Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 51
Текст из файла (страница 51)
е. 350 ! л. !Л. Иепольвееапие поветин функции многих переменных ... 16.7. Максимизация прибыли от производства товаров разных видов В экономике бывает важно определить в каком соотношении следует выпускать различные товары, чтобы получить максимальную прибыль от их продажи. Решим одну из задач подобного рода. Пусть хм хе, ..., хп количества п различных производимых товаров. Будем предполагать, что товары х, продаются по фиксированным ценам Р, и моментально реализуются.
Затраты на производство этих товаров задаются функцией издержек С = С(хы хэ...., хп). Тогда функция прибыли от реализации товаров является функцией от п переменных хы хэ, ..., хп, которая вычисляется по формуле П = П(х!, хэ, .", хп) = р,х,+ р,х,+. +Рпхп — С(х„х, "., хп) (16.4) Спрашивается; какое количество каждого товара нужно производить, чтобы иметь наибольшую прибыль, от реализации всех товаров? Для того чтобы ответить на этот вопрос нужно найти наибольшее значение функции П.
Одним из естественных условий при которых ищется экстремум, является следующее: х, > 0 (количество произведенных товаров не может быть отрицательным) . е! Пример 1. Пусть производится два вида товаров, обозначим их количества х и у. Пусть цены на эти товары соответственно Р~ = 16 и Рт = 14, а функция затрат С = хе + Зх у+ у~. Требуется ответить на вопрос; Какое количество обоих видов товаров нужно произвести, чтобы иметь наибольшее значение прибыли? Решение. Согласно формуле (16.4) прибыль выражается функцией П(, и) = Рб х + 14 д — (х + 6 х д + и ) .
Требуотся найти наибольшее значение П при уешовиях х>0, 1!>О (16.5) 1б.7. Мансимизацил прибыли от производства товаров разных видов 351 (количество произведенных товаров не может быть отрицательным). Необходимые условия локального экстремума приводят к системе алгебраических уравнений П', =16 — 2х — Зд= О, П'„= 14 — Зх — 2д = О, решением которой являются значения х = 2, д = 4. Поскольку в стационарной точке П", = — 2<0, П(О,д) = 14д — д, П(х, 0) = 16х — х~. первая функция имеет максимум при д = 7, вторая при х = 8. При этом П(0, 7) = 49, П(8, 0) = 64.
Таким образом, наибольшее значение достигается при л = 8 и д = О. Следователыю, второй товар лучше вообще не произ- водить. 1 Наибольшее значение в задачах такого рода может достигаться и внутри квадранта (16.4). Задача. Пусть производится два вида товаров. обозначим их количества х и д. Пусть цены на эти товары соответственно Р1 = 8 и Рэ = 10, а функция затрат — хя + х д + д~ Требуется определить какоо количество обоих видов товаров нужно произвести, чтобы иметь наибольшее значение прибыли. Ответ: ед = 2, д = 4, П (2,4) = 28.
Вывод: В одних случаях выгодно производить лишь один товар из всего ассортимента выпускаемой продукции, в других — все товары, но в определенной пропорции. Про- порция зависит от цен на товары и функции затрат. то согласно достаточному условию локального экстремума найденная стационарная точка определяет локальный максимум функции прибыли, причем П(2, 4) = 44. Однако наибольшее значение в квадранте (16.4) достигается па его границе. Действительно, при х = 0 и д = 0 имеем соответственно: ао2 рл. !о.
Иепольвоввкие понлтил функции многих переменных ... 7 Пример 2. Пусть производится три вида товаров, обозначим их количества х, у и г. Пусть цены на эти товары соответственно Р1 = 7, Рв = 8 и Рз = 9, а функция затрат С=х +у +х +хд+хх+дх. Требуется определить: какое количество обоих видов товаров нужно произвести, чтобы иметь наибольшее значение прибыли.
Решение. Согласно формуло (16.4) прибыль выражается функцией П(х,у) = 7х+8у+9х — (х~+у + в~+ хд+ хе+ ух). Требуется найти наибольшее значение П при естественных огра- ничениях: х>0, у>0., в>0. (16.6) Необходимые условия локального экстремума приводят к системе алгебраических уравнений П' =7 — 2х — у — в=0, П' =8 — х — 2д — в=0 у 1 П' =9 — х — д — 2х=0 у решением которой являются значения х = 1, у = 2, х = 3. По- скольку в стационарной точке Пхх = Пуу — — Пгг = -2, П"„= П",, = Р„", = — 1, то гессиан имеет вид — 2 — 1 — 1 — 1 — 2 — 1 — 1 — 1 — 2 е1ех(Н) = Мы рассматриваем задачу максимизации прибыли от производства товаров разных видов.
