Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Решение. Имеем ду у е1х х+ 1 Чтобы разделить переменные, выполним следующие операции: 1) умножим обе части на е!х: у е!х е!у = 2) разделим обе части на у, у ~ О: ду г1х у х+1 3) интегрируем: х+1' или !п(у! = !п (х+ Ц+!п(С) = 1п )С(х+ 1)! (когда при интегрировании возникает !п )у!. константу интегрирования принято записывать в виде 1п !С!); 4) потенцируя, получаем решение у = С(х+1) (у = О (С = О) также является решением, в этом можно убедится непосредственной проверкой); 5) по начальным данным определяем произвольную постоянную 6 = С (2+ 1), .С = 2. Окончательно имеем у = 2 (х+ 1). А ! 7.!.
Линейные дичяреренциальпые уравнения звз 17.4. Линейные дифференциальные уравнения Уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка., если оно имеет вид ~у'+йх) у=д(х),, (17.5) у +((х)у=О (17.6) легко решается методом разделения переменных: — = -йх), ду у — = — !'(х) у, Иу дх откуда 1и 1у! — 1(х) Йх + 1п1С!). Потенцируя, получаем общее решение уравнения линейного од- нородного уравнения: у= е =С (17.7) где С = ~Со Общее решение неоднородного линейного уравнения находят с помощью универсального метода, именуемым .мегподом вариации постоянной. Метод вариации постоянной основывается па предварительном решении однородного уравнения (17.6).
Общее решение неоднородного уравнения ищем в методе вариации постоянной в виде решения однородного уравнения (17.7), полагая постоянную С новой неизвестной функцией аргумента х: у = С(х)е (17.8) где ! (х) и д(х) .- некоторые (пепрерывпые) функции переменной х. Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение линейно. В случае, когда функция д(х) тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае — неоднороде!ым. Линейное однородное уравнение 364 Гл. ! 7. Дифференциальные уравнения первого нарядна Подставим (17.8) в неоднородное уравнение (17.5) с тем, чтобы найти функцию С(х): С(х)е ~~~ ! ' — С(х)7(х)е ~~( ! '+ +Пх)С( ). ' =д(х) откуда после приведения подобных получаем уравнение для С'(х): С~(х) = д(х) е (~~ ! Интегрирование последнего уравнения дает выражение для С(х); С(х) = д(х) е~~! ! е!х+ Сз, подстановка которого в (17.8) приводит к окончательному виду ре|пения неоднородного уравнения (17.5): (17.
9) где Св — произвольная постоянная. й Пример 1. Решить уравнение ху' — 2у = 2х~. Решение. Разделив левую и правую части уравнения на х, приходим к линейному неоднородному уравнению: у' — 2 — = 2х. (17.10) Соответстующее однородное уравнение имеет вид 2 д — — у = О. х Разделяя переменные, получим ~~у 2 г1х д х Проинтегрировав, найдем !п )д! = 2 !п !х~ + !и С = 1п С х ., или д = Сх~. ! 7.!. Линейные дифференииольпые дровненил Полагая постоянную С новой неизвестной функцией аргуменяа х и подставляя решение однородного уравнения в (17.10), получаем С' '=2: ', откуда С(х) = 2х+ С!.
Ч Пример 2. Найти частное решение уравнения сов хе!у+ д вп!хих = 0х, удовлетворяющее условию у = 1 при х = О. Решение. Разделив все члены данного уравнения на сов х е!х, получим уравнение йд + д1йх = е!х ' соя х (17.11) которое является линейным. В отличие от примера 1 для нахо- ждения общего решения неоднородного уравнения воспользуемся готовой формулой (17.9).
Имеем ~~ с!~+ С 1,~ соя х !осов в !о соседе 1 + С 1 сов х = совх (1йх+ С) = вшх+ С совх. Используя начальные условия у = 1, х = О, имеем 1 = гйп О + С сов О, откуда С = 1. Таким образом, искомое решение имеет вид у = вшх+совх. А Задача 1. Найти решение уравнения йд — + х у = х. йх Ответ: д = 1+ Се Следовательно общее решение искомого уравнения имеет вид д = (2х+ С!) х~, А 366 Гл.
