Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 55
Текст из файла (страница 55)
° 378 Гя. 18. Дифференииа21ьные уравнения выеаггего порядка Ниже приведены применения доказанной теоремы к известной задаче о малых колебаниях пружинного маятника. Эти примеры приводятся здесь не случайно. Соответствующая физическая задача может быть интерпретирована как экономическая задача о колебаниях цен. 11 Пример 1. Материальная точка массы т,, движущаяся вдоль прямой, притягивается к неподвижному центру О с силой, пропорциональной удалению в точки от притягивающего центра (упругая сила). Найти закон движения этой точки (пренебрегая сопротивлением среды). Решение.
Согласно закону Ньютона имеем та= г', Здесь через т обозначена масса точки, через а — ускорение, через 6 сила. Закон Ньютона в условиях нашей задачи можно записать в следущей форме: ,12, т . = — 6в, ,11а где 6 -- коэффициент пропорциональности и знак минус поставлен потому, что направление действующей силы обратно по знаку смещению в. Отсюда г, —.,+ео в=О, 111 16 ГДЕ 1О = )1 — .
)/ 1П Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами р = О и 27 = и2~. Соответствующее характеристическое уравнение Й +ев =0 не имеет действительных корней. Общее решение уравнения согласно теореме имеет вид в = С1 е ' в1пД1+ Сов ' сов)3 ~. Поскольку ° =-г12 =г, г= гкг — г'1г = то в = в(1) = С1 8!П и2 е + Сэ Сов и21. 18.8. Линейные однородные уравнения во~срого порядка с ...
379 Можно положить Сэ = А сов р, С1 = А в1п ф, где А и ф некоторые другие произвольные постоянные. Отсюда, используя тригонометрические формулы, получаем я(1) = А в1п (ы 1+ ф), или в(~) = А гйп ~/ — 1 + ср Гь т т. е. материальная точка в наших условиях совершает периодические гармонические колебания около притягивающего центра с амплитудой А и начальной фазой р. д, 77 Пример 2. Материальная точка массы т, движущаяся вдоль прямой, притягивается к неподвижному центру О с силой, пропорциональной удалению в точки от притягивающего центра (упругая сила).
Найти закон движения этой точки с учетом сопротивлением среды. Решение. В отличие от предыдущего примера., помимо «упругой» силы Г= — йв на точку массы т, действует еще и сила сопротивления среды. Обычно полагают, что сила сопротивления по величине про- И,в порционвльна скорости — и направлена в противоположную и» йв '1 сторону р = — г — (. Поэтому уравнение отклонения точки от а,) неподвижного центра О имеет вид та = г + г или йв йв т —. = — г — — во., йга йг где г постоянная сопротивления среды. Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, которое в привычной форме записывается так; йвв г Ыв о —., + — — + — в=О. сИ т йГ т аао Гл.
18. Дифференииальные уравненил выпиего народна Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид й~+ — й+ — = О. го ьч Поведение решения однородного дифференциального уравнения зависит от дискриминанта характеристического уравнения. Возможны три случая: дискриминант 0 больше нуля; дискриминант равен нулю; дискриминант меньше нуля. 1.
Если дискриминант В= — — — >О, то характеристическое уравнение имеет два различных действи- тельных корня г 1 /г'1 46 г 1 (г 1 46 й~ = — — +— йо = — — —— 2т 2 (те т ' 2т 2 (те т и в(г) = С~ е~' + Сзе~' 2. Если дискриминант то характеристическое уравнение только один корень й=— 2т' который является действительным числом, и л(6) =С~е +Свбеь'=е го' (С~+С26). 3.
Если дискриминант то характеристическое уравнение не имеет действительных корней и в(6) = С~ е ' ян Д 6 + Сз еи ' сов ~Д 1. 18.3. Линейные однородные уровнення впгорого порядка е ... 381 Поскольку р г 1, 1 46 -- — Р = — й — р'/4 =— 2 2т' 2 2 т 1т/ то з(1) = е '"' С1 вгп —, ~ ) ! 46 ггг'1 + Сз соз— 2 т (т~ Чтобы проанализировать закон движения точки, введем новые обозначения. Обозначим г/(2пг) через б, .а Ят через ше. Коэффициент 6 называют коэффициентом затухания, 2 а шо циклической частотой свободных колебаний в отсутствии трения, В новых обозначениях уравнение колебаний имеет вид , н(1)+2б,'(1)+ ше з(1) = О.