Продемонстрируем теперь применение к этой задаче критерия Сильвестра (с. 312) и достаточных условий экстремума, сформулированных с помощью квадратичных форм (с. 315). 333 1б.б. Экономил ресурсов При этом главные миноры соответствующей квадратичной формы: 1л1= — 2<0, =3>0, — 2 — 1 — 1 — 2 Ьэ = с1е1(Н) = — 4 < О. Отсюда согласно достаточному уш1овию локального экстремума найденная стационарная точка определяет локальный максимум функции прибыли. Причем, П(1, 2,3) = 25. Значения функции прибыли на границе тела (16.6) меныпе 25.
Действительно, наибольшее значение функции прибыли П(х, д, х) при х = 0 равно 73/3 — 24,33, при д = 0 равно приблизительно 22,33, а при в = 0 равно 19. Таким образом, наиболыпее значение достигается при х = 1, д = 2, в = 3. Следовательно, товары в данном случае лучше производить в соотношении 1:2:3. и 16.8. Экономия ресурсов В предыдущей главе (с. 305) были рассмотрены методы поиска экстремумов функции двух переменных. В настоящем параграфе рассмотрены некоторые приложения этих задач к задачам экономии ресурсов.
у Пример 1. Рассчитать размеры параллелепипеда так, чтобы при заданном об"ьеме 1' = !ма площадь его поверхности была минимальной. В качестве приложения эту задачу можно сформулировать иначе: рассчитать размеры коробки так, чтобы на ее изготовление ушло наименыпсе количество материала. Решение.
Обозначим через х и у размеры основания, тогда высота 6 вычислится из соотношения 1 = х д 6, т. с. 6 = —. ху Составим функцию площади Я=2хд+2 — '+2 — =2ху+2~ — + — 1, хфО,дфО. у, х, 1т1 ху хд х у Можно предположить, что существуют такие х и у, при которых Я достигает наименьшего значения. Задача состоит в том, чтобы найти эти числа. 12 Я. и Аятяяоя 354 1л. 1о. Иепохьзоеакие попятил функции многих переменных ...
Исследуем на экстремум функцию гг 1 11 В = В(т, у) = 2х у+ 2 ( — + — ) з,х уг) двух переменных х и у (если бы в условии задачи было указано, что основание квадрат, то В была бы функцией лишь одной переменной): 1) Найдем частные производные: В (х, у) =2у — —,, хг ' Я,(х, у) = 2х — — „. 2) Приравниваем к нулю частные производные 1 у — —.=О, 1 х — — „= О. уз х — х =О. у= — » На множестве действительных чисел эта система уравнений имеет одно решение: х=1, У=1, 3) Найдем частные производные второго порядка: 4 Вхх з~ х А= —,, А=4>О, 4 Вуу з у С=4, Во В=2, Ь = А С вЂ” В~ = 12 > О.
Так как Ь > О, А > О, то в точке (1, 1) функция имеет минимум: Внии=В(1~ 1) =2'1'1+2~ + — =6 (м ). а ,,1 1/ Подставим у = 1/х~, найденное из первого уравнения, во второе уравнение. Имеем 1о.о. Экономия ресурсов Решение. Обозначим через х и у размеры основания, тогда высота 6 вычислится из соотношения Г = х у 6, т. е. 6 = Ъ'/(ху). Составим функцию площади 2ур 2хр Г1 11 .5' = хд+ ' + = ху+21' ~ — + — ), х ф О, у ~ 0 ху ху х у (произведение х у, в отличие от предыдущего примера, учитываем лишь один раз, поскольку бассейн не имеет крышки). Исследуем на эксчремум функцию В = В(х, у) = ху+ 2И ~ — + — ) .
/1 11 1) Найдем частные производные: Як(х, у) = у — 2 — ,, Я (х,у)=х — 2 —, е у 1 в ' 2) Приравниваем нулю частные производные И д — — =О, х — 2 —., =О. х , 2 у Решение последней системы дает одну стационарную точку Р (~/2 И, ъ~2 Г) . 3) Найдем частные производные второго порядка; ~як 1 в х А=В" (Ро)=4>0 у С = Ь~~у(Ро) = 2; В = Вку(Ре) = 1 Ь=АС вЂ” В~=4 — 1=3>0. Так как Ь > О, А > О, то в точке Рв функция имеет минимум. Если х=у= Ф2Г, Ч Пример 2. Определить размеры прямоугольного бассейна данного объема й', чтобы на облицовку (дна и стен) потребовалось наименьшее количество материала.
ЗЗ6 !'л. !о. Иепольвоввкие понлтил функции многих переменных ... то 6 = — ъ'2 1l. 2 зев Таким образом, дно бассейна есть квадрат со стороной зг21', а глубина бассейна в два раза меньше стороны этого квадрата. А Ответ з 2сГ з а+Ь Заметим, что при а = 6 = с = 1г = 1 получаем х = у = 6 = 1 (решение первого примера)., а при Ь = О, а = с получаем 6 = —, ъ"2Ъ' 2 х = у = зг2 1г, (решение второго примера). Задача.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
