант, кавариант, коммутант, диекриминант и т. д. Вообще, он ввел очень много употребляемых в современной математике терминов. Учреждена медал~ им. Сильвестра. 7 Пример 3. Проверить энакоопределенность форм бх, + 5хз+ 14:уз + 4х1хз — 8х1хз — 2хзхз и б х1+ х2+ хз + 8 х1 ха — 8 х1 хз — 2 хз хз 2 2 .2 иэ примеров 1 и 2 по критерию Сильвестра. Для того чтобы симметричн я квадратичная форма была отрииательно определенной, необход мо и достаточно, чтобы знаки главных миноров ьь1 ~ ы12 ~ ° ° °; ьхп 13. а Экстремум функции многих переменных 313 Решение. Для формы нз первого примера имеем а!! = 6, азз = 5, озз = 14,. а13 = аз! = 2, а1з = оз! = — 4, азз = азз = — 1, откуда Ь! = а1! = 6 > О, 1зз = аы а13 62 =26>0, аз1 азз 2 5 6 2 — 4 2 5 — 1 = 294 > О.
— 4 — 1 14 аы а13 а1з схз = аз! а22 а23 а31 а!12 азз Ь! = а1! = 6 > О, Ьз = аы а13 6 4 = — 10(0. а 21 а 22 Поэтому соответсгвующая квадратичная форма не может быть положительно определенной нли отрицательно определенной. Следовательно она является знакопеременной. а Рассмотрим теперь как с помощью квадратичных форм находить точки экстремума. Достаточные условия экстремума. Отметим, что окрестность, минимум, максимум и экстремум для функции многих переменных определяются аналогично тому, как это сделано для функции двух переменных. Так же как и в случае функции двух переменных, доказывается Теорема 1 1необходимое условие экстремума). Ьсли фрнкЦил 3 = ~(х1, кз,...., х„) амеетп в точке Рв экстРемУм и первые. часпгные 11роиэводные 1'х, 1 = 1, 2, ..., п нег1рерывны в некоторой окрестносрт этой то"гки., то =О, 1=1,2, ...,и.
(15.3) ' ро Точки, в которых выполняются условия (15.3), называются стационара ми. Необходимое условие экстремума может быть сформулировано и в терминах дифференциалов. Введем для этого необходимые определения. Полный дифференциал функции многих переменных, который называют еще и дифференциалом первого порядка вводится Поскольку все главные миноры положительны, то квадратичная форма из примера 1 является положительно определенной. Два главных минора квадратичной формы из примера 2 удовлетворяют неравенствам Гл.
1д. Опя~имизациоииме задачи по аналогии с полным дифференциалом функции двух переменных. Пусть функция г = )(хы хз, ...,х„) имеет непрерывные частные производные г',. Дифференциалом первого тизрлдка такой функции называется выражение 0я, которое вычисляется по формуле Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е.
г1х, = Лх;. Из условий (15.3) вытекает, что в точке локального экстремума (15.4) Обратное утверждение также верно: если в точке Рв первый диффеРенЦнал фУнкЦии г = 1(хы х2, ..., хп) тожДественно Равен нулю (как функция относительно Нх,), то все частные производные в, в указанной точке также равны нулю в силу произвольности нхь Условия (15.3) или (15.4) не являются достаточными условиями экстремума. Достаточное условие экстремума формулируется с помощью привлечения второго дифференциала функции.
Пусть функция в = 1'(хы хв, ..., х„) имеет непрерывные частные производные в" ~,. Дифференциалом виюрого порядка этой функции называют выражение Здесь дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е. нх, = Ьх;, дхь = Ьхы Нетрудно видеть, что дифференциал Фг представляет собой симметричную квадратичную форму относительно дифференциалов независимых переменных Нхм дхз, ..., йхп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
