Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Для упаковки продукции требуется изготовить коробку в форме параллелепипеда, объем которой был бы равен Ъ'. Дно коробки изготавливается из материала, каждый квадратный сантиметр которой стоит а денежных единиц. Крышка изготавливается из материала, каждый квадратный сантиметр которой стоит 6 денежных единиц. Боковая поверхность изготовляется из материала, каждый кв. см которой стоит с денежных единиц.
Определить каковы должны быть размеры всех сторон х, у, 6, чтобы стоимость коробки Р = Р(х, у, 6) бьзла наименьшей. Ъгказание. Р(х, у, 6) = (и+ 6).гу+ 2 с 6(т+ у). Раздел У Дифференциальные и разностные уравнения Алгебраические решения получаются не иначе, как через уравнения. О. Хайям Глава 17 Дифференциальные уравнения первого порядка 17.1.
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям Уже была исследована задача вычисления неопределенного интеграла от функции 7(х). Решение этой задачи где и'(х) -" первообразная функции 7" (х), можно рассматривать как решение уравнения у' = йх)., (17.1) поскольку (и'(х) + С)' = 1'(х). Уравнение (17.1) содержит производную у'. Поэтому его называют дифференциальным уравнением. Оно имеет бесчисленное множество решений. Каждое из решений представляет некоторую первообразную от функции 7" (х) . 358 Гл.
! 7. Дифференциальные уравнения первого парадна Если потребовать, чтобы для решения у(~) выполнялось дополнительное условие у(0) = 1, то среди всех решений найдется только одно, которое ему удовлетворяет. Действительно, поскольку у(л) = г (и) + С и у(0) = = 1, то у(0) = Р'(О) + С = 1, С = 1 — Е(0), откуда у(х) = г'(ш) + С = Р'(т) + 1 — Е(0). Ч Пример. Пусть известно, что в начальный момент ври мени 8 = 0 па предприятии производилось продукции в количестве ув, а скорость роста продукции., произведенной на предприятии, пропорциональна инвестированию и(е). Найти какое количество продукции у(е) производится в каждый момент времени 1, если инвестирование предприятия постоянно и равно 3 денежным единицам.
Решение. Согласно условию задачи = и и(1) = 3 й. 221 у(0) = уо получим С = ув, откуда имеем у(1) = 3 й1+ уо, т. е. рост продукции предприятия растет линейно. А Задача. В условиях предыдущей задачи найти количество продукции у(е), произведенной в каждый момент времени 1, если инвестирование предприятия растет пропорционально времени. Ответ: ~а у(е) =ее .
+уо 2 агу (1) гй Поскольку первообразной от постоянной величины 3 йг является линейная функция 3к1+ С, то решение дифференциального уравнения представляет функцию у(1) = 3 ее 1+ С. Воспользовав- шись другим условием задачи, согласно которому !7.2. Оенввные понятия теории диффереицивяьиих уравнений 359 17.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений Дифференц!иальнылт уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции и в которые входят не только сами функции, но и их производные.
Такими уравнениями являются, например, следующие: д' = 1(х); уо+ р(х) у'+ е!(х) = О; уо' = у(х). (17.2) Если в уравнение входит первая производная и не входят производные более высокого порядка, то это уравнение называется дифференииальным уравнением первого порядка. Если же в уравнение входит вторая производная и не входят производные более высокого порядка, то опо называется дифференциальным уравнением второго порядка. Аналогично определяются дифференциальные уравнения третьего порядка, четвертого порядка и т. д. Из уравнений (17.2) первое является дифференциальным уравнением первого порядка, второе дифференциальным уравнением второго порядка, третье — дифференциальным уравнением третьего порядка. Вообще, порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (искомой функции), входящей в это уравнение.
