Ахтямов - Математика для социологов и экономистов - 2004 (947340), страница 44
Текст из файла (страница 44)
6) Р а к + Е ~ у д + ( Е к у + Г у ~ д е ) д + Г ~ д к 0 откуда (так как Р'„' ф 0) имеем Аналогичные формулы легко получить и в случае других частных производных высшего порядка, и в случае уравне- ния г'(хм хо, ..., х„, д) = 0 с ббльшим числом переменных. ~7 Пример. Неявная функция задана уравнением й.(х., д) = ~ хз+д — 16- =О. д Найти д' и д". Решение. Дифференцируя последовательно по х (причем д считаем функцией от х), получим х+уд' хд' — д х +у х +у или х+дд =хд — д; затем 1+ (д ) + д д ' = х д".
Эта формула выражает правило дифференцирования неявной функции д от переменной х. Если функция г'(х, д) имеет еще и непрерывные производныс второго порядка, то выражение, стоящее в равенстве (14.6) справа, может быть продифференцировано по х, следовательно существует и вторая производная д"„от неявной функции д.
После того как факт второй производной установлен, их вычисление производится путем повторного дифференцирования тождества (14.5) с учетом того, что у является функцией от х. Дифференцирование тождества (14.5) дает Гл. Ц. Частные производные зоо Из первого уравнения находим ! я+у у х — у из второго (если подставить найденное значение у ) н 1+(зд) и +у )3 Задача.
Неявная функция задана уравнением г'(х, у) = ли — у* = О, (х ~ д). ду Найти —. дт ду у (1 — 1пи) Ответ: — ' де я (1 — !пу) 14.10. Двойной и тройной интегралы При изучении функций одной переменной было введено понятие определенного интеграла. Оно определялось как предел интегральных сумм. Для функции двух переменных можно ввести понятие двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным интегралом и обозначается так: ~(я, д) дт дд.
о Если определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции выражает площадь криволинейной трапеции, то двойной интеграл от неотрицательной непрерывной функции равен объему тела, построенного на области В плоскости хОд как на основании и ограниченного сверху поверхностью е = д (л, у). Этот обьемный аналог криволинейной трапеции называют цили ндроидом. Для функции трех переменных аналогично вводится понятие тройного интеграла, а в общем случае, для функции п переменных, определяют кратный интеграл. В случае простейших тел, кратные интегралы удастся свести к поетпорным и вычислить нх с помощью определенного интеграла.
Покажем, как это делается в случае двойного интеграла. 14.10. Двойной и тройной интегралы ай1 Множество 11 на плоскости хОу называется элементарным относительно оси Ох, если его граница состоит из графиков двух непрерывных функций д(х) и 6(х), определенных на некотором отрезке [а, 6] и таких, что д(х) < 6[х), и отрезков прямых х = а и х = 6 (рис. 14.6). Рнс.
14.6. Множество элементарное относительно оси Ох Двойной интеграл по элементарному множеству О может быть вычислен с помощью теоремы, представляющей собой двумерный аналог формулы Ньютона-Лейбница. Теорема. Если функция е = 1 (х, у) непрерывна на влемснтарном мноаюестве 11, то [14. 7) Интеграл, стоящий в правой части (14.7), называется повторным интегралом. Иногда он записывается также в виде О 1йг> г1х ) [х, у) г1у. о аег) '7 Пример. Вычислить двойной интеграл если область П есть прямоугольник, стороны которого определе- ны уравнениями у=О; х=2; у = 2. х=1; Га Ц. Чаегпные производные 302 Решение.
Применим формулу (14.7) Г 2 2 (10 — хг — дг) е1х г1ц = ~(х. у) Му Мх. П 1 О Вычислим внутренний интеграл; при интегрировании считаем х постоянной величиной: 2 | в~ ю=г (10 — х — у ) 4у = ~10д — х д — — ) /,г У' в=о О 8 52 = 20 — 2х — — = — — 2х . 3 3 Тогда хг уг) е1х <1у и 1 2 Задача 1. Вычислить двойной интеграл если область О есть прямоугольник, стороны которого определе- ны уравнениями х=2; у=0; д=3. Ответ: 86. Задача 2. Вычислить двойной интеграл если область Р есть прямоугольник, стороны которого определе- ны уравнениями х= 0; у = 2.
д=0; Ответ: 14. ЗОЗ цып Ковспвютврнмв вычновенив ... 14.11. Компьютерные вычисления частных производных и кратных интегралов Для вычисления частных производных в Мар!е используется команда > с)1тт(ехрг,х1$п1,х2$п2,...); Здесь ехрт — выражение, зависящее от переменных х1, х2, ..., а п1, п2, ... — порядки дифференцирования по соответствующим переменным. Ч Пример 1. Найти частные производные 2', 2", и х„"„ функции от двух переменных г = 5*'". Решение.
> х:=5 (х*у): с11тт(х,х); с11тт(х,х,у); й121(х,у$2); 5 "у!п5, 5 '" т, (1в 5) + 5*" 1п 5, 5ху 2 с1 г)2 А Для компьютерного вычисления двойных, тройных и т. д. интегралов нужно применить несколько раз команду 1пс И (х), х=а .. Ь), рассмотренную при изучении определенного интеграла.
