Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Поэтому в макроэкономике У рассматривают как функцию двух независимых переменных К и Ь: У = К(К, 1). При моделировании экономической деятельности отдельного предприятия., цеха и т. п. через У обозначают об ьем выпускаемой продукции. Как в макроэкономике, так и в микроэкономикс часто предполагают, что при отсутствии хотя бы одного ресурса производство невозможно, т. е. Р'(О, Ь) = О, г'(К, О) = О. Считают также, что при пропорциональном росте используемых ресурсов производства объем производства увеличивается в такое жс число раз.
Математически это можно записать так: (16. 1) Так, если т = 2 (вдвое увеличены затраты каждого ресурса), то выпуск увеличивается в два раза. 16.1. Линейно-однородные производственные функции 337 Функции, обладающие свойством (16.1), называют линейнооднорог) иыми. Наиболее широкое применение имеют две из линейно-однородных функций 1)>уннция Кобба — Дугласа и функция с постоянными пропорциями. Функция Кобба — Дугласа.
Функцией Кобба -Дугласа называется производственная функция следующего вида (16.2) ДУГЛАС (Юонй)аз) Пол Говард (1692 — 1976) — американский зкономист. В 1947 н совместно с математиком Ч. Коббом разработш> производственную функцию, получившую впоследствии название функции Кобба Дугласа. Функция Кобба-Дугласаустановила математическую зависимость роста национального дохода от изменений двух факторов производства — капитала н труда. Дуг>шс совместно с Коббом провел одно из первых зконометрическнх нсследованнй динамики национального дохода, использовав американскук> статистику 20 30-х гг.
ХХ в. КОБВ (СоЬЬ) Чарльз . американский математик, разработавший совместно с П. Дугласом концепцию производственной функции. При К = 0 результат функционирования экономического объекта =У, О 11 =О. К такому же выводу приходим и при А = О, т. е. оба ресурса абсолютно необходимы. Если в функции Кобба Дугласа переменные К и ) увеличить в ш раз, то в такое же количество раз возрастет и У. Действительно, Е(шК, шЛ) = Уо(шК) (ш1)~ =УошоК ш ~1 о = тГ(К 1). Знание параметров Уо и а функции Кобба.
Дугласа позволяет делать приближенные прогнозы значений национального дохода. На основании данных по экономике СССР, опубликованных за 1960 — 1985 гг., были рассчитаны параметры функции КоббаДугласа: Ув = 1,022> о = 0,5382. При подстановке фактических значений К и 1, за 1986 год ошибка прогноза составила Зоуе . 338 !'л. !Гп Иеполыгоаапие покатил функции многих пеуеменггых ... Для увеличения точности прогноза в функцию Кобба — Дугласа иногда вводят дополнительный множитель е", который характеризует темп прироста выпуска под влиянием научно-технического прогресса; 1 =Уве~ К 1~. Требование сг + гг = 1 здесь является необязательным.
Эта функция называется функцией Кобба-Дугласа с учетом научнотехнического прогресса. На основании данных по экономике СССР, опубликованных за 1960 — 1985 гг., функция имела вид: у ! Оо8 0,0294! К0,0749 ге 0,2399 Функция с постоянными пропорциями. Функцию с постоянными пропорциями выбиракгт тогда, когда один из ресурсов производства дефицитен, а второй избыточен. Такая функция содержит в себе понятие рациональной пропорции между двумя ресурсами.
Этим обьясняется ее использование в балансовых моделях планирования. Простейшая функция с постоянными пропорциями задается с помощью формулы Как видно из формулы., если один из ресурсов, например !., избыточен, то его увеличение не является разумным, так как оно не отразится на величине У, а приводит лишь к дополнительным расходам. Свое название функция получила так потому, что для увеличения У и недопущения лишних расходов необходимо увеличивать оба ресурса в постоянной пропорции. Задача 1. Показать, что функция с постоянными пропорциями является линейно однородной, т.
е. удовлетворяет соотношению г'(тК, ягой) = пгг'(К, Л), ьч ) О. Задача 2. Показать, что функция с постоянными пропорциями удовлетворяет соотногпениям К(0, ьч 1,) = !'"(К, 0) = О. 16.а Многофакторные проигеодетеенные функции ... ззй 16.2. Многофакторные производственные функции и предельная производительность В предыдущем параграфе предполагалось, что производственная функция является линейно-однородной функцией двух переменных.
Такая функция — лишь частный случай производственной функции. В общем случае производственной функцией называется экономико-математическое выражение зависимости результатов производственной деятельности от обусловивших эти результаты показателей. Предполагают, что объем производства может зависеть не от двух, а от большего числа переменных х1, х2, з. нн, Например, можно считать, что национальный доход зависит не от двух переменных: трудовых ресурсов и производственных фондов, а от трех: трудовых ресурсов, производственных фондов и природных ресурсов.
Производственные функции, в которых устанавливается зависимость об ьема производства продукции от наличия или потребления ресурсов, называют также функциями выпуски, а функции, в которых рассматривается зависимость затрат на производство от выпуска продукции, —.- функцией производствепныл затрат,. Ранее мы предполагали, что производственная функция линейно-однородна. В общем же случае допускается, что производственная функция может быть просто однородной. Требование линейности необязательно. Функция г' = Р'(л1, т2, ..., ген) называется однородной степени, й > О, если Г'(тХ1, тХ2, ..., Хн) = т~ Г(Л1, Х2, ..., Хн), й > О. Это равенство означает, что с ростом масштаба производства в т раз, объем выпуска возрастает в т" раз.
