Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 50
Текст из файла (страница 50)
По правилу дифференцирования степенной функции имеем дУ дК дУ УО (» се) К дЬ Поскольку К > О, 1 > О, О < се < 1, из выражений для первых частных производных функции Кобба-Дугласа вытекает (16.3): дУ вЂ” >О, — >О. дУ ОК ' дl Вывод: Первые частные производные производственной функции положительны.
А каковы знаки вторых частных производных производственной функции? Найдем вторые частные производные для функции Кобба— Дугласа: 2 = Увсь(о 1)К д У и — 2 1 — ьь дК2 2у дл2 = УО (1 — а) ( — о) К 1 двУ дкдб= 0 (1 — ) А длдк- 0 (1 ) Поскольку К > О, Ь > О, О < о < 1ь все множители, за исключением (а — 1) < О и ( — а) < О в предыдущих равенствах, положительны. Поэтому дОУ дКО <О дьУ вЂ”, <О, дйв 344 !"л. 1оп Иепольооеакие понлтил функции многих переменных ...
д2~ ДКДЛ ": а2~. ДЬ ДК Что означают эти неравенства? Напомним, что если вторая производная положительна, то график функции одной переменной является выпуклым вниз, а если вторая производная отрицательна, то график направлен выпуклостью вверх. Знак второй производной величины показывает рост или убывание предельной величины. Если вторая производная производственной функции (одной переменной) положительна, то эффективность ресурса растет, если отрицательна, эффективность падает. дгу д2у Знаки производных 2 и .
отрицательны. Это означает, что дК2 дА2 эффективность трудовых и производственных ресурсов убывает. Это вполне согласуется с реальными процессами экономики. Наблюдения показывают, что в условиях экстенсивного роста производства (увеличивается объем производства без изменения технологии) наращивание затрат лишь одного производственного ресурса приводит к сниженикг его эффективности. Так, если увеличивать число станков, обслуживаемых одним рабочим, не изменяя технологические характеристики станков, то на каждом новом станке будет производиться все меньшее дополнительное количество продукции (при неизменном числе рабочих, они просто не будут поспевать обслуживать все станки). То же происходит, если увеличивать количество рабочих, оставляя неизменным количество станков.
Эффективность каждого рабочого будет падать (из-за увеличения простоев). Таким образом, неравенства вполне естественны. д2у дгу Вывод: Вторые частные производные — и —, произ- ду 2 дгг2 водствепной функции отрицательны. Увеличение лишь одного производственного ресурса приводит к снижению его эффективности. Однако, если увеличивать !6.5. Линии паепеалкнага аытуека и предельные показатели акапамики 34а все ресурсы, то можно добиться увеличения эффективности каждого ресурса. Математически это можно записать следующим образом: Вывод: Вторые смешанные частные производные производственной функции положительны. 16.5.
Линии постоянного выпуска и предельные показатели экономики Линии постоянного выпуска. Напомним (с. 280), что множество точек плоскости называется линией дровни функции если координаты этих точек удовлетворяют уравнению ~(х, д) = С, где С вЂ” посто!!нна!!. Линии уровня функции е = х~ + !!~ .— концентрические окружности х+у =С радиуса !! = х!С с центром в начале координат.
Пусть процесс производства описывается с помощью двухфакторной производственной функции е = !'(х, у). Тогда равенство д(хо, уо) = С означает, что при затратах ресурсов в объемах х=хо; у=до выпуск продукции составляет С единиц (в натуральном или стоимостном выражении). Множество точек х и д, удовлетворяющих равенству У(х, д) = У(хо, уе) = С, выражает соответствующие затраты ресурсов, при которых обеспечивается выпуск в обьеме С. Таким образом, линия уровня производственной функции описывает такие затраты ресурсов, 346 Рл.
!6. Игиольооввкие понятия функции многих переменных ... при которых обеспечивается один и тот же выпуск С. Поэтому линии уровня производственных функций называют линиями постоянного выпуска или изоквинтпами (от греческого слова «изо» -- равный и немецкого ()папФпш . «количество»). Предельная норма замещения. Уравнение линии постоянного выпуска производственной функции » = »(х1, х2) имеет вид ~(х1,х2) = С. Продифферснцируем его. Получим в!»=в!С=О, а значит, д» д» вЂ” Ьх1+ — Ьх2 = О.
дх! д„ Отсюда выразим отношения приращений затрат ресурсов и обо- значим их соответственно у21 и у!2. д» глхх дх~ "/21; Ьх» д» дхг д» Ьх! дх» Ьх» д» = 712. дх1 Величина у1! называется коэффициентом эквивалентной замепяемости ресурсов или предельной нормой замещения. Она показывает, какое количество одного ресурса может быть высвобождено при увеличении затрат другого на единицу. Ясно, что числа у1д и у, обратны друг другу.