с7 Пример 2. Вычислить повторный интеграл; з (х2+ ух+ 2) с!у с1х. 2 О Решение. > 1пС(1пе(х"2+у 2+2,у=0..3),х=2 ..4); 86.,й с7 Пример 3. Вычислить повторный интеграл: а х (х~ + у2 + 2) с!у с1х. 2 О Га Ц. Частные производные Решение. > Тпп(йпп(х"2+у"2+2,у=О..х),х=2..4); 92, А Несколько команд интегрирования имеется в библиотеке вппйепп, которую предварительно нужно подключить при помощи ийпЬ(вппйепп) . В библиотеке вппйепп имеется, например, команда Тгйр1ейпс(т,х,у,х) для вычисления тройного интеграла.
Ч Пример 4. Вычислить интеграл; 2 2 исз ~/4 и — Уз 4х Иф т сЬ. о о Решение. Подк.лючаем библиотеку вппйепс: > и1Сп(в2пйепс); Записываем тройной интеграл > Тгйр1ейпп (х, 2=0 .. вогп (4эх-у" 2), у=О .. 2эвогп (х), х=О .. 2); Вычисляем > уа1пе(а); 8 — зг. А 3 Если поручить двум людям, один из которых математик, выполнение любой незнакомой работы, то результат всегда будет следующим: математик сделает ее лучше.
1'. Штейнгпуг Глава 15 Оптимизационные задачи 15.1. Экстремум функции двух переменных Внутренняя область каждого круга с центром Рп(хе, уе) и радиусом б ) 0 называется окрестностью точки Рп(хп, уп). Рассмотрим функцию г = 1 (х, у), непрерывную в окрестности точки Р1 (хм у~). Строгим максимумом (строгим локальным, максимумом) функции г = 1(х, у) называется такое ее значение ~(хы у1), которое больше всех других значений, принимаемых в точках Р(х, у), достаточно близких к точке Р|(хы у1) и отличных от нее (рнс.
15.1), т. е. Пусть функция г = 1(х, у), непрерывна в окрестности точки Рг(хз, уз). Строгим минимумом (стрпгим локальным минимумом) функции г = 1(х, у) называется такое ее значение 1(хз, уз) в точке Рг(хз, уз), которое меньше всех других значений, принимаемых в точках Р(х, у), достаточно близких к точке Рз(хз, уз) и отличных от нее (рис. 15.1), т. е. Если рассмотренные вьппе неравенства являклся нестрогими, го говорят о нестрогих локальных максимуме и минимуме соответственно. с т !а. Оптимизационные задачи строгий максимум строгий минимум Рнс. 15.1. Экстремум функции двух перемонных В случаях, когда упоминание о том, является ли максимум или минимум строгим или нестрогим, локальным или глобальным, не является существенным, то соответствующие прилагательные опускают.
Точки максимума и минимума называются точками экстремуме. Приведем теоремы, облегчающие нахождение экстремумов функции двух переменных. Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Ьсли фУнкЦии г = «(х, У) имеепс в псе сне Ро(хо, Уо) экспсРемум и первые чистные производные «а(хсс, уо), «„'(хо, уо) нетсрерывны в некоторой окрестноспси этной точки, то «(хо уо) = О: «1(хо, уо) = б. (15. 1) П Если в точке (хо, уо) функция «(х, у) имеет максимум, то функция «(х, уо) одной переменной х имеет в точке х = хо максимум, и, следовательно, ее производная Д(хо, уо) равна нулю.
Функция «(хо, у) одной переменной у также имеет в точке д = = уо максимум, и, следовательно. ее производная «„'(хо, уо) равна нулю. Следовательно, одновременно должно иметь место; «(хо, уо) = б, «о(хо, уо) = б Аналогично доказывается случай, когда функция «(х, у) имеет в точке (хо, уо) минимум. ° Точки, при которых выполняются (15.1), называются стационарными точками функции з = «(х, у). Зот 1ди. Энетнремум функции двух переменных Теорема 2 (геометрический смысл необходимых условий экстремума).
В стационарной точке касательная плос.- кость к поагрхносп(и г = 7(х, у) параллигьна плоскости хОУ. П Пусть Ро(хо, уо) есть стационарная точка функции е = 1(х, у). Уравнение касательной плоскости в этой точке имеет внд х — хо = е (хо: Уо) (х — хо) + еу(хо Уо) (У вЂ” Уо). Так как частные производные равны нулю. то получаем х = хо ° г — во = О, Заметим, что точки экстремума могут бьггь не только в тех точках в которых частные производные функции равны нулю. Экстремум функции может быть и в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует илн равна бесконечности. На рнс. 15.2 изображена функция с конусообразным графиком. В вершине конуса - точке М( -- находится максимальная точка функции, однако частные производные там не существуют (в соответствующей точке невозможно провесгн касательную плоскость) . Более того, обращение в нуль или же несуществование частных производных первого порядка является более общим нсобходимымым условием экстремума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