При й > 1 имеем рост эффективности производства. При й ( 1 -- падение эффективности. При й = 1 (линейно-однородная функция) имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба. '7 Пример 1. Показать, что функция р( ) 2+ 2+ 2 однородна. 340 !'л. го. Иепольвоввпие понлтил функции многих переменных ... Решение. Если т произвольное число, то г'(тх, т.у, тх) = (тх) +(ту) +(т.х) =гп х +т у +т х =гп~г(х,у,х).
Следовательно, заданная функция есть однородная функция вто- рой степени. А 7 Пример 2. Показать, что функция '(х: у) =","., х — у однородна. Решение. Если т — произвольное число, то (тх) — (ту) т(х — у ) Следовательно, заданная функция есть однородная функция ми- нус первой степени. а Функция г'(х, у) = 3+ х + у не является однородной, поскольку для нее не выполняется соот- ветствующее свойство. Для производственной функции = г' (хм х2~ ° ° °; хп) отношение Р'/х; выражает среднюю производительность (отдачу, эффективность) г-го ресурса, т.
е. величину общественного продукта на единицу г-го ресурса. А частная производная Ь,, Е' ах,- о Ьх, характеризует предельную производительность (отдачу, зффективность) г-го ресурса и показывает приближенно изменение величины общественного продукта при изменении ькго ресурса на единицу (при постоянстве других ресурсов).
! б.б. !!аеыпзенне урожайности В экономике иногда используют следующую теорему. Теорема (Эйлера). Если функции Р(ац, хз, ..., х„) есть однородная функция И-й степени, то Из теоремы Эйлера следует, что для линейно-однородной функции (1с = 1) КоббачДугласа выполняется соотношение дг (К, А) дг (К, Е) дК дЬ Вывод: Произведение затрат живого труда на предельную производительность живого труда плюс произведение затрат овеществленного труда на предельную производительность овеществленного труда равняется полной стоимости продукции. 16.3. Повышение урожайности В предыдущей главе были рассмотрены методы поиска наибольших и наименьших значений функции двух переменных в замкнутой области (с.
316). Рассмотрим приложение данных задач к задаче повышения урожайности. Зависимость урожайности кукурузы з (ц,'га) от затрат на удобрения х (руб./га) и затрат на семена у (руб/га) выражается следующей формулой 1в цопах 1970 г.) ): 1б 03 0.872 у0,758 х ) 0 у ) 0 Рассматриваемая производственная функция является произведением двух степенных функций. Она достигает минимума, равного нулю в точках Р(0, у) и !б1х, О), где х и у любые положительные числа, и возрастает с возрастанием х и у. О максимуме можно говорить только тогда, когда по условиям производства необходимо учитывать дополнительные ограничения. Определим при каких значениях х и у урожайность достигает наиболыпего значения, если суммарные затраты на приобретение удобрений и семян х + у равны 2 (соответствует цепам 1970 г.) з) . ') Смс Ьраслаеец !г!. Рп Экономико-математические методы в ор~анизации и планировании сельскохозяйственного производства.
Мс 1971. т) См )16, с 196) 342 !'л. !6. Иепольеоеапие покатил функции многих переменных ... Учитывая ограничения х + у = 2, делаем вывод, что область определения функции х = г(х, у) — треугольник, заданный неравенствами х>0, у>0, х+у<2. Наибольшее значение функции достигается на границе области. Выразим у через х из равенства т + у = 2 и подставим полученное значение в выражения для производственной функции. Имеем — 15 63 .о зтз (2 .)о !зз Исследуем полученную функцию на экстремум: ' = 1563 (0372 -оввз(2 — х)о'зз- хо,зтз 0 156 (2 х) — о,з42) Рб 63 хо,зтз (2 — х) — о,з42 (О 372 х ! (2 — х) — О,Р56) .
Имеем три критические точки т! = 0 (соответствует случаю, когда множитель хо:зтз = 0), хз = 1,404 (0,372 х ~ (2 — х)— — 0,158 = 0), хз = 2 ((2 — х) о з42 = оо), причем з! = 0 при х!=О, 22=16,34 при х2=1,404, зз=О при хо=2. Наибольшим среди найденных трех значений з, является зз = = 16,34. Таким образом, наибольшая урожайность кукурузы будет достигнута при затратах на удобрения в размере 1,404 руб.
и затратах на семена в размере 0,596 руб. 16.4. Рост производства и частные производные Рассмотрим, как связаны между собой рост производства и знаки частных производных. Как известно, если производная функции положительна, то сама функция возрастает. То же можно сказать и о частных производных. Если, например, з (х, у) > О, то это означает, что функция з(х, у) возрастает, если переменная у неизменна. Если производственная функция Р'(К, А) непрерывно дифференцируема, то естественно считать, что , Е' (К.
Л) > О, й," (К, 1,) > 0,1 (16.3) 16.1. Рост сьроизводства и частные ироизводные 343 поскольку рост количества используемых фондов К и рост числа трудящихся ! приводят к росту национального дохода У = = д(К, 1,). Проверим это свойство для функции Кобба. Дугласа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