В предыдущем параграфе было показано, что предельные д» производительности ресурсов — положительны, поэтому дх; !о.о. Линии поепзояннозо оке~узка и предельние показатели эконоэлики 347 Для функции Кобба — Дугласа у у Ка11 — а у Ко 111 о о у дК К у (1 )Ки1 — а оу дЬ Ь Отсюда 1 — о К 7К! = о Ь о Ь 7ЬК = 1 — о К Вывод: Для производственной функции Кобба- Дугласа пРедельнаЯ ноРма 7кь замещениЯ пРЯмо пРопоРциональна фондовооруженности труда К/Ь, а предельная норма замещения ус к пропорциональна трудоемкости Ь/К.
Коэффициенты эластичности выпуска по затратам ресурсов. Пусть аргумент х1 функции в = 1(х1, х2) получил приращение 1лх1, а значение х2 осталось прежним. Изменение значения функции выражается частным приращением по х11 еях,з 2 (Х1 + еях1, Х2) — /(Х1, Х2). 1зх1 1я„з Составим относительные приращения — и Х1 3 Отношение относительного приращения функции к относительному приращению аргумента х1, равное . 100%: 100% показывает, на сколько в среднем изменится значение функции при увеличении х1 на !Я (т.
с. от х1 до х1+ 0,01 х1). Найдем предел этого отношения при зЗ х„— 1 0: Е1 = !пп *' . 100оэо: — 100оэео Х1 . 11,2 х~ — !пп аз, -зп Ь1Х1 348 !'л. !он Иепольооаапие понлтил функции многих переменных ... Аналогично хх / Е~= —.х Е! и Ео называются коле)хрициенгпами эластичносьчи выпуски по первому и второму ресурсу соответственно. Коэффициенты Е; показывают, на сколько процентов приблизительно изменится значение функции (величина выпуска), если затраты соответствующего ресурса увеличили на один процент, оставив неизменными затраты другого ресурса. Поскольку х; Е;= — ' отсюда следует Вывод: Коэффициент эластичности Е, производственной функции х = ! (х!, хз) равен отношению предельной производительности х' соответствующего ресурса к его средней производительности —.
х! Из этого вывода следует, что равенство единице коэффициента эластичности выпуска по г-му ресурсу означает совпадение предельной и средней производительности этого ресурса: Задача. Показать, что для функции Кобба. Дугласа Ег, = 1 — сг. Ек=а, 16.6. Экономический смысл дифференциала производственной функции Пусть функция х = 1(хы хз) выражает зависимость стоимости выпущенной продукции фирмы от количества затраченных ресурсов хо дг Частный дифференциал е!х,х = — !хх,, являясь произдх; дг ведением предельной производительности на его дополнидх; тельные затраты Ьх;„дает приближенное значение стоимости, ! й.
о. Энонолсичесний смысл дифференциала проивводсснвеппой функции 349 произведенной за счет увеличения х! на Ьх1. Тогда полный дифференциал де де сЬ = —, !ах! + —, Ьхз дв! дл2 42 > Р! Ьш1+ Р2 Ьт2 Вывод: Производство выгодно только тогда, когда диф- ференциал произведенной стоимости больше суммарных затрат. Последнее неравенство можно записать в следующей форме; де дз ~ге1 + д !~л2 > Р1 ~л1 + Р2 слл2. дх! два Это неравенство выполняется лишь при условии, что — Р1 Ьш1+ — Р2 Ьш2 > О. Так как Ьш! > 0 и Ьтз > О, последнее неравенство заведомо выполнено в случае, когда дс — — Р2 > 0 д, дл — — Р1>О дя! причем хотя бы одно из этих неравенств является строгим.
Вывод: Если цены ресурсов не превосходят их предельных производительностей, то убытков при их приобретении не будет. приближонно выражает изменение выпуска продукции Ье при небольших изменениях затрат обоих ресурсов. Если Р! — цена единицы первого ресурса (скажем, меди), а Р2 цена единицы второго ресурса (например, серебра), то затраты на приобретение дополнительного количества меди !' т! составят Р1сах1 денежных единиц, а на приобретение дополнительного количества серебра Ьх! составят Р1 Ьх1. СледовательНО, Р1 слт! + Р2 сал2 СуММа Затрат На дОПОЛНИтЕЛЬНОЕ Прнобретение ресурсов. Производство вьшодно только тогда, когда дополнительно произведенная стоимость превосходит затраты, связанные с ее созданием, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