Обобщая предыдущие рассуждения получаем, что для движения точки возможны три случая: 1. Если 6 ) еде, то имеет место непериодическое затухание; з(б) =С1е ' +Сзе (б-~тггбг-ывг ) г (б-тг'б~ ыг ) г Функция з(1) монотонно убывает с ростом б. Система, выведенная из состояния равновесия, асимптотически, т. е. при 1 — б со, возвращается в это состояние. 2. Если 6 = ше, то также имеет место непериодическое затухание: з(б) = е б' (С1 + Свб). 3. Если б ( ше, то система совершает затухающие колебания: з(б) = Ае е ~ ' з1п(ш 4 + фо), гДе Ав и фо - постоЯнные величины, ш = 111шоб — Р - собственпаЯ циклическая частота колебаний.
Величина А(1) = Ао е б' называется амплитудой затпухангших колебанид. бе 382 1'л. 18. Дифференциальные уравнения аыыпега парадна Колебания рыночных цен. Примеры 1 и 2 применимы не только к колебаниям пружинного маятника. Рассмотренное дифференциальное уравнение применимо к любой системе, испытывающей колебания. Например, опо может быть интерпретировано и как уравнение колебаний отклонения рыночной цены товара от его естественной цены. Более точно эта интерпретация выглядит следующим образом. Пусть в(1) отклонение рыночной цены от ее естественного значения в момент времени 1 (при в(г) = О рыночная цена в момент времени 2 совпадает с равновесной).
Найдем уравнение отклонения рыночной цены от се естественного состояния. Для этого предположим, что на рынке товаров действуют две силы, аналогичные силам упругости и сопротивления для пружинного маятника, которые условно назовем силой (тяготения) Смита и силой сохранения. Чтобы пояснить, .что понимается под силой Смита, приведем две его цитаты; «Фактическая цена, за которую обычно продается товар, называется его рыночной ценой.
Она может или превышать его естественную цену, или быть ниже ее, или же в точности совпадать с нею ... Таким образом, естественная цена как бы представляет собой центральную цену, к которой постоянно тяготеют цены всех товаров. Различные случайные обстоятельства могут иногда держать их па значительно более высоком уровне и иногда несколько понижать их по сравнению с нею.
Но каковы бы ни были препятствия, которые отклоняют цены от их устойчивого центра, они постоянно тяготеют к нему ) .» Описанное в этих цитатах «тяготение» (в чем-то схожее с силой упругости пружины) будем называть силой Смита 1"1(2). Естественно предполагать, что сила Смита направлена в сторону точки О на оси Ов и по по величине пропорциональна отклонени!о цепы в(1): 1г (1) = -Ь (1). Коэффициент пропорциональности 6 будем называть коэ9!фициснтом Слттп.
Помимо силы Смита на рынке может действовать еще и аналог силы трения, которую мы назовем силой сохране»гил г2(!). Адам Смит писал: «Одно и то же число рабочих в сельском хозяйстве производит в различные годы весьма различные количества зерна, вина, масла, хмеля и т. п., между тем как одно и то же количество прядильщиков и ткачей каждый год производит ') Смит А. Исследование о природе и причинах Богатства народов. Книга первая. Мс Ось-89, 1997.
С. 86, 58. 18.3. Линейные однородные уравнения впьорого порядка е ... 383 одинаковое или почти одинаковое количество полотна и сукна ... Собственный опыт каждого человека говорит ему, что цена полотна или сукна не подвержена столь частым и столь большим колебаниям, как цена хлеба. Цена одного рода товаров изменяется лишь в зависимости от изменений в спросе; цена другого рода товаров изменяется не только в зависимости от изменений в спросе, но и в зависимости от гораздо больших и гораздо более частых колебаний количества товара, доставляемого на рынок для удовлетворения этого спроса ) .р Таким образом, сила сохранения тем болыпе, чем более реже происходят колебания цены. Эта сила зависит от вида товара (сезонных и других колебаний количества товаров на рынке), психологии продавца (меньшей или большей склонности к изменению цены) и других факторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
