Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 48
Текст из файла (страница 48)
дЬ Отсюда т — -ьь т ( — ) =! — ь;. ь=1 ь=! ь=! и и ап+6~~ — =~ у;, ь=1 = Хь ь=1 Решение этой системы нормальных уравнений и определяет па- раметры а и 6. 7 Пример. Производство цемента т (в сотнях тонн) и расход электроэнергии у; (на 1 тонну цемента в год) за определенный период составили величины, приведенные в следующей таблице. Найти гиперболу наилучшим образом отражающую эти данные.
Поскольку 6 > О, то зависимость себестоимости единицы продукции от обьема является обратной: с увеличением и себестоимость снижается. Однако это снижение не является равномерным., так как по мере увеличения х снижение у постепенно замедляется. Ь В случае гиперболической зависимости у = д'(х) = а + — оти клопепие Я эмпирических точек (ш1, у;) от точек кривой у = ! (х) заменяется выражением 15.5 Метод наимвныпих нвадввгнвв 329 Решение. Система нормальных уравнений имеет здесь следующий вид: 5 а+ 0,453 Ь = 355, 0,453 а + 0,04303! 6 = 32,658, откуда а=485, 6=249.
Следовательно, уравнение искомой гиперболы есть 249 у = 48,5+ —. х Введем обозначения; К полные затраты электроэнергии, а удельные затраты на производственные нужды (пропорциональные выпуску продукции), 6 расходы на производственные нужлы (постоянные). Имеем К = ах+ Ь; отсюда затраты на единицу продукции составляют: К 6 у= — =а+ —. Х т Из приведенного уравнения следует, что производственные расходы на единицу продукции составляют 48,5, а непроизводственные нужды 249 квт-ч/т. а Параболическая зависимость.
В некоторых случаях теоретический и логический анализ показывает, что неравномерное изменение результативного признака должно иметь иной характер. Так, при недостаточном количестве осадков урожайность будет, естественно, очень низкой, а по мере увеличения их количества урожайность будет повьппаться. Однако это повьппепис нс будет беспредельным, так как для каждой культуры в данных конкретных условиях есть какое-то оптимальное количество осадков, при котором достигается наиболее высокая урожайность.
По мере того как количество осадков будет приближаться к оптимальной величине, рост урожайности будет постепенно замелляться и прекратится совсем при достижении этого оптимума. Дальнейшее увеличение количества осадков может привести к тому, что они окажутся излишними и вредными, в результате чего урожайность будет снижаться. Такого рода зависимость приближенно можно выразить уравнением параболы. Аналогичный характер связи можно ожидать и в ряде других случаев, например для зависимости уровня производительности труда рабочего от его возраста. г л. 10. Оннгинизаиианные задачи 220 Пусть функция у = аО+ агх+ агх 2 и есть та парабола, которая отражает зависимость у от х. Естественно искать коэффициенты ао, а1 и аг такие, чтобы сумма квадратов погрешностей ~(ао + а1 Хг + а2 Хг Уг) была минимальной. Дифференцируя эту сумму по очереди по переменным ао, а1 и аг и приравнивая к нулю частные производные, получаем: 2(ао+агх;+ агхг — У!) .1 = О, г=1 ~2(ао+агхг+агх; — у) х = О, г=1 ~2(ао+ агх;+ агхг — У;) хг = О.
г=1 Отсюда окончательно получаем систему нормальных уравнений для параболы: и и и Пав + а! ~~г Х; + аг ~~г Хг = гг уг, г=1 и н н н а0 ~~~ х;+а! ~~ х;+а2 ~ х; =~~~ х;у;, г=1 г=1 ао ~ х;+а!бах;+аг ~ х; =~х;у;. г=1 г=1 Мы привели системы нормальных уравнений только для трех видов зависимостей. В некоторых ш!учаях теоретический анализ дает основания предполагать другие зависимости. Параметры этих зависимостей также могут быть найдены с помощью метода наименьших квадратов. 3З1 ! Ю.б. Компьютерное выниеленне экстремумов 15.6.