! 7. Дифференциальные уравнения первого порядка Задача 2. Найти решение уравнения г1у хд 2 дх 1+х- 1+х удовлетворяющее начальному условию д = 3 при х = О. Ответ: д = 2 т+ 3Д+ х2. 17.5. Уравнение Бернулли Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка, не являясь линейными, могут быть приведены к линейным после предварительных преобразований. Примером может служить уравнение (17. 12) которое называется уравнением Бернулли. При п = 1 уравнение (17.12) становится уравнением с разделяющимися переменными. При п = О уравнение (17.12) есть линейное уравнение.
Если п число, отличное от нуля и единицы, то при помощи подстановки 2 = д1 " уравнение (17.12) приводится к линейному уравнению относительно новой функции 2. Итак, пусть п ф О, и ~ 1. Введем новую функцию (17.13) 2=д тогда 2 =(1 — п)д пд. Разделим обе части уравнения (17.12) на д": д + г (х) д = д(х).
Отсюда 2 /(1 — п) + 1(х) д = д(х), или, что то же самое, (17.14) х + (1 — п) 1(х) д = (1 — и) д(х). Это уже линейное уравнение, решение которого описано в п. 17.4. г7 Пример 1. Решить уравнение д+ — '=д !пх. I д 2 Открьггие исчисления бесконечно малых дало математикам возможность свести законы движения тел к аналитическим уравнениям.
Глава 18 Дифференциальные уравнения высшего порядка 18.1. Основные понятия Рассмотрим одну из задач, связанную с дифференциальным уравнением второго порядка. 7 Пример 1. На тсло, движущееся по прямой, в направлении движения действует некоторая постоянная сила. Найти, как зависит путь, пройденный телом, от времени. Решение. Обозначим длину пути через н, а время -- червз ~. Постоянная сила вызывает постоянное ускорение, которое обозначим через д. Поскольку ускорение есть вторая производная пути по времени, получаем слсдующсе дифференциальное уравнение: И 8 в =д=сопв~, ~й Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго поряд- ка. Поскольку д в Н /да~ — — — ~ =д=сопвС, ,~~в,о ~,ц / то да — =д~+С„ Ж где С1 произвольная постоянная.
Следовательно, скорость тевз ла — есть линейная функция времсни. Если в начальный момент ~й 18.1. Оеновпие понютию времени (1 = 0) скорость тела равнялась О, то аг — — С =О, а1 в противном случае С1 величина начальной скорости (в'(0) = = С1). После вторичного интегрирования получаем г = в(1) = — + С1 1+ Свч у1 2 где Сз — произвольная постоянная. Физический смысл постоянной Сг — путь, пройденным телом до момента времени 1 = О.
Если пройденный путь отмерять от того мест,, где тело находилось в момент 1 = О, то Сз = О. Если и начальная скорость С~ равна О, то уравнение движения принимает вид (уравнение свободного падения). Важно отметить, что в общем случае уравнение движения содержит независимые друг от друга произвольные постоянные: С1 и Сг. Это характерно для диффе- ренциальных уравнений второго порядка.
А Рассмотренное дифференциальное уравнение является типичным обыкновенным дифференциальных уравнением второго порядка. Вообще же, дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид Е(х, д, у', до) = О. (18.1) Если (18.1) разрешено относительно второй производной, то получаем уравнение до = 1(х, д, д'). (18.2) Как и в случае уравнения первого порядка, решением уравнению (18.2) называется функция у = д(х), определенная на некотором интервале (а, 6), которая обращает это уравнение в тождество.
График решения называется интегральной кривой. Справедлива следующая Теорема 1 (существования и единственности). Если функцию 1(х, д, д') функцию трех независимых переменных х, у и у' непрерывна в области., еодерхсащей 370 1'л. 1З. Дифференциальные уравнение вышнего порядка точку МО(хе УО: 11О), то дифференциальное ураонение уа = Пх, д: д') (18.3) имеет решение у = у(х) такое, что У(хо) = Уо, У (хо) = Уо (18.4) д7' д7" Если, кроме того, непрерывны и частные производные — и дд дд' ' то это решение уравнения едииствегто. у = д(х, С1, Сг), если она является решением этого уравнения при любых постоянных величинах С1 и Сг, которые могут быть определены единственным образом при заданных начальных условиях (18.4). Частным решением уравнения (18.3) называется общее решение этого уравнения при фиксированных постоянных С1 и Сон у = у (х,С„ С,) . о о1 В зависимости от способов решения дифференциальные уравнения второго порядка разделяются па различные типы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