Во многих случаях (см. п. 17.1) искомые функции являются функциями времени !. В общем случае независимая переменная, как обычно, будет обозначаться через х, а искомые функции . через у = 7'(х), г = г(х) и т. п. В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка можно записать в следующем виде: Г(х, д, у) =О, где у = у(х) — искомая неизвестная функция, д = у (х) ее производная по х, а г заданная функция переменных х, у, д'. Дифференциальные уравнения, рассмотренные в п.
17.1, имеют вид (17. 3) У = 7(х, У). Такие уравнения называются разрешенными оепносительно производной. Функция ф(х), х Е (а, Ь), называется реюиецием дифференциального уравнения (17.3), если она имеет производную ф'(х) на (а, 6), и если для любого х Е (а, 6) справедливо равенство Ф'(х) = Пх, ф(х)) зво рл. ! 7. дифференциальные уравнения первого порядке Другими словами, функция ф(х), х б (а, Ь), называется решением дифференциального уравнения (17.3), если уравнение (17.3) при подстановке ее вместо у обращается в тождество по х на интервале (а, Ь).
Аналогично определяется решение дифференциального уравнения (17.2). В дальнейшем рассматриваются лишь уравнения, разрешенные относительно производной, т. е. уравнения вида (17.3), или уравнения которые приводятся к уравнениям вида (17.3). Задание уравнения вида (17.3) равносильно заданию функции ?(х, у) переменных х, у.
Геометрически функция ? переменных х, у — это функция, определенная на некотором множестве точек плоскости с координатами х, у. Любая кривая, заданная уравнением у = ф(х), х Е (а, Ь), где ф(х) . некоторое решение уравнения (17.3), называется интегральной кривой дифференцизльного уравнения (17.3). Из этого определения и геометрического смысла производной следует, что интегральная кривая уравнения (17.3) полностью лежит в области, в которой определена функция ?, и что интегральная кривая в каждой своей точке М(х, у) имеет касательную, угловой коэффициент которой равен значению функции ? в этой точке М. Задача нахождения решения уравнения (17.3), удовлетворяющего условию (17.4) у(хо) = уо, где хо, уо заданные числа, называется задачей Конга.
Условие (17.4) называется начальным условием. Решение уравнения (17.3), удовлетворяющее начальному условию (17.4), называется ранением задачи Коши (17.3), (17.4). Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши (17.3), (17.4) означает найти интегральную кривую уравнения (17.3), которая проходит через данную точку Мв(хо, ув). Отметим без доказательства, что верна следующая Теорема (существования и единственности). Если функция ?(х, у) непрерывна в области, содерзюащей точку Мо(хв, уо), то дифференциальное у?ягвнение у' = ?(х, у) имеет частное решение у = у(х), такое, которое удовлетворяет условию у(хо) = уо.
Если, кроме того, непрерывна и частная д? производнет —, в точке. Мо(хо, уо), то релаенае единственно. дд 17.0. Дифференциальные уравнение е разделлннцимиел переменными 361 Таким образом, практически всякое изучаемое нами дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, а соответствующая задача Коши имеет единственное решение. 17.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение, в котором путем преобразований переменные могут быть разделены, называется дифференциаль~ым Уравнением с разделяющимися переменными.
Уравнение этого типа можно представить в виде где в правой части равенства каждый из двух множителей явля- ется функцией одной переменной. Так, уравнение д' = д/(а+1) является уравнением с разделяющимися переменными /(х) = 1/(т + 1), д(д) = д., а уравнение яд' — 2д = т нет. Решение уравнений с разделяющимися переменными состоит "У в следующем. Учитывая, что д = —, .перепишем уравнение дл' в виде Из этого уравнения получим уравнение с разделенными перемен- ными Почленно интегрируя последнее равенство, имеем /(л) фх. 362 Гл.
! 7. Диуяреренциальные уравнения первого нарядна При делении на д(у) мы полагали, что д(у) ~ О, поэтому решения, при которых д(у) = О, могут быть потеряны. Их наличие надо проверять отдельно. Ч Пример. Найти решение дифференциального уравнения у = у/( +1) удовлетворяющего начальным данным у = 6 при х = 2г (у(2) = = 6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