Компьютерное вычисление экстремумов и поиск параметров сглаживающей функции Для исследования на экстремум функций как одной, так и многих переменных используется команда ехвгеша(ехрг,сопввг,нага,пч), где ехрг — выражение, экстремумы которого нужно найти, сопвгг ограничения, .таге переменные, по которым разыскивается экстремум, пю имя переменной, которой будут присвоены координаты точек экстремумов. Перед обращением к функции ехсгеша ее необходимо вызвать из стандартной библиотеки командой геае)11Ь.
Приведем соответствующие примеры. ~~ Пример 1. Найти с помощью пакета Мар)е экстремум функции +гр +бег +у +1 (см, пример 2 на с. 309). Решение. >геае)11Ь(ехсгеша): >ехсгеша(2*х"3 +хву"2 +бох"2 + у"2+1,т),тх,у),'х'); х; 152 1ш=О, у=О), (х= — 1, У=21, (ш= — 1,у= — 2) Сначала машина выводит значения экстремумов, а затем стационарные точки, а 7 Пример 2. Найти экстремум функции 13 63 ..ю втз.
(2 ш)ю шв з"л. ! д. Онеаимизапианные задачи 332 (см. с, 341 в параграфе аПовьппение урожайностии следующей главы, где рассмотрено приложение этой задачи). Решение. >геас111Ь(ехггеша): >ехсгеша(15.63ах"40.372)а(2-х)"10,158г,тт,х, х ); х; ~16.34061640) Цш = !.403773585)). Последняя запись означает: ва ее г(1,4) — 16,3. А Ч Пример 3. Найти экстремум функции е =- ш2+ 6ш — 2 у+ 1 при условии, что переменные ш и у связаны уравнением ш2+д †4 (см.
пример на с. 320). Решение. >геа411Ь (ехггеша): >ехсгеша(х"2+бах-2~, у+1,(х 2+у-4=01,(х,у1,'г'); х; 1-101 1(у = 3, ш = — 1) 1. Ответ совпадает с найденным без помощи компьютера. А Для обработки опытных и статистических данных в Мар1е имеется пакет всасв. Он содержит в себе команду 1еавгве1пэге, которая позволяет определять параметры различных зависимостей с помощью метода наименьших квадратов. Приведем применения этой команды.
Ч Пример 4. Найти методом наименыпих квадратов формулу линейной зависимости у от пх у=п ш+Ь, если известны пять значений переменной х и соответствующие им значения переменной д (см. с. 325); ш = О, 19, 40, 60, 74, д = 3, 6,8, 7,1, 9.,8, 11,2. ! б.б. Компьютерное вычиелевве эвеепремумов Решение. Вначале подгружается пакет зсасз: >и1сЬ(зсасз): >11с [1еазсзппаге [ [х, у), у=ахх+ь, 1а, ьН ) ([[0,19,40,60,74), [3,6.8,7.1,9.8,11.2)) ); д = 0,10232 ш + 3.,6303. Объясним, как была найдена аналитическая зависимость. Вначале был подгружен пакет зсахз, затем была введена команда 1еазьзс)ваге (метод наименьших квадратов) из подбиблиотеки 1[С, содержащей эту команду, введены переменные, формула зависимости.
После в фигурных скобках написаны обозначения параметров, которые требуется найти, далее в квадратных скобках вводятся эмпирические значения переменных х и у. Ответ у = 0,10232 х + 3,6303, полученный компьютером несколько отличается от зависимости д = 0,0964 г + 3,66, найденной без помощи компьютера. Связано это с ошибками ручного счета, накапливаемых при округлениях и недостаточно большим набором эмпирических данных, а 7 Пример 5. Найти методом наименьших квадратов формулу гиперболической зависимости у от ас д = а+5/и, если известны пять значений переменной х и соответствующие им значения переменной у (см.
с, 328); х = 8, 10, .12, 13,5, 14, у = 80, 72, 65, 70, 68. Решение. >и1ЬЬ(зсасз): >11С[1еазьзопаге[[х,у),у=аэЬ/х„(а,ЬН) [[[8,10,12,13.5,14), [80,72,65,70,68)) ); д = 50,855+ 221,94 Заметим, что ответ, полученный компьютером, несколько отли- 249 чается от зависимости д = 48,5 г + —, найденной без помощи компьютера. А Гл. !д. Онеаииизаиианные задачи Ч Пример 6. Найти методом наименыпих квадратов формулу параболической зависимости й от х: у=ах +бх+с, если известны четыре значений переменной т, и соответствующие им значения переменной у: х=10.,15.,17,20, у=3.,4,5,6.
Решение. >н1СЬ(всадя): >т1ь [1еаяеяацате [ [х, у), у=а+ь/х, (а, ьН ) ( [ [10, 15, 17, 20], [3, 4, 5, 6) ) ); 41 з 367 794 2810 2810 281 Заметим, что коэффициент при х~ мвл, поскольку эта зависи- мость отличается от линейной незначительно. А Пакет позволяет находить аналитические зависимости не только между двумя переменными, но и между тремя, четырьмя и большим числом переменных.
Рассмотрим соответствующие примеры. ~7 Пример 7. Найти методом наименыпих квадратов формулу линейной зависимости х от х и й: в =ах+бр+с, если известны четыре значений переменной х, четыре значений переменной у и соответствующие им значения переменной ю х = 1, 2, 3, 5, у = 2, 4, 6., 8, з = 3, 5., 7, 10. Решение. >и1СЬ(ясавя): >вайс [1еая еяе1цаге [ [х, у, х), у=аах+Ьау+с, 1а, Ь, сН ) ( [[1,2,3,5), [2,4,6,8), [3,5,7,10)) ); 1 г = х+ —,у+1.
А 2 ЗЗ6 ! З.б. Компьютерное. вычиелеяпе эвегпремумов Если некоторые эмпирические данные повторяются, то это должно учитываться при поиске зависимости. Эмпирические данные следующего примера мало отличаются от данных примера 7, но среди них есть повторяющиеся. Поэтому параметры линейной зависимости а, 5, с будут отличаться от параметров примера 7. '7 Пример 8. Найти методом наименьших квадратов формулу линейной зависимости х от х и у: если известны значения переменных х и у и соответствующие им значения переменной >и х = 1, 2, 3, 5, 5, 5, у = 2, 4, 6, 8, 8., 8, х = 3, 5, 7, 10, 15, 15.
Решение. >н1ФЬ[ввавв): >11С [1еавввйпаге [ [х, у, г1, у=а*х+Ьоуос, (а, Ь, сН 1 ( [ [1, 2, 3, 5, 5, 5), [2, 4, 6, 8, 8, 8), [3, 5, 7, 10, 15, 151 ) ); 13 7 е = — х — — у+1. А 3 6' С помощью пакета можно находить не только линейные, параболические и гиперболические, но и любые другие аналитические зависимости (экспоненциальные., логарифмические, степенные и т.
и.). Нужно лишь после команды 1еавсвс[ваге поставить соответствующую формулу. С помощью пакета всасв можно также построить графики теоретических зависимостей с указанием точек, соответствующих эмпирическим данным, а также изображать данные в виде гистограмм, вычислять средние и т. д. Математики своего рода французы: когда говоришь с ними, оии переводят твои слова на свой язык, и вот сразу получается нечто совершенно иное. И. 1ете Глава 16 Использование понятия функции многих переменных в социально-экономической сфере 16.1. Линейно-однородные производственные функции При моделировании экономики страны в качестве основных ресурсов используют затраты труда 1 и объем производственных фондов К. Национальный доход выступает в роли результата деятельности экономики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
